Matematikk R2 Eksamen våren 2017 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2017

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=3\sin x+\cos x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en lineær kombinasjon av sinus og cosinus ledd for ledd.

1. Bruk sumregelen Den deriverte av en sum er summen av de deriverte.
2. Deriver første ledd \(\frac{d}{dx}(3\sin x)=3\cos x\).
3. Deriver andre ledd \(\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\).
4. Sett sammen \(f\prime(x)=3\cos x-\sin x\).
5. Kontroller fortegnet Minusfortegnet kommer fra den deriverte av cosinus.
6. Skriv endelig svar \[f\prime(x)=3\cos x-\sin x\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(3 sin(x)+cos(x),x)Resultat: \(3\cos x-\sin x\) Tolkning: CAS bekrefter at hvert ledd er derivert separat og at cosinusleddet får minusfortegn.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 3 * sin ( x ) + cos ( x ) derivative = diff ( f , x ) expected = 3 * cos ( x ) - sin ( x ) print ( "Funksjon f(x) =" , f ) print ( "Derivert f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk differanse =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Kontroll ved x=0 =" , derivative . subs ( x , 0 )) print ( "Kontroll ved x=pi/2 =" , derivative . subs ( x , 3.141592653589793 / 2 ) . evalf ()) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon f(x) = 3*sin(x) + cos(x) Derivert f'(x) = -sin(x) + 3*cos(x) Forventet uttrykk = -sin(x) + 3*cos(x) Symbolsk differanse = 0 Kontroll ved x=0 = 3 Kontroll ved x=pi/2 = -1.00000000000000

Fasit: \(f\prime(x)=3\cos x-\sin x\).

Vanlig feil: Å skrive \(+\sin x\) fordi minusfortegnet ved derivasjon av cosinus glemmes. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt sumregel, konstantfaktor og fortegn. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=x^2\cos 2x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x^2\) og \(\cos(2x)\). Vi trenger både produktregelen og kjerneregelen.

1. Velg faktorene Sett \(u=x^2\) og \(v=\cos(2x)\).
2. Deriver første faktor \(u\prime=2x\).
3. Deriver andre faktor Kjerneregelen gir \(v\prime=-2\sin(2x)\).
4. Bruk produktregelen \((uv)\prime=u\prime v+uv\prime\).
5. Sett inn \(g\prime(x)=2x\cos(2x)-2x^2\sin(2x)\).
6. Faktoriser om ønskelig \[g\prime(x)=2x\bigl(\cos(2x)-x\sin(2x)\bigr)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(x^2 cos(2x),x)Resultat: \(2x\cos(2x)-2x^2\sin(2x)\) Tolkning: CAS viser begge produktleddene og faktoren 2 fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , factor , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) g = x ** 2 * cos ( 2 * x ) raw_derivative = diff ( g , x ) factored_derivative = factor ( raw_derivative ) expected = 2 * x * cos ( 2 * x ) - 2 * x ** 2 * sin ( 2 * x ) print ( "Funksjon g(x) =" , g ) print ( "Derivert, utvidet =" , raw_derivative ) print ( "Derivert, faktorisert =" , factored_derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , simplify ( raw_derivative - expected )) print ( "Numerisk kontroll ved x=1 =" , raw_derivative . subs ( x , 1 ) . evalf ( 12 )) assert simplify ( raw_derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon g(x) = x**2*cos(2*x) Derivert, utvidet = -2*x**2*sin(2*x) + 2*x*cos(2*x) Derivert, faktorisert = -2*x*(x*sin(2*x) - cos(2*x)) Forventet uttrykk = -2*x**2*sin(2*x) + 2*x*cos(2*x) Symbolsk kontroll = 0 Numerisk kontroll ved x=1 = -2.65088852675

Fasit: \(g\prime(x)=2x\cos(2x)-2x^2\sin(2x)\).

Vanlig feil: Å derivere faktorene hver for seg og multiplisere dem, eller å glemme faktoren 2 fra \(2x\). Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt produktregel og korrekt kjerneregel. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1c Kvotientregel og trigonometrisk forenkling

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \(h(x)=\dfrac{2\cos x}{1+\sin x}\). Skriv svaret så enkelt som mulig. Original poengangivelse: Oppgave 1 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker kvotientregelen og forenkler telleren med identiteten \(\sin^2x+\cos^2x=1\).

1. Definer teller og nevner La \(u=2\cos x\) og \(v=1+\sin x\).
2. Deriver begge \(u\prime=-2\sin x\) og \(v\prime=\cos x\).
3. Bruk kvotientregelen \(h\prime=(u\prime v-uv\prime)/v^2\).
4. Sett inn \[h\prime(x)=\frac{-2\sin x(1+\sin x)-2\cos^2x}{(1+\sin x)^2}\]
5. Forenkle telleren Telleren er \(-2(\sin x+\sin^2x+\cos^2x)=-2(1+\sin x)\).
6. Forkort gyldig faktor På definisjonsområdet \(1+\sin x\ne0\) får vi \[h\prime(x)=-\frac{2}{1+\sin x}.\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Simplify(Derivative(2 cos(x)/(1+sin(x)),x))Resultat: \(-2/(1+\sin x)\) Tolkning: CAS bruker den trigonometriske identiteten og forkorter den felles faktoren.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , trigsimp x = symbols ( 'x' , real = True ) h = 2 * cos ( x ) / ( 1 + sin ( x )) raw_derivative = diff ( h , x ) simplified = trigsimp ( raw_derivative ) expected = - 2 / ( 1 + sin ( x )) print ( "Funksjon h(x) =" , h ) print ( "Rå derivert =" , raw_derivative ) print ( "Trigonometrisk forenklet =" , simplified ) print ( "Forventet enkel form =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , simplify ( simplified - expected )) for value in [ 0 , 1 , 2 ]: print ( f "h'( { value } ) =" , simplified . subs ( x , value ) . evalf ( 12 )) assert simplify ( trigsimp ( simplified - expected )) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon h(x) = 2*cos(x)/(sin(x) + 1) Rå derivert = -2*sin(x)/(sin(x) + 1) - 2*cos(x)**2/(sin(x) + 1)**2 Trigonometrisk forenklet = -2/(sin(x) + 1) Forventet enkel form = -2/(sin(x) + 1) Symbolsk kontroll = 0 h'(0) = -2.00000000000 h'(1) = -1.08608825037 h'(2) = -1.04750573268

Fasit: \(h\prime(x)=-\dfrac{2}{1+\sin x}\), der \(1+\sin x\ne0\).

Vanlig feil: Å stoppe med et uforenklet kvotientuttrykk eller forkorte uten å ta hensyn til definisjonsområdet. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kvotientregel og bruk av \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Ubestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\left(x^2-\frac{2}{x}\right)\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer potensleddet og logaritmeleddet hver for seg.

1. Del opp integralet \(\int x^2dx-2\int x^{-1}dx\).
2. Integrer potensleddet \(\int x^2dx=x^3/3\).
3. Integrer \(1/x\) \(\int x^{-1}dx=\ln|x|\) for \(x\ne0\).
4. Ta med konstantfaktoren Det andre leddet blir \(-2\ln|x|\).
5. Legg til integrasjonskonstant Alle stamfunksjoner skiller seg med en konstant \(C\).
6. Skriv svaret \[\int\left(x^2-\frac2x\right)dx=\frac{x^3}{3}-2\ln|x|+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(x^2-2/x,x)Resultat: \(x^3/3-2\ln|x|\) Tolkning: CAS gir en stamfunksjon; den generelle løsningen inkluderer \(+C\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , diff , log , Abs , simplify x = symbols ( 'x' , real = True , nonzero = True ) integrand = x ** 2 - 2 / x antiderivative = integrate ( integrand , x ) manual = x ** 3 / 3 - 2 * log ( Abs ( x )) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , antiderivative ) print ( "Manuell stamfunksjon =" , manual ) print ( "Derivert av manuell stamfunksjon =" , simplify ( diff ( manual , x ))) print ( "Kontroll mot integranden =" , simplify ( diff ( manual , x ) - integrand )) print ( "Verdi av integranden ved x=2 =" , integrand . subs ( x , 2 )) assert simplify ( diff ( manual , x ) - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = x**2 - 2/x Stamfunksjon fra SymPy = x**3/3 - 2*log(x) Manuell stamfunksjon = x**3/3 - 2*log(Abs(x)) Derivert av manuell stamfunksjon = (x**3 - 2)/x Kontroll mot integranden = 0 Verdi av integranden ved x=2 = 3

Fasit: \(\displaystyle \frac{x^3}{3}-2\ln|x|+C\), for \(x\ne0\). …