Matematikk R2 Eksamen våren 2024 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2024 (LK20)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Bestemt integral

Oppgave 1a

Oppgave: Funksjonen er gitt ved \(f(x)=-x^3+3x\). Regn ut \(\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)\,dx\). Vekting: Alle deloppgavene vektes likt. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en antiderivert og bruke analysens fundamentalteorem. Fortegnet må tolkes ut fra at grafen ligger under x-aksen på intervallet.

1. Finn en antiderivert \[F(x)=-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}\]
2. Sett inn øvre grense \(F(0)=0\).
3. Sett inn nedre grense \[F(-1)=-\frac14+\frac32=\frac54\]
4. Trekk nedre verdi fra øvre \[\int_{-1}^{0}f(x)\,dx=0-\frac54=-\frac54\]
5. Kontroller fortegnet For \(-1 0\), så \(f(x)=x(3-x^2)<0\).
6. Tolk svaret Integralverdien er negativ fordi hele grafstykket ligger under x-aksen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(-x^3+3x,x,-1,0)Resultat: \(-\frac54\) Tolkning: CAS gir den eksakte integralverdien og bekrefter fortegnet. Det bestemte integralet på [-1,0] er negativt, mens det geometriske arealet på [-1,1] summerer begge sidene positivt.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , factor , Rational , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = - x ** 3 + 3 * x F = integrate ( f , x ) value = integrate ( f , ( x , - 1 , 0 )) print ( "f(x) =" , f ) print ( "Faktorisert f(x) =" , factor ( f )) print ( "Antiderivert F(x) =" , F ) print ( "F(0) =" , F . subs ( x , 0 )) print ( "F(-1) =" , F . subs ( x , - 1 )) print ( "Bestemt integral =" , value ) print ( "Kontroll mot -5/4 =" , simplify ( value + Rational ( 5 , 4 ))) assert value == - Rational ( 5 , 4 ) 

 Kjørt utskrift f(x) = -x**3 + 3*x Faktorisert f(x) = -x*(x**2 - 3) Antiderivert F(x) = -x**4/4 + 3*x**2/2 F(0) = 0 F(-1) = 5/4 Bestemt integral = -5/4 Kontroll mot -5/4 = 0

Fasit: \(\displaystyle -\frac54\).

Vanlig feil: Å glemme at bestemt integral er \(F(0)-F(-1)\), eller å gjøre integralverdien positiv fordi oppgaven senere spør om areal. Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig antiderivert, korrekt grenseinnsetting og eksakt svar. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Geometrisk areal

Oppgave 1b

Oppgave: Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til \(f(x)=-x^3+3x\), x-aksen og linjene \(x=-1\) og \(x=1\). Vekting: Alle deloppgavene vektes likt. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne geometrisk areal. Derfor må den negative delen på venstre side tas med som en positiv størrelse.

1. Finn nullpunktet i intervallet \(f(x)=x(3-x^2)\), og det eneste nullpunktet i \([-1,1]\) er \(x=0\).
2. Bruk oddesymmetri Funksjonen er odde, så arealene på hver side av y-aksen er like store.
3. Sett opp arealet \[A=2\int_0^1(-x^3+3x)\,dx\]
4. Bruk antideriverten \[A=2\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}\right]_0^1\]
5. Regn ut \[A=2\left(-\frac14+\frac32\right)=2\cdot\frac54=\frac52\]
6. Oppgi arealenhet Arealet er \(\frac52\) kvadratenheter.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(abs(-x^3+3x),x,-1,1)Resultat: \(\frac52\) Tolkning: Absoluttverdien gjør at bidraget under x-aksen teller positivt. Det bestemte integralet på [-1,0] er negativt, mens det geometriske arealet på [-1,1] summerer begge sidene positivt.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , Abs , Rational , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = - x ** 3 + 3 * x right_area = integrate ( f , ( x , 0 , 1 )) left_area = integrate ( - f , ( x , - 1 , 0 )) total = simplify ( left_area + right_area ) absolute_check = integrate ( Abs ( f ), ( x , - 1 , 1 )) print ( "Areal på venstre side =" , left_area ) print ( "Areal på høyre side =" , right_area ) print ( "Totalt geometrisk areal =" , total ) print ( "Kontroll med absoluttverdi =" , absolute_check ) print ( "Kontroll mot 5/2 =" , simplify ( total - Rational ( 5 , 2 ))) assert total == Rational ( 5 , 2 ) assert absolute_check == total 

 Kjørt utskrift Areal på venstre side = 5/4 Areal på høyre side = 5/4 Totalt geometrisk areal = 5/2 Kontroll med absoluttverdi = 5/2 Kontroll mot 5/2 = 0

Fasit: \(\displaystyle A=\frac52=2{,}5\) kvadratenheter.

Vanlig feil: Å bruke integralet fra -1 til 1 direkte. Siden funksjonen er odde, ville det gitt 0 og ikke geometrisk areal. Sensorpunkt: Sensor ser etter oppdeling ved x=0 eller korrekt bruk av symmetri og absoluttverdi. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2 Substitusjon i integral

Oppgave 2

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int \sin^3(x)\cos(x)\,dx\). Vekting: Alle deloppgavene vektes likt. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjenkjenne at den deriverte av \(\sin x\) er \(\cos x\), slik at substitusjon gir et enkelt potensintegral.

1. Velg substitusjon Sett \(u=\sin x\).
2. Finn differensialet \(du=\cos x\,dx\).
3. Skriv om integralet \[\int\sin^3x\cos x\,dx=\int u^3\,du\]
4. Integrer potensfunksjonen \[\int u^3\,du=\frac{u^4}{4}+C\]
5. Sett tilbake \[\frac{\sin^4x}{4}+C\]
6. Deriver som kontroll \(\frac{d}{dx}(\sin^4x/4)=\sin^3x\cos x\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(sin(x)^3*cos(x),x)Resultat: \(\frac14\sin^4x\) Tolkning: CAS returnerer en stamfunksjon; den generelle løsningen må ha med konstanten C.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = sin ( x ) ** 3 * cos ( x ) F = integrate ( integrand , x ) expected = sin ( x ) ** 4 / 4 print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , F ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , diff ( expected , x )) print ( "Kontroll =" , simplify ( diff ( expected , x ) - integrand )) assert simplify ( diff ( expected , x ) - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = sin(x)**3*cos(x) Stamfunksjon fra SymPy = sin(x)**4/4 Forventet form = sin(x)**4/4 Derivert tilbake = sin(x)**3*cos(x) Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle\frac14\sin^4x+C\).

Vanlig feil: Å integrere \(\sin^3x\) og \(\cos x\) hver for seg. Produktet krever substitusjon eller en ekvivalent metode. Sensorpunkt: Sensor ser etter en tydelig substitusjon og korrekt integrasjonskonstant. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3a Programforståelse og summer

Oppgave 3a

Oppgave: Programmet starter med \(n=0\), \(S=0\), og gjentar \(n=n+1\), \(S=S+4n-2\) så lenge \(S\le200\). Forklar hva eleven prøver å finne ut. Vekting: Alle deloppgavene vektes likt. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke løkken matematisk og identifisere rekken som summeres.

1. Finn leddene som legges til Når \(n=1,2,3,\ldots\), legges \(2,6,10,14,\ldots\) til S.
2. Identifiser leddformelen Det n-te leddet er \(a_n=4n-2\).
3. Beskriv summen Etter n runder er \(S_n=\sum_{k=1}^{n}(4k-2)\).
4. Forenkle summen \[S_n=4\frac{n(n+1)}2-2n=2n^2\]
5. Tolk while-betingelsen Løkken fortsetter så lenge den gamle verdien av S er høyst 200.
6. Formuler hensikten Programmet finner det første antallet ledd som gjør at summen blir større enn 200.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Sum(4*k-2,k,1,n)Resultat: \(2n^2\) Tolkning: CAS viser den eksplisitte summen som programmet bygger opp. Ved n=10 er S akkurat 200, så løkken kjører én gang til og skriver ut n=11.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , summation , simplify k , n = symbols ( 'k n' , integer = True , positive = True ) term = 4 * k - 2 sum_formula = summation ( term , ( k , 1 , n )) print ( "Det k-te leddet =" , term ) print ( "Summen av de n første leddene =" , sum_formula ) print ( "Forenklet kontroll mot 2*n**2 =" , simplify ( sum_formula - 2 * n ** 2 )) print ( "Første ledd =" , term . subs ( k , 1 )) print ( "Andre ledd =" , term . subs ( k , 2 )) print ( "Tredje ledd =" , term . subs ( k , 3 )) assert simplify ( sum_formula - 2 * n ** 2 ) == 0 

 Kjørt utskrift Det k-te leddet = 4*k - 2 Summen av de n første leddene = 2*n**2 Forenklet kontroll mot 2*n**2 = 0 Første ledd = 2 Andre ledd = 6 Tredje ledd = 10

Fasit: Programmet finner det minste \(n\) slik at \(2+6+10+\cdots+(4n-2)>200\). …