Matematikk R2 Eksamen høsten 2020 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen høst 2020

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=\sin(2x)+\pi\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt sinusfunksjon. Konstanten \(\pi\) får derivert lik 0.

1. Identifiser kjernen Sett \(u=2x\). Da er \(u\prime=2\).
2. Deriver sinus Den deriverte av \(\sin u\) er \(\cos u\).
3. Bruk kjerneregelen \(\frac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)\).
4. Deriver konstanten \(\frac{d}{dx}\pi=0\).
5. Samle resultatet \[f\prime(x)=2\cos(2x)\]
6. Kontroller et punkt Ved \(x=0\) får vi \(f\prime(0)=2\), som stemmer med den lokale stigningen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(sin(2x)+pi,x)Resultat: \(2\cos(2x)\) Tolkning: CAS bekrefter faktoren 2 fra kjerneregelen og at konstanten forsvinner.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , pi , diff , simplify , N x = symbols ( 'x' , real = True ) f = sin ( 2 * x ) + pi derivative = diff ( f , x ) expected = 2 * cos ( 2 * x ) print ( "Funksjon f(x) =" , f ) print ( "Derivert f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "f'(0) =" , derivative . subs ( x , 0 )) print ( "Numerisk f'(pi/8) =" , N ( derivative . subs ( x , pi / 8 ), 12 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon f(x) = sin(2*x) + pi Derivert f'(x) = 2*cos(2*x) Forventet uttrykk = 2*cos(2*x) Symbolsk kontroll = 0 f'(0) = 2 Numerisk f'(pi/8) = 1.41421356237

Fasit: \(f\prime(x)=2\cos(2x)\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 2 fra kjerneregelen eller å beholde \(\pi\) i den deriverte. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kjerneregel og behandling av konstantleddet. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=x\cos^2x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt, og faktoren \(\cos^2x\) er sammensatt. Vi kombinerer produktregelen og kjerneregelen.

1. Del produktet Sett \(u=x\) og \(v=(\cos x)^2\).
2. Deriver første faktor \(u\prime=1\).
3. Deriver andre faktor \(v\prime=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x\).
4. Bruk produktregelen \(g\prime=u\prime v+uv\prime\).
5. Sett inn \(g\prime(x)=\cos^2x-2x\sin x\cos x\).
6. Alternativ form Siden \(2\sin x\cos x=\sin(2x)\), kan svaret også skrives \(\cos^2x-x\sin(2x)\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(x*cos(x)^2,x)Resultat: \(\cos^2x-2x\sin x\cos x\) Tolkning: CAS viser både produktleddet og den indre deriverte av cosinuskvadratet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , trigsimp , N x = symbols ( 'x' , real = True ) g = x * cos ( x ) ** 2 raw = diff ( g , x ) expected = cos ( x ) ** 2 - 2 * x * sin ( x ) * cos ( x ) alternative = cos ( x ) ** 2 - x * sin ( 2 * x ) print ( "Funksjon g(x) =" , g ) print ( "Derivert fra SymPy =" , raw ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Alternativ form =" , alternative ) print ( "Kontroll mot forventet =" , simplify ( raw - expected )) print ( "Trigonometrisk kontroll =" , trigsimp ( raw - alternative )) print ( "Numerisk g'(1) =" , N ( raw . subs ( x , 1 ), 12 )) assert simplify ( raw - expected ) == 0 assert trigsimp ( raw - alternative ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon g(x) = x*cos(x)**2 Derivert fra SymPy = -2*x*sin(x)*cos(x) + cos(x)**2 Forventet form = -2*x*sin(x)*cos(x) + cos(x)**2 Alternativ form = -x*sin(2*x) + cos(x)**2 Kontroll mot forventet = 0 Trigonometrisk kontroll = 0 Numerisk g'(1) = -0.617370845099

Fasit: \(g\prime(x)=\cos^2x-2x\sin x\cos x\).

Vanlig feil: Å derivere produktet ved å multiplisere de deriverte, eller å glemme minustegnet fra \(\cos x\). Sensorpunkt: Sensor ser etter både produktregelen og kjerneregelen. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Ubestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\left(\cos x+\frac1x\right)dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer leddvis og husker at stamfunksjonen til \(1/x\) er \(\ln|x|\) på intervaller som ikke krysser 0.

1. Del opp integralet \(\int\cos x\,dx+\int\frac1x\,dx\).
2. Integrer cosinus \(\int\cos x\,dx=\sin x\).
3. Integrer 1/x \(\int\frac1x\,dx=\ln|x|\).
4. Samle leddene \(F(x)=\sin x+\ln|x|\).
5. Legg til konstant \[\int\left(\cos x+\frac1x\right)dx=\sin x+\ln|x|+C\]
6. Kontroller ved derivasjon På hvert intervall med \(x\ne0\) er \(F\prime(x)=\cos x+1/x\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(cos(x)+1/x,x)Resultat: \(\sin x+\ln|x|\) Tolkning: CAS gir en stamfunksjon; den generelle stamfunksjonen inkluderer \(+C\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , cos , sin , log , Abs , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True , nonzero = True ) integrand = cos ( x ) + 1 / x F = sin ( x ) + log ( Abs ( x )) back = diff ( F , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Foreslått stamfunksjon =" , F ) print ( "Derivert tilbake =" , back ) print ( "Kontroll =" , simplify ( back - integrand )) print ( "Definisjonskrav: x != 0" ) assert simplify ( back - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = cos(x) + 1/x Foreslått stamfunksjon = log(Abs(x)) + sin(x) Derivert tilbake = cos(x) + sign(x)/Abs(x) Kontroll = 0 Definisjonskrav: x != 0

Fasit: \(\sin x+\ln|x|+C\), for \(x\ne0\).

Vanlig feil: Å skrive \(\ln x\) uten å kommentere domenet, eller å glemme integrasjonskonstanten. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt stamfunksjon, absoluttverdi og \(+C\). Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Delvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int x e^{2x}\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet av et polynom og en eksponentialfunksjon passer til delvis integrasjon.

1. Velg u og dv Sett \(u=x\) og \(dv=e^{2x}dx\).
2. Finn du og v \(du=dx\) og \(v=\frac12e^{2x}\).
3. Bruk formelen \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\).
4. Sett inn \(\int xe^{2x}dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac12\int e^{2x}dx\).
5. Integrer restleddet \(\frac12\int e^{2x}dx=\frac14e^{2x}\).
6. Faktoriser \[\int xe^{2x}dx=\frac{e^{2x}}4(2x-1)+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(x*exp(2x),x)Resultat: \(e^{2x}(2x-1)/4\) Tolkning: CAS bekrefter resultatet fra delvis integrasjon.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , exp , integrate , diff , simplify , factor x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = x * exp ( 2 * x ) F = integrate ( integrand , x ) expected = exp ( 2 * x ) * ( 2 * x - 1 ) / 4 back = diff ( expected , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , F ) print ( "Forventet faktorisert form =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , factor ( back )) print ( "Kontroll mellom formene =" , simplify ( F - expected )) print ( "Kontroll mot integranden =" , simplify ( back - integrand )) assert simplify ( F - expected ) == 0 assert simplify ( back - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = x*exp(2*x) Stamfunksjon fra SymPy = (2*x - 1)*exp(2*x)/4 Forventet faktorisert form = (2*x - 1)*exp(2*x)/4 Derivert tilbake = x*exp(2*x) Kontroll mellom formene = 0 Kontroll mot integranden = 0

Fasit: \(\dfrac{e^{2x}}4(2x-1)+C\).

Vanlig feil: Å bruke \(v=e^{2x}\) i stedet for \(v=e^{2x}/2\), eller å miste minustegnet. Sensorpunkt: Sensor ser etter et korrekt valg i delvis integrasjon og full forenkling. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2c Substitusjon med logaritme

Oppgave 2c

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\frac{2x-2}{x^2-2x-3}\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Telleren er nøyaktig den deriverte av nevneren. Integraltypen er derfor \(u\prime/u\). …