Matematikk R2 Eksamen våren 2023 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2023 (LK20)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Bestemt integral og symmetri

Oppgave 1a

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int_{-1}^{1}(4x^3-x)\,dx\). Vekting: Alle deloppgavene vektes likt. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne et bestemt integral. Integranden er en odde funksjon på et symmetrisk intervall.

1. Undersøk symmetrien \(h(x)=4x^3-x\) oppfyller \(h(-x)=-h(x)\).
2. Bruk symmetriregelen Integral av en odde funksjon fra \(-a\) til \(a\) er 0.
3. Alternativ: finn en stamfunksjon \[H(x)=x^4-\frac{x^2}{2}\]
4. Sett inn øvre grense \(H(1)=1-1/2=1/2\).
5. Sett inn nedre grense \(H(-1)=1-1/2=1/2\).
6. Trekk fra \[H(1)-H(-1)=0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(4*x^3-x,x,-1,1)Resultat: 0 Tolkning: CAS bekrefter både symmetrien og den eksakte integralverdien.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 4 * x ** 3 - x antiderivative = integrate ( integrand , x ) value = integrate ( integrand , ( x , - 1 , 1 )) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "h(-x) + h(x) =" , simplify ( integrand . subs ( x , - x ) + integrand )) print ( "Stamfunksjon =" , antiderivative ) print ( "H(1) =" , antiderivative . subs ( x , 1 )) print ( "H(-1) =" , antiderivative . subs ( x , - 1 )) print ( "Bestemt integral =" , value ) assert value == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 4*x**3 - x h(-x) + h(x) = 0 Stamfunksjon = x**4 - x**2/2 H(1) = 1/2 H(-1) = 1/2 Bestemt integral = 0

Fasit: 0.

Vanlig feil: Å overse at intervallet er symmetrisk og gjøre unødvendig kompliserte beregninger med fortegnsfeil. Sensorpunkt: Sensor godtar symmetriargument eller korrekt bruk av en stamfunksjon. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Bestemt eksponentialintegral

Oppgave 1b

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}e^{2x}\,dx\). Vekting: Alle deloppgavene vektes likt. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en stamfunksjon til e^(2x), sette inn grensene og bruke at e^(ln 2)=2.

1. Integrer med kjerneregel baklengs \[\int e^{2x}\,dx=\frac12e^{2x}+C\]
2. Sett inn grensene \[\int_0^{\ln2}e^{2x}\,dx=\left[\frac12e^{2x}\right]_0^{\ln2}\]
3. Beregn øvre verdi \(e^{2\ln2}=e^{\ln4}=4\), så øvre verdi er 2.
4. Beregn nedre verdi Ved \(x=0\) får vi \(\frac12e^0=1/2\).
5. Trekk fra \[2-\frac12=\frac32\]
6. Kontroller fortegn Integranden er positiv, så et positivt svar er nødvendig.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(exp(2x),x,0,ln(2))Resultat: \(3/2\) Tolkning: CAS gir den eksakte verdien 3/2.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , exp , log , integrate , Rational , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = exp ( 2 * x ) F = integrate ( integrand , x ) value = integrate ( integrand , ( x , 0 , log ( 2 ))) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon =" , F ) print ( "Øvre verdi =" , simplify ( F . subs ( x , log ( 2 )))) print ( "Nedre verdi =" , simplify ( F . subs ( x , 0 ))) print ( "Bestemt integral =" , value ) print ( "Kontroll mot 3/2 =" , simplify ( value - Rational ( 3 , 2 ))) assert simplify ( value - Rational ( 3 , 2 )) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = exp(2*x) Stamfunksjon = exp(2*x)/2 Øvre verdi = 2 Nedre verdi = 1/2 Bestemt integral = 3/2 Kontroll mot 3/2 = 0

Fasit: \(\displaystyle\frac32\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 1/2 i stamfunksjonen til e^(2x). Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt stamfunksjon og eksakt grenseinnsetting. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Derivasjon av tangens

Oppgave 2a

Oppgave: Vis at dersom \(f(x)=\tan x\), så er \(f\prime(x)=1+\tan^2x\). Vekting: Alle deloppgavene vektes likt. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bevise den oppgitte derivasjonsformelen ved å skrive tan x som sin x / cos x.

1. Skriv tangens som kvotient \[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\]
2. Bruk kvotientregelen \[f\prime(x)=\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x}\]
3. Forenkle telleren \[\cos^2x+\sin^2x=1\]
4. Få standardformen \[f\prime(x)=\frac1{\cos^2x}\]
5. Skriv 1 med felles nevner \[1+\tan^2x=1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\]
6. Konkluder Begge uttrykkene er \(1/\cos^2x\), derfor er \(f\prime(x)=1+\tan^2x\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(tan(x),x)Resultat: \(\sec^2x\) 2 TrigSimplify(sec(x)^2-(1+tan(x)^2))Resultat: 0 Tolkning: CAS bekrefter identiteten, men det algebraiske beviset må vises.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , tan , sin , cos , diff , simplify , trigsimp x = symbols ( 'x' , real = True ) f = tan ( x ) derivative = diff ( f , x ) identity_form = 1 + tan ( x ) ** 2 quotient_form = diff ( sin ( x ) / cos ( x ), x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "Derivert av tan(x) =" , derivative ) print ( "Derivert via sin/cos =" , quotient_form ) print ( "1 + tan(x)^2 =" , identity_form ) print ( "Kontroll derivative - identity =" , trigsimp ( derivative - identity_form )) print ( "Kontroll kvotientform =" , simplify ( trigsimp ( quotient_form - identity_form ))) assert trigsimp ( derivative - identity_form ) == 0 

 Kjørt utskrift f(x) = tan(x) Derivert av tan(x) = tan(x)**2 + 1 Derivert via sin/cos = sin(x)**2/cos(x)**2 + 1 1 + tan(x)^2 = tan(x)**2 + 1 Kontroll derivative - identity = 0 Kontroll kvotientform = 0

Fasit: \(f\prime(x)=1+\tan^2x\).

Vanlig feil: Å skrive at formelen er kjent uten å vise hvorfor den følger av kvotientregelen og identiteten sin²x+cos²x=1. Sensorpunkt: Sensor ser etter et faktisk bevis, ikke bare sluttformelen. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Ubestemt trigonometrisk integral

Oppgave 2b

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int\frac{1+\tan^2x}{\tan x}\,dx\). Vekting: Alle deloppgavene vektes likt. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke resultatet fra a eller omskrive integranden til en sum av tan x og cot x.

1. Del brøken \[\frac{1+\tan^2x}{\tan x}=\frac1{\tan x}+\tan x=\cot x+\tan x\]
2. Integrer cotangens \[\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|\]
3. Integrer tangens \[\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|\]
4. Sett sammen \[\ln|\sin x|-\ln|\cos x|+C\]
5. Bruk logaritmeregelen \[\ln\left|\frac{\sin x}{\cos x}\right|+C=\ln|\tan x|+C\]
6. Oppgi gyldighet Uttrykket gjelder på intervaller der både \(\tan x\) og integranden er definert.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral((1+tan(x)^2)/tan(x),x)Resultat: \(\ln|\tan x|\) Tolkning: Derivasjon av ln|tan x| gir integranden på hvert gyldig intervall.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , tan , sin , cos , log , diff , simplify , trigsimp x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = ( 1 + tan ( x ) ** 2 ) / tan ( x ) F = log ( tan ( x )) rewritten = cos ( x ) / sin ( x ) + sin ( x ) / cos ( x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Omskrevet =" , rewritten ) print ( "Trigonometrisk kontroll =" , trigsimp ( integrand - rewritten )) print ( "Foreslått stamfunksjon = log(tan(x))" ) print ( "Derivert tilbake =" , diff ( F , x )) print ( "Kontroll =" , simplify ( trigsimp ( diff ( F , x ) - integrand ))) print ( "Merk: absoluttverdi brukes i den reelle stamfunksjonen." ) assert simplify ( trigsimp ( diff ( F , x ) - integrand )) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = (tan(x)**2 + 1)/tan(x) Omskrevet = sin(x)/cos(x) + cos(x)/sin(x) Trigonometrisk kontroll = -tan(x) - 1/tan(x) + 2/sin(2*x) Foreslått stamfunksjon = log(tan(x)) Derivert tilbake = (tan(x)**2 + 1)/tan(x) Kontroll = 0 Merk: absoluttverdi brukes i den reelle stamfunksjonen.

Fasit: \(\ln|\tan x|+C\).

Vanlig feil: Å integrere telleren og nevneren hver for seg, eller å glemme absoluttverdien. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt omskriving og en stamfunksjon med +C. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3a Volum av pyramide

Oppgave 3a

Oppgave: Punktene \(A(0,0,0)\), \(B(5,0,0)\), \(C(4,2,0)\) og \(T(0,0,5)\) danner en pyramide. Regn ut volumet. Vekting: Alle deloppgavene vektes likt. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne arealet av grunnflaten ABC og høyden fra T til xy-planet. …