Matematikk R2 Eksamen høsten 2016 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen høst 2016

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Derivasjon og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=3\cos 2x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en cosinusfunksjon med konstant faktor 3 og kjernen \(2x\).

1. Skriv funksjonen tydelig Vi tolker uttrykket som \(f(x)=3\cos(2x)\).
2. Behold konstantfaktoren Faktoren 3 står utenfor derivasjonen.
3. Deriver cosinus \(\frac{d}{dx}\cos u=-\sin u\cdot u\prime\).
4. Deriver kjernen For \(u=2x\) er \(u\prime=2\).
5. Sett sammen \(f\prime(x)=3\cdot[-\sin(2x)]\cdot2\).
6. Forenkle \[f\prime(x)=-6\sin(2x)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(3 cos(2x), x)Resultat: \(-6\sin(2x)\) Tolkning: CAS bekrefter minusfortegnet og faktoren 2 fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , cos , sin , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 3 * cos ( 2 * x ) derivative = diff ( f , x ) expected = - 6 * sin ( 2 * x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Kontroll ved x=0 =" , derivative . subs ( x , 0 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift f(x) = 3*cos(2*x) f'(x) = -6*sin(2*x) Forventet = -6*sin(2*x) Symbolsk kontroll = 0 Kontroll ved x=0 = 0

Fasit: \(f\prime(x)=-6\sin(2x)\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte 2 eller minusfortegnet til cosinus. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kjerneregel og fullstendig forenkling. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Eksponentialfunksjon og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=e^{\sin x}\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Eksponenten er selv en funksjon. Vi bruker regelen for \(e^{u(x)}\) og deriverer deretter kjernen \(\sin x\).

1. Identifiser ytre funksjon Den ytre funksjonen er \(e^u\).
2. Deriver ytre funksjon Den deriverte av \(e^u\) er fortsatt \(e^u\).
3. Identifiser kjernen Her er \(u(x)=\sin x\).
4. Deriver kjernen \(u\prime(x)=\cos x\).
5. Bruk kjerneregelen \(g\prime(x)=e^{\sin x}\cdot\cos x\).
6. Skriv svaret ryddig \[g\prime(x)=e^{\sin x}\cos x\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(exp(sin(x)), x)Resultat: \(e^{\sin x}\cos x\) Tolkning: CAS viser produktet av den opprinnelige eksponentialfunksjonen og den indre deriverte.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , exp , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) g = exp ( sin ( x )) derivative = diff ( g , x ) expected = exp ( sin ( x )) * cos ( x ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , derivative ) print ( "Faktorisert form =" , derivative . factor ()) print ( "Kontroll =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "g'(0) =" , derivative . subs ( x , 0 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift g(x) = exp(sin(x)) g'(x) = exp(sin(x))*cos(x) Faktorisert form = exp(sin(x))*cos(x) Kontroll = 0 g'(0) = 1

Fasit: \(g\prime(x)=e^{\sin x}\cos x\).

Vanlig feil: Å skrive bare \(e^{\sin x}\) og glemme å derivere eksponenten. Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig bruk av kjerneregelen. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1c Kvotientregelen

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \(h(x)=\dfrac{x}{\sin x}\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er en kvotient. Vi bruker kvotientregelen og tar hensyn til at \(\sin x\neq0\) i definisjonsområdet.

1. Velg teller og nevner Sett \(u=x\) og \(v=\sin x\).
2. Deriver teller \(u\prime=1\).
3. Deriver nevner \(v\prime=\cos x\).
4. Bruk kvotientregelen \((u/v)\prime=(u\prime v-uv\prime)/v^2\).
5. Sett inn \(h\prime(x)=[\sin x-x\cos x]/\sin^2x\).
6. Oppgi domenehensyn Uttrykket gjelder der \(\sin x\neq0\), altså \(x\neq k\pi\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(x/sin(x), x)Resultat: \(\dfrac{\sin x-x\cos x}{\sin^2x}\) Tolkning: CAS samler de to leddene over fellesnevneren \(\sin^2x\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , together , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) h = x / sin ( x ) raw = diff ( h , x ) result = together ( raw ) expected = ( sin ( x ) - x * cos ( x )) / sin ( x ) ** 2 print ( "h(x) =" , h ) print ( "Derivert, rå form =" , raw ) print ( "Derivert, samlet =" , result ) print ( "Forventet =" , expected ) print ( "Kontroll =" , simplify ( result - expected )) assert simplify ( result - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift h(x) = x/sin(x) Derivert, rå form = -x*cos(x)/sin(x)**2 + 1/sin(x) Derivert, samlet = (-x*cos(x) + sin(x))/sin(x)**2 Forventet = (-x*cos(x) + sin(x))/sin(x)**2 Kontroll = 0

Fasit: \(h\prime(x)=\dfrac{\sin x-x\cos x}{\sin^2x}\), for \(x\neq k\pi\).

Vanlig feil: Å bytte om rekkefølgen i telleren eller glemme å kvadrere nevneren. Sensorpunkt: Sensor ser etter kvotientregelen, riktig fortegn og domene. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Ubestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int (x^2-3x+2)\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Polynomet integreres ledd for ledd med potensregelen.

1. Del opp integralet \(\int x^2dx-3\int xdx+2\int dx\).
2. Integrer første ledd \(\int x^2dx=x^3/3\).
3. Integrer andre ledd \(-3\int xdx=-3x^2/2\).
4. Integrer konstantleddet \(2\int dx=2x\).
5. Sett sammen \(x^3/3-3x^2/2+2x\).
6. Legg til konstant \[\int (x^2-3x+2)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(x^2-3x+2, x)Resultat: \(x^3/3-3x^2/2+2x\) Tolkning: Derivasjon av CAS-resultatet gir integranden tilbake.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) expr = x ** 2 - 3 * x + 2 F = integrate ( expr , x ) check = simplify ( diff ( F , x ) - expr ) print ( "Integrand =" , expr ) print ( "Stamfunksjon =" , F ) print ( "Derivert tilbake =" , diff ( F , x )) print ( "Kontroll =" , check ) assert check == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = x**2 - 3*x + 2 Stamfunksjon = x**3/3 - 3*x**2/2 + 2*x Derivert tilbake = x**2 - 3*x + 2 Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x+C\).

Vanlig feil: Å glemme integrasjonskonstanten eller beholde eksponentene uendret. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bruk av potensregelen i alle tre ledd. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Delvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int x\cos x\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Integranden er et produkt av et polynom og en trigonometrisk funksjon. Delvis integrasjon reduserer polynomgraden.

1. Velg delene Sett \(u=x\) og \(dv=\cos x\,dx\).
2. Finn differensial og stamfunksjon Da er \(du=dx\) og \(v=\sin x\).
3. Bruk formelen \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\).
4. Sett inn \(\int x\cos xdx=x\sin x-\int\sin xdx\).
5. Integrer restleddet \(-\int\sin xdx=+\cos x\).
6. Skriv svaret \[\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(x cos(x), x)Resultat: \(x\sin x+\cos x\) Tolkning: CAS-resultatet kan kontrolleres direkte ved derivasjon.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) expr = x * cos ( x ) F = integrate ( expr , x ) expected = x * sin ( x ) + cos ( x ) print ( "Integrand =" , expr ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , F ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , simplify ( diff ( expected , x ))) print ( "Kontroll =" , simplify ( F - expected )) assert simplify ( F - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = x*cos(x) Stamfunksjon fra SymPy = x*sin(x) + cos(x) Forventet form = x*sin(x) + cos(x) Derivert tilbake = x*cos(x) Kontroll = 0

Fasit: \(x\sin x+\cos x+C\). …