Matematikk R2 Eksamen våren 2013 – løsningsforslag

Matematikk R2 — eksamen vår 2013 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

32deloppgaver 32Python-kontroller 32CAS-kontroller 6visualiseringer

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=3\cos x\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke konstantfaktorregelen og den grunnleggende derivasjonsregelen for cosinus.

Steg 1 — Skill ut konstanten

Tallet 3 er en konstant og beholdes som faktor når vi deriverer.

Steg 2 — Bruk standardregelen

\[\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\]

Steg 3 — Multipliser med konstanten

\[f'(x)=3\cdot(-\sin x)\]

Steg 4 — Forenkle fortegnet

\[f'(x)=-3\sin x\]

Steg 5 — Kontroller ved en enkel verdi

Ved \(x=0\) er \(f'(0)=0\), som stemmer med at cosinusgrafen har vannrett tangent i toppunktet.

Steg 6 — Oppgi endelig uttrykk

Den deriverte er definert for alle reelle \(x\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Derivative(3*cos(x), x) Resultat: \(-3\sin x\)

Tolkning: CAS bruker den samme cosinusregelen og gir identisk svar.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , cos , sin , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 3 * cos ( x ) derivative = diff ( f , x ) expected = - 3 * sin ( x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "f'(0) =" , derivative . subs ( x , 0 )) 

f(x) = 3*cos(x) f'(x) = -3*sin(x) Forventet uttrykk = -3*sin(x) Kontrollforskjell = 0 f'(0) = 0

Fasit: \(f'(x)=-3\sin x\).

Vanlig feil: Å glemme minustegnet i den deriverte av cosinus. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt standardregel og riktig konstantfaktor. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=6\sin(\pi x)+7\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kjerneregelen fordi argumentet i sinusfunksjonen er \(\pi x\). Konstantleddet 7 får derivert lik 0.

Steg 1 — Identifiser kjernen

Sett \(u=\pi x\). Da er \(u'=\pi\).

Steg 2 — Deriver ytre funksjon

\[\frac{d}{du}(\sin u)=\cos u\]

Steg 3 — Bruk kjerneregelen

\[\frac{d}{dx}\sin(\pi x)=\cos(\pi x)\cdot\pi\]

Steg 4 — Ta med konstantfaktoren

\[\frac{d}{dx}\bigl(6\sin(\pi x)\bigr)=6\pi\cos(\pi x)\]

Steg 5 — Deriver konstantleddet

\[\frac{d}{dx}(7)=0\]

Steg 6 — Sett sammen

\[g'(x)=6\pi\cos(\pi x)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Derivative(6*sin(pi*x)+7, x) Resultat: \(6\pi\cos(\pi x)\)

Tolkning: CAS bekrefter faktoren \(\pi\) fra den indre deriverte.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , sin , cos , pi , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) g = 6 * sin ( pi * x ) + 7 derivative = diff ( g , x ) expected = 6 * pi * cos ( pi * x ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , derivative ) print ( "Indre derivert av pi*x =" , diff ( pi * x , x )) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "g'(1) =" , derivative . subs ( x , 1 )) 

g(x) = 6*sin(pi*x) + 7 g'(x) = 6*pi*cos(pi*x) Indre derivert av pi*x = pi Kontrollforskjell = 0 g'(1) = -6*pi

Fasit: \(g'(x)=6\pi\cos(\pi x)\).

Vanlig feil: Å skrive \(6\cos(\pi x)\) og dermed glemme den indre faktoren \(\pi\). Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt bruk av kjerneregelen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \(h(x)=3e^{2x}\sin(3x)\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av to sammensatte funksjoner. Vi trenger både produktregelen og kjerneregelen.

Steg 1 — Velg faktorene

Sett \(u(x)=3e^{2x}\) og \(v(x)=\sin(3x)\).

Steg 2 — Deriver første faktor

\[u'(x)=3\cdot2e^{2x}=6e^{2x}\]

Steg 3 — Deriver andre faktor

\[v'(x)=3\cos(3x)\]

Steg 4 — Bruk produktregelen

\[h'=u'v+uv'\]

Steg 5 — Sett inn

\[h'(x)=6e^{2x}\sin(3x)+3e^{2x}\cdot3\cos(3x)\]

Steg 6 — Faktoriser

\[h'(x)=3e^{2x}\bigl(2\sin(3x)+3\cos(3x)\bigr)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Derivative(3*exp(2*x)*sin(3*x), x) Resultat: \(3e^{2x}(2\sin(3x)+3\cos(3x))\)

Tolkning: CAS bekrefter begge leddene fra produktregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , exp , sin , cos , diff , factor , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) h = 3 * exp ( 2 * x ) * sin ( 3 * x ) derivative = diff ( h , x ) expected = 3 * exp ( 2 * x ) * ( 2 * sin ( 3 * x ) + 3 * cos ( 3 * x )) print ( "h(x) =" , h ) print ( "h'(x) =" , derivative ) print ( "Faktorisert =" , factor ( derivative )) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( derivative - expected )) 

h(x) = 3*exp(2*x)*sin(3*x) h'(x) = 6*exp(2*x)*sin(3*x) + 9*exp(2*x)*cos(3*x) Faktorisert = 3*(2*sin(3*x) + 3*cos(3*x))*exp(2*x) Forventet form = 3*(2*sin(3*x) + 3*cos(3*x))*exp(2*x) Kontrollforskjell = 0

Fasit: \(h'(x)=3e^{2x}\bigl(2\sin(3x)+3\cos(3x)\bigr)\).

Vanlig feil: Å bruke produktregelen, men glemme én eller begge indre deriverte, 2 og 3. Sensorpunkt: Sensor ser etter to produktledd og korrekt kjerneregel i hvert ledd. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Integrasjon ved variabelskifte

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\frac{2x}{x^2-4}\,dx\) ved å bruke variabelskifte. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren har den deriverte \(2x\) i telleren. Derfor er substitusjonen \(u=x^2-4\) direkte.

Steg 1 — Velg variabelskifte

\[u=x^2-4\]

Steg 2 — Finn differensialet

\[du=2x\,dx\]

Steg 3 — Skriv om integralet

\[\int\frac{2x}{x^2-4}\,dx=\int\frac1u\,du\]

Steg 4 — Integrer standardformen

\[\int\frac1u\,du=\ln|u|+C\]

Steg 5 — Sett tilbake

\[\ln|x^2-4|+C\]

Steg 6 — Kontroller definisjonsområdet

Integranden er ikke definert for \(x=\pm2\), og absoluttverdien gjør stamfunksjonen gyldig på hvert intervall i definisjonsområdet.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Integral(2*x/(x^2-4), x) Resultat: \(\ln|x^2-4|\)

Tolkning: CAS gir en logaritmisk stamfunksjon som er ekvivalent på hvert definisjonsintervall.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , integrate , diff , log , Abs , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 2 * x / ( x ** 2 - 4 ) F = log ( Abs ( x ** 2 - 4 )) check_on_interval = log ( x ** 2 - 4 ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "SymPy-stamfunksjon =" , integrate ( integrand , x )) print ( "Valgt stamfunksjon =" , F ) print ( "Derivert kontroll på intervallet x > 2 =" , simplify ( diff ( check_on_interval , x ) - integrand )) print ( "Absoluttverdien gir samme derivert på hvert definisjonsintervall" ) print ( "Singulære punkter =" , [ - 2 , 2 ]) 

Integrand = 2*x/(x**2 - 4) SymPy-stamfunksjon = log(x**2 - 4) Valgt stamfunksjon = log(Abs(x**2 - 4)) Derivert kontroll på intervallet x > 2 = 0 Absoluttverdien gir samme derivert på hvert definisjonsintervall Singulære punkter = [-2, 2]

Fasit: \(\displaystyle\int\frac{2x}{x^2-4}\,dx=\ln|x^2-4|+C\).

Vanlig feil: Å skrive \(\ln(x^2-4)\) uten absoluttverdi og dermed miste intervallene der \(x^2-4<0\). Sensorpunkt: Sensor ser etter substitusjonen, hele omskrivingen og konstanten \(C\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Delbrøkoppspalting

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\frac{2x}{x^2-4}\,dx\) ved å bruke delbrøkoppspalting. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi faktoriserer nevneren og bestemmer koeffisientene i en sum av to enkle brøker.

Steg 1 — Faktoriser nevneren

\[x^2-4=(x-2)(x+2)\]

Steg 2 — Sett opp delbrøkene

\[\frac{2x}{(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}\]

Steg 3 — Multipliser med nevneren

\[2x=A(x+2)+B(x-2)\]

Steg 4 — Sammenlign koeffisienter

\[A+B=2,\qquad 2A-2B=0\]

Steg 5 — Løs systemet

\[A=B=1\]

Steg 6 — Integrer leddvis

\[\int\left(\frac1{x-2}+\frac1{x+2}\right)dx=\ln|x-2|+\ln|x+2|+C=\ln|x^2-4|+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 PartialFractions(2*x/(x^2-4)) Resultat: \(1/(x-2)+1/(x+2)\) 2 Integral(1/(x-2)+1/(x+2),x) Resultat: \(\ln|x^2-4|\)

Tolkning: Delbrøkene gir samme stamfunksjon som variabelskiftet. …