Matematikk R2 Eksamen våren 2009 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 — eksamen vår 2009 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

29 deloppgaver løst Del 1 + Del 2 samme rekkefølge som settet Begge alternativer i oppgave 4 CAS + SymPy digitale kontroller Del 1Del 2Oppgave 4 alternativ IOppgave 4 alternativ IIOppgave 5

Del 1 – uten hjelpemidler

Alle mellomregninger vises. GeoGebra og Python brukes bare som etterkontroll.

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon · kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=2(\ln x+1)^3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt funksjon. Den ytre funksjonen er en tredje potens, mens den indre funksjonen inneholder \(\ln x\).

Steg 1 — Avklar definisjonsmengden

Fordi uttrykket inneholder \(\ln x\), må \(x>0\). Derivasjonsformelen gjelder derfor på intervallet \((0,\infty)\).

Steg 2 — Velg den indre funksjonen

Sett \(u(x)=\ln x+1\). Da kan funksjonen skrives \(f(x)=2u(x)^3\).

Steg 3 — Deriver den ytre funksjonen

Potensregelen gir \(\frac{d}{du}(2u^3)=6u^2\).

Steg 4 — Deriver den indre funksjonen

\[u\prime(x)=\frac{1}{x}.\]

Steg 5 — Bruk kjerneregelen

\[f\prime(x)=6u(x)^2\cdot u\prime(x)=6(\ln x+1)^2\cdot\frac{1}{x}.\]

Steg 6 — Skriv svaret ryddig

\[f\prime(x)=\frac{6(\ln x+1)^2}{x},\qquad x>0.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 f(x) := 2 (ln(x) + 1)^3 → \(2(\ln x+1)^3\) 2 Derivative(f) → \(\dfrac{6(\ln x+1)^2}{x}\)

Tolkning: CAS gir samme faktoriserte uttrykk. Resultatet må tolkes med definisjonsmengden x > 0.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , log , diff , simplify , factor x = symbols ( 'x' , positive = True ) f = 2 * ( log ( x ) + 1 ) ** 3 f_prime = factor ( diff ( f , x )) expected = 6 * ( log ( x ) + 1 ) ** 2 / x control = simplify ( f_prime - expected ) print ( "Funksjon:" , f ) print ( "Derivert:" , f_prime ) print ( "Forventet form:" , expected ) print ( "Differanse etter forenkling:" , control ) 

Funksjon: 2*(log(x) + 1)**3 Derivert: 6*(log(x) + 1)**2/x Forventet form: 6*(log(x) + 1)**2/x Differanse etter forenkling: 0

Fasit: \(f\prime(x)=\dfrac{6(\ln x+1)^2}{x}\) for \(x>0\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(1/x\), som kommer fra den deriverte av \(\ln x\). Sensorpunkt: Sensor ser etter at både potensregelen og kjerneregelen er synlige, og at definisjonskravet \(x>0\) respekteres. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b1 Funksjonsdrøfting · fortegn

Oppgave 1b1

Oppgave:

Gitt funksjonen \(f(x)=x\cos x\).

1) Ligger grafen over eller under \(x\)-aksen når \(x=\pi\)?

(Du kan få bruk for at \(\sin\pi=0\) og \(\cos\pi=-1\).)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke fortegnet til funksjonsverdien \(f(\pi)\). En negativ funksjonsverdi betyr at grafen ligger under \(x\)-aksen.

Steg 1 — Sett inn den aktuelle x-verdien

\[f(\pi)=\pi\cos\pi.\]

Steg 2 — Bruk den oppgitte trigonometriske verdien

Siden \(\cos\pi=-1\), får vi

\[f(\pi)=\pi\cdot(-1)=-\pi.\]

Steg 3 — Vurder fortegnet

Vi har \(-\pi<0\). Funksjonsverdien er derfor negativ.

Steg 4 — Tolk geometrisk

Når \(y=f(x)<0\), ligger punktet på grafen under \(x\)-aksen. Punktet er \((\pi,-\pi)\).

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , cos , pi , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = x * cos ( x ) value = simplify ( f . subs ( x , pi )) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f(pi) =" , value ) print ( "Er f(pi) negativ?" , bool ( value < 0 )) print ( "Punkt på grafen: (pi," , value , ")" ) 

f(x) = x*cos(x) f(pi) = -pi Er f(pi) negativ? True Punkt på grafen: (pi, -pi )

Fasit: Grafen ligger under \(x\)-aksen når \(x=\pi\), fordi \(f(\pi)=-\pi<0\).

Vanlig feil: Å bruke den deriverte når spørsmålet gjelder om grafen ligger over eller under aksen. Her skal selve funksjonsverdien undersøkes. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt innsetting, bruk av \(\cos\pi=-1\) og en tydelig fortolkning av negativ funksjonsverdi. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b2 Funksjonsdrøfting · derivert

Oppgave 1b2

Oppgave:

Gitt funksjonen \(f(x)=x\cos x\).

2) Stiger eller synker grafen når \(x=\pi\)?

(Du kan få bruk for at \(\sin\pi=0\) og \(\cos\pi=-1\).)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bestemme fortegnet til \(f\prime(\pi)\). Negativ derivert betyr at grafen synker.

Steg 1 — Identifiser produktet

Funksjonen er et produkt av \(x\) og \(\cos x\). Vi bruker produktregelen \((uv)\prime=u\prime v+uv\prime\).

Steg 2 — Deriver faktorene

Den deriverte av \(x\) er \(1\), og den deriverte av \(\cos x\) er \(-\sin x\).

Steg 3 — Bruk produktregelen

\[f\prime(x)=1\cdot\cos x+x(-\sin x)=\cos x-x\sin x.\]

Steg 4 — Sett inn x = pi

\[f\prime(\pi)=\cos\pi-\pi\sin\pi.\]

Steg 5 — Bruk de oppgitte verdiene

\[f\prime(\pi)=-1-\pi\cdot0=-1.\]

Steg 6 — Tolk fortegnet

Siden \(f\prime(\pi)=-1<0\), er grafen avtakende og synker ved \(x=\pi\).

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 f(x) := x cos(x) → \(x\cos x\) 2 Derivative(f) → \(\cos x-x\sin x\) 3 Substitute(Derivative(f), x, pi) → \(-1\)

Tolkning: Den deriverte er negativ ved x = pi, så grafen synker der.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , cos , sin , pi , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = x * cos ( x ) f_prime = simplify ( diff ( f , x )) slope_at_pi = simplify ( f_prime . subs ( x , pi )) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "f'(pi) =" , slope_at_pi ) print ( "Grafen synker ved x = pi:" , bool ( slope_at_pi < 0 )) 

f(x) = x*cos(x) f'(x) = -x*sin(x) + cos(x) f'(pi) = -1 Grafen synker ved x = pi: True

Fasit: Grafen synker når \(x=\pi\), fordi \(f\prime(\pi)=-1<0\).

Vanlig feil: Å bruke fortegnet til \(f(\pi)\) for å avgjøre om grafen stiger eller synker. Vekst bestemmes av den deriverte. Sensorpunkt: Full uttelling krever korrekt produktregel og eksplisitt sammenheng mellom negativ derivert og synkende graf. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 1c

Oppgave:

Bestem summen av den uendelige rekka

\[2+\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\cdots\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal kontrollere at rekken er geometrisk og konvergent, og deretter bruke sumformelen for en uendelig geometrisk rekke.

Steg 1 — Finn første ledd

Det første leddet er \(a_1=2\).

Steg 2 — Finn kvotienten

\[k=\frac{2/3}{2}=\frac13.\]

Den samme kvotienten fås mellom alle påfølgende ledd.

Steg 3 — Kontroller konvergens

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \(|k|<1\). Her er \(|1/3|<1\), så rekken har en endelig sum.

Steg 4 — Bruk sumformelen

\[S=\frac{a_1}{1-k}.\]

Steg 5 — Sett inn verdiene

\[S=\frac{2}{1-\frac13}=\frac{2}{\frac23}.\]

Steg 6 — Forenkle

\[S=2\cdot\frac32=3.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Sum(2 (1/3)^(n - 1), n, 1, infinity) → \(3\)

Tolkning: CAS summerer den geometriske rekken til 3, i samsvar med sumformelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , Rational , summation , oo , simplify n = symbols ( 'n' , integer = True , positive = True ) a1 = Rational ( 2 , 1 ) k = Rational ( 1 , 3 ) term = a1 * k ** ( n - 1 ) series_sum = summation ( term , ( n , 1 , oo )) formula_sum = a1 / ( 1 - k ) print ( "Første ledd a1 =" , a1 ) print ( "Kvotient k =" , k ) print ( "|k| < 1:" , abs ( k ) < 1 ) print ( "SymPy-sum =" , series_sum ) print ( "Sumformel =" , formula_sum ) print ( "Kontroll, differanse =" , simplify ( series_sum - formula_sum )) 

Første ledd a1 = 2 Kvotient k = 1/3 |k| < 1: True SymPy-sum = 3 Sumformel = 3 Kontroll, differanse = 0

Fasit: Summen er \(S=3\).

Vanlig feil: Å bruke formelen uten først å kontrollere \(|k|<1\), eller å lese kvotienten som \(2/3\) i stedet for \(1/3\). Sensorpunkt: Sensor ser etter første ledd, kvotient, konvergenskrav og korrekt sumformel. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d1 Vektorer i rommet · ortogonalitet

Oppgave 1d1

Oppgave:

Gitt punktene \(A(2,3,7)\), \(B(3,5,2)\), \(C(1,1,5)\) og \(D(3,5,t)\).

1) Bestem en verdi for \(t\) slik at \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne vektorene fra A og bruke at to vektorer står vinkelrett på hverandre nøyaktig når skalarproduktet er null.

Steg 1 — Finn vektoren AB

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2,\,5-3,\,2-7)=(1,2,-5).\]

Steg 2 — Finn vektoren AD

\[\overrightarrow{AD}=D-A=(3-2,\,5-3,\,t-7)=(1,2,t-7).\]

Steg 3 — Bruk ortogonalitetskravet

Vektorene er vinkelrette når

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0.\]

Steg 4 — Regn ut skalarproduktet

\[(1,2,-5)\cdot(1,2,t-7)=1\cdot1+2\cdot2-5(t-7).\]

Steg 5 — Forenkle likningen

\[1+4-5t+35=0\quad\Longrightarrow\quad40-5t=0.\]

Steg 6 — Løs for t

\[-5t=-40\quad\Longrightarrow\quad t=8.\]

Steg 7 — Kontroller

Når \(t=8\), er \(\overrightarrow{AD}=(1,2,1)\), og …