Matematikk R2 Eksamen våren 2012 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2012 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

34 deloppgaver løst Del 1 + Del 2 samme rekkefølge som settet 5 visualiseringer grafer og romgeometri CAS + SymPy digitale kontroller Del 1Del 2SynsvinkelRomgeometri

Del 1 - uten hjelpemidler

Løsningene viser metode, alle sentrale mellomregninger og sensorpunkter. Digitale verktøy brukes kun som etterkontroll.

Oppgave 1a1 Derivasjon - kjerneregelen

Oppgave 1a1

Oppgave:

Deriver funksjonen

\[f(x)=3\sin(2x).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt sinusfunksjon. Faktoren 3 beholdes, mens kjerneregelen gir en ekstra faktor fra den indre funksjonen \(2x\).

Steg 1 - Skill mellom konstant og funksjon

Konstanten 3 kan stå foran derivasjonen:

\[f\prime(x)=3\cdot \frac{d}{dx}\sin(2x).\]

Steg 2 - Identifiser den indre funksjonen

Sett \(u(x)=2x\). Da er \(u\prime(x)=2\).

Steg 3 - Deriver den ytre funksjonen

Den deriverte av \(\sin u\) med hensyn på \(u\) er \(\cos u\).

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

\[\frac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot2.\]

Steg 5 - Multipliser med konstanten foran

\[f\prime(x)=3\cdot2\cos(2x).\]

Steg 6 - Forenkle

\[f\prime(x)=6\cos(2x).\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative(3 sin(2x),x) → \(6\cos(2x)\)

Tolkning: CAS bekrefter faktoren 6.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 3 * sin ( 2 * x ) f_prime = diff ( f , x ) expected = 6 * cos ( 2 * x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Differanse etter forenkling =" , simplify ( f_prime - expected )) 

f(x) = 3*sin(2*x) f'(x) = 6*cos(2*x) Forventet uttrykk = 6*cos(2*x) Differanse etter forenkling = 0

Fasit: \(f\prime(x)=6\cos(2x)\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte 2 og svare \(3\cos(2x)\). Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt eller korrekt implisitt bruk av kjerneregelen. Få mer forklaring Oppgave 1a2 Derivasjon - produktregelen

Oppgave 1a2

Oppgave:

Deriver funksjonen

\[g(x)=x^2\sin x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x^2\) og \(\sin x\). Produktregelen må derfor brukes, og begge faktorene må deriveres.

Steg 1 - Definer faktorene

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=\sin x\).

Steg 2 - Skriv produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime.\]

Steg 3 - Deriver første faktor

\[u\prime(x)=2x.\]

Steg 4 - Deriver andre faktor

\[v\prime(x)=\cos x.\]

Steg 5 - Sett inn i produktregelen

\[g\prime(x)=2x\sin x+x^2\cos x.\]

Steg 6 - Kontroller at begge ledd er med

Det første leddet kommer fra derivasjon av \(x^2\), og det andre fra derivasjon av \(\sin x\).

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative(x^2 sin(x),x) → \(2x\sin x+x^2\cos x\)

Tolkning: Resultatet inneholder to ledd, slik produktregelen krever.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) g = x ** 2 * sin ( x ) g_prime = diff ( g , x ) expected = 2 * x * sin ( x ) + x ** 2 * cos ( x ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , g_prime ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Kontroll =" , simplify ( g_prime - expected )) 

g(x) = x**2*sin(x) g'(x) = x**2*cos(x) + 2*x*sin(x) Forventet uttrykk = x**2*cos(x) + 2*x*sin(x) Kontroll = 0

Fasit: \(g\prime(x)=2x\sin x+x^2\cos x\).

Vanlig feil: Å derivere begge faktorene samtidig og skrive \(2x\cos x\). Produktregelen gir en sum av to ledd. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel og begge bidragene. Få mer forklaring Oppgave 1a3 Derivasjon - trigonometrisk kjede

Oppgave 1a3

Oppgave:

Deriver funksjonen

\[k(x)=5\cos\left(\frac{\pi}{12}x-2\right)+7.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en cosinusfunksjon med en lineær kjerne. Konstantleddet 7 forsvinner, og kjerneregelen gir faktoren \(\pi/12\).

Steg 1 - Deriver konstantleddet

\[\frac{d}{dx}7=0.\]

Steg 2 - Definer kjernen

\[u(x)=\frac{\pi}{12}x-2.\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[u\prime(x)=\frac{\pi}{12}.\]

Steg 4 - Deriver cosinus

Den deriverte av \(\cos u\) er \(-\sin u\).

Steg 5 - Bruk kjerneregelen

\[k\prime(x)=5\left[-\sin\left(\frac{\pi}{12}x-2\right)\right]\frac{\pi}{12}.\]

Steg 6 - Forenkle konstantfaktoren

\[k\prime(x)=-\frac{5\pi}{12}\sin\left(\frac{\pi}{12}x-2\right).\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative(5 cos((pi/12)x-2)+7,x) → \(-\frac{5\pi}{12}\sin(\frac{\pi}{12}x-2)\)

Tolkning: Konstantleddet 7 bidrar ikke til den deriverte.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , pi , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) k = 5 * cos ( pi * x / 12 - 2 ) + 7 k_prime = diff ( k , x ) expected = - 5 * pi * sin ( pi * x / 12 - 2 ) / 12 print ( "k(x) =" , k ) print ( "k'(x) =" , k_prime ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Kontroll =" , simplify ( k_prime - expected )) 

k(x) = 5*cos(pi*x/12 - 2) + 7 k'(x) = -5*pi*sin(pi*x/12 - 2)/12 Forventet uttrykk = -5*pi*sin(pi*x/12 - 2)/12 Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle k\prime(x)=-\frac{5\pi}{12}\sin\left(\frac{\pi}{12}x-2\right)\).

Vanlig feil: Å miste minusfortegnet fra den deriverte av cosinus eller faktoren \(\pi/12\). Sensorpunkt: Sensor ser etter både minusfortegn og korrekt indre derivert. Få mer forklaring Oppgave 1b Integrasjon - delvis integrasjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Bestem integralet

\[\int x e^{2x}\,dx.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Integranden er et produkt. Faktoren \(x\) blir enklere når den deriveres, mens \(e^{2x}\) er lett å integrere. Derfor velger vi delvis integrasjon.

Steg 1 - Skriv formelen

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du.\]

Steg 2 - Velg \(u\) og \(dv\)

\[u=x,\qquad dv=e^{2x}\,dx.\]

Steg 3 - Finn \(du\)

\[du=dx.\]

Steg 4 - Finn \(v\)

\[v=\int e^{2x}\,dx=\frac12e^{2x}.\]

Steg 5 - Sett inn i formelen

\[\int xe^{2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\int\frac12e^{2x}\,dx.\]

Steg 6 - Integrer restleddet

\[\int\frac12e^{2x}\,dx=\frac14e^{2x}.\]

Steg 7 - Samle uttrykket

\[\int xe^{2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac14e^{2x}+C=\frac{(2x-1)e^{2x}}4+C.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Integral(x exp(2x),x) → \(\frac{(2x-1)e^{2x}}4\)

Tolkning: CAS oppgir en antiderivert; konstanten \(C\) må legges til i håndløsningen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , exp , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = x * exp ( 2 * x ) antiderivative = integrate ( integrand , x ) check = simplify ( diff ( antiderivative , x ) - integrand ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Antiderivert =" , antiderivative ) print ( "Derivert av antiderivert =" , diff ( antiderivative , x )) print ( "Kontroll, differanse =" , check ) 

Integrand = x*exp(2*x) Antiderivert = (2*x - 1)*exp(2*x)/4 Derivert av antiderivert = (2*x - 1)*exp(2*x)/2 + exp(2*x)/2 Kontroll, differanse = 0

Fasit: \(\displaystyle \int xe^{2x}\,dx=\frac{(2x-1)e^{2x}}4+C\).

Vanlig feil: Å integrere \(e^{2x}\) som \(e^{2x}\) uten faktoren \(1/2\), eller å glemme integrasjonskonstanten. Sensorpunkt: Sensor ser etter et begrunnet valg av delvis integrasjon og korrekt sluttkontroll ved derivasjon. Få mer forklaring Oppgave 1c Bestemt integral - substitusjon

Oppgave 1c

Oppgave:

Vis at

\[\int_3^7\frac{2x}{x^2-4}\,dx=2\ln3.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren har den deriverte \(2x\) i telleren. Substitusjonen \(u=x^2-4\) gjør integralet til et logaritmeintegral.

Steg 1 - Velg substitusjon

\[u=x^2-4.\]

Steg 2 - Finn differensialet

\[du=2x\,dx.\]

Steg 3 - Endre grensene

Når \(x=3\), er \(u=9-4=5\). Når \(x=7\), er \(u=49-4=45\).

Steg 4 - Skriv om integralet

\[\int_3^7\frac{2x}{x^2-4}\,dx=\int_5^{45}\frac1u\,du.\]

Steg 5 - Integrer

\[\int_5^{45}\frac1u\,du=\left[\ln|u|\right]_5^{45}.\]

Steg 6 - Sett inn grensene

\[\ln45-\ln5=\ln\left(\frac{45}{5}\right)=\ln9.\]

Steg 7 - Bruk logaritmeregelen

\[\ln9=\ln(3^2)=2\ln3.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Integral(2x/(x^2-4),3,7) → \(2\ln3\)

Tolkning: CAS gir samme eksakte verdi. …