Matematikk R2 Eksamen våren 2023 (K06) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2023 (K06)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Produktregelen

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=x\sin x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av funksjonene x og sin x. Begge produktleddene må tas med.

1. Del produktet i to faktorer Sett \(u(x)=x\) og \(v(x)=\sin x\).
2. Deriver faktorene Vi får \(u\prime(x)=1\) og \(v\prime(x)=\cos x\).
3. Bruk produktregelen \[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]
4. Sett inn uttrykkene \[f\prime(x)=1\cdot\sin x+x\cos x\]
5. Forenkle \[f\prime(x)=\sin x+x\cos x\]
6. Rimelighetskontroll Ved \(x=0\) er \(f\prime(0)=0\), noe som stemmer med at \(x\sin x\) har horisontal tangent i origo.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(x*sin(x),x)Resultat: \(\sin x+x\cos x\) Tolkning: CAS bekrefter at produktregelen gir to ledd.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = x * sin ( x ) derivative = diff ( f , x ) expected = sin ( x ) + x * cos ( x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Kontroll ved x=0 =" , derivative . subs ( x , 0 )) print ( "Kontroll ved x=1 =" , derivative . subs ( x , 1 ) . evalf ( 12 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift f(x) = x*sin(x) f'(x) = x*cos(x) + sin(x) Forventet form = x*cos(x) + sin(x) Symbolsk kontroll = 0 Kontroll ved x=0 = 0 Kontroll ved x=1 = 1.38177329068

Fasit: \(f\prime(x)=\sin x+x\cos x\).

Vanlig feil: Å derivere faktorene hver for seg og multiplisere dem, slik at produktregelen mangler. Sensorpunkt: Sensor ser etter begge produktleddene og korrekt derivert av sinus. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Kvotientregel og trigonometrisk forenkling

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{\cos(2x)}{\sin x}\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en kvotient og samtidig håndtere kjerneregelen i cos(2x).

1. Oppgi definisjonsområdet Uttrykket krever \(\sin x\ne0\), altså \(x\ne k\pi\).
2. Deriver telleren \((\cos(2x))\prime=-2\sin(2x)\).
3. Deriver nevneren \((\sin x)\prime=\cos x\).
4. Bruk kvotientregelen \[g\prime(x)=\frac{-2\sin(2x)\sin x-\cos(2x)\cos x}{\sin^2x}\]
5. Forenkle med trigonometriske identiteter Siden \(\cos(2x)=1-2\sin^2x\), kan \(g(x)=\csc x-2\sin x\).
6. Skriv en ryddig sluttform \[g\prime(x)=-\frac{\cos x}{\sin^2x}-2\cos x\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(cos(2x)/sin(x),x)Resultat: \(\dfrac{-2\sin(2x)\sin x-\cos(2x)\cos x}{\sin^2x}\) 2 TrigSimplify(%)Resultat: \(-\dfrac{\cos x}{\sin^2x}-2\cos x\) Tolkning: Begge formene er ekvivalente på funksjonens definisjonsområde.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , trigsimp , together x = symbols ( 'x' , real = True ) g = cos ( 2 * x ) / sin ( x ) raw_derivative = diff ( g , x ) expected = - cos ( x ) / sin ( x ) ** 2 - 2 * cos ( x ) difference = simplify ( trigsimp ( together ( raw_derivative - expected ))) print ( "g(x) =" , g ) print ( "Direkte derivert =" , raw_derivative ) print ( "Forenklet derivert =" , trigsimp ( raw_derivative )) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , difference ) print ( "Definisjonskrav: sin(x) != 0" ) print ( "Numerisk kontroll ved x=1 =" , raw_derivative . subs ( x , 1 ) . evalf ( 12 )) assert difference == 0 

 Kjørt utskrift g(x) = cos(2*x)/sin(x) Direkte derivert = -2*sin(2*x)/sin(x) - cos(x)*cos(2*x)/sin(x)**2 Forenklet derivert = -(2 + sin(x)**(-2))*cos(x) Forventet form = -2*cos(x) - cos(x)/sin(x)**2 Symbolsk kontroll = 0 Definisjonskrav: sin(x) != 0 Numerisk kontroll ved x=1 = -1.84366433397

Fasit: \(g\prime(x)=-\dfrac{\cos x}{\sin^2x}-2\cos x\), for \(x\ne k\pi\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 2 fra kjerneregelen når cos(2x) deriveres. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kvotientregel, kjerneregel og domenebegrensning. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Bestemt integral og symmetri

Oppgave 2a

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int_{-1}^{1}(4x^3-x)\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne et bestemt integral. Integranden er en odde funksjon på et symmetrisk intervall.

1. Undersøk symmetrien \(h(x)=4x^3-x\) oppfyller \(h(-x)=-h(x)\).
2. Bruk symmetriregelen Integral av en odde funksjon fra \(-a\) til \(a\) er 0.
3. Alternativ: finn en stamfunksjon \[H(x)=x^4-\frac{x^2}{2}\]
4. Sett inn øvre grense \(H(1)=1-1/2=1/2\).
5. Sett inn nedre grense \(H(-1)=1-1/2=1/2\).
6. Trekk fra \[H(1)-H(-1)=0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(4*x^3-x,x,-1,1)Resultat: 0 Tolkning: CAS bekrefter både symmetrien og den eksakte integralverdien.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 4 * x ** 3 - x antiderivative = integrate ( integrand , x ) value = integrate ( integrand , ( x , - 1 , 1 )) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "h(-x) + h(x) =" , simplify ( integrand . subs ( x , - x ) + integrand )) print ( "Stamfunksjon =" , antiderivative ) print ( "H(1) =" , antiderivative . subs ( x , 1 )) print ( "H(-1) =" , antiderivative . subs ( x , - 1 )) print ( "Bestemt integral =" , value ) assert value == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 4*x**3 - x h(-x) + h(x) = 0 Stamfunksjon = x**4 - x**2/2 H(1) = 1/2 H(-1) = 1/2 Bestemt integral = 0

Fasit: 0.

Vanlig feil: Å overse at intervallet er symmetrisk og gjøre unødvendig kompliserte beregninger med fortegnsfeil. Sensorpunkt: Sensor godtar symmetriargument eller korrekt bruk av en stamfunksjon. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Bestemt eksponentialintegral

Oppgave 2b

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}e^{2x}\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en stamfunksjon til e^(2x), sette inn grensene og bruke at e^(ln 2)=2.

1. Integrer med kjerneregel baklengs \[\int e^{2x}\,dx=\frac12e^{2x}+C\]
2. Sett inn grensene \[\int_0^{\ln2}e^{2x}\,dx=\left[\frac12e^{2x}\right]_0^{\ln2}\]
3. Beregn øvre verdi \(e^{2\ln2}=e^{\ln4}=4\), så øvre verdi er 2.
4. Beregn nedre verdi Ved \(x=0\) får vi \(\frac12e^0=1/2\).
5. Trekk fra \[2-\frac12=\frac32\]
6. Kontroller fortegn Integranden er positiv, så et positivt svar er nødvendig.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(exp(2x),x,0,ln(2))Resultat: \(3/2\) Tolkning: CAS gir den eksakte verdien 3/2.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , exp , log , integrate , Rational , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = exp ( 2 * x ) F = integrate ( integrand , x ) value = integrate ( integrand , ( x , 0 , log ( 2 ))) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon =" , F ) print ( "Øvre verdi =" , simplify ( F . subs ( x , log ( 2 )))) print ( "Nedre verdi =" , simplify ( F . subs ( x , 0 ))) print ( "Bestemt integral =" , value ) print ( "Kontroll mot 3/2 =" , simplify ( value - Rational ( 3 , 2 ))) assert simplify ( value - Rational ( 3 , 2 )) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = exp(2*x) Stamfunksjon = exp(2*x)/2 Øvre verdi = 2 Nedre verdi = 1/2 Bestemt integral = 3/2 Kontroll mot 3/2 = 0

Fasit: \(\displaystyle\frac32\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 1/2 i stamfunksjonen til e^(2x). Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt stamfunksjon og eksakt grenseinnsetting. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3a Derivasjon av tangens

Oppgave 3a

Oppgave: Vis at dersom \(f(x)=\tan x\), så er \(f\prime(x)=1+\tan^2x\). Original poengangivelse: Oppgave 3 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bevise den oppgitte derivasjonsformelen ved å skrive tan x som sin x / cos x. …