Matematikk R2 Eksempelsett 2008 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 — eksempelsett 2008 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

37 deloppgaver løst Del 1 + Del 2 samme rekkefølge som settet Begge alternativer i oppgave 4 CAS + SymPy digitale kontroller Del 1Del 2Oppgave 4 alternativ IOppgave 4 alternativ II

Del 1 – uten hjelpemidler

Oppgave 1a–1i løses med full mellomregning. Digitale blokker brukes kun som etterkontroll.

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon · produktregel og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=2x\cos(3x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt. Faktoren \(2x\) deriveres direkte, mens \(\cos(3x)\) krever kjerneregelen.

Steg 1 — Identifiser produktet

Skriv \(f(x)=u(x)v(x)\), der \(u(x)=2x\) og \(v(x)=\cos(3x)\). Da kan vi bruke produktregelen \((uv)\prime=u\prime v+uv\prime\).

Steg 2 — Deriver den første faktoren

Vi får \(u\prime(x)=2\), fordi den deriverte av \(2x\) er \(2\).

Steg 3 — Deriver den andre faktoren

Med kjernen \(g(x)=3x\) får vi \(g\prime(x)=3\). Kjerneregelen gir

\[v\prime(x)=-\sin(3x)\cdot 3=-3\sin(3x).\]

Steg 4 — Sett inn i produktregelen

\[f\prime(x)=2\cos(3x)+2x\bigl(-3\sin(3x)\bigr).\]

Steg 5 — Forenkle

\[f\prime(x)=2\cos(3x)-6x\sin(3x).\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 f(x) := 2x cos(3x) → \(f(x)=2x\cos(3x)\) 2 Derivative(f) → \(2\cos(3x)-6x\sin(3x)\)

Tolkning: CAS-resultatet er identisk med den symbolske derivasjonen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 SymPy-kontroll

from sympy import symbols, cos, sin, diff, simplify x = symbols('x', real=True) f = 2*x*cos(3*x) f_prime = simplify(diff(f, x)) expected = 2*cos(3*x) - 6*x*sin(3*x) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_prime) print("Kontroll, differanse =", simplify(f_prime - expected))

f(x) = 2*x*cos(3*x) f'(x) = -6*x*sin(3*x) + 2*cos(3*x) Kontroll, differanse = 0

Fasit: \(f\prime(x)=2\cos(3x)-6x\sin(3x)\).

Vanlig feil: Å derivere faktorene hver for seg og multiplisere dem. Produktregelen må inneholde to ledd. En annen vanlig feil er å glemme faktoren \(3\) fra kjerneregelen. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel, korrekt kjerneregel og et ryddig sluttresultat. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Derivasjon · kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=3\bigl(e^{4x}+1\bigr)^2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt funksjon med tre lag: konstant faktor, andre potens og eksponentialfunksjon.

Steg 1 — Skill ut den ytre konstanten

Faktoren \(3\) blir stående utenfor derivasjonen.

Steg 2 — Velg indre funksjon

Sett \(u(x)=e^{4x}+1\). Da er \(f(x)=3u(x)^2\).

Steg 3 — Deriver den ytre funksjonen

Den deriverte av \(u^2\) med hensyn på \(u\) er \(2u\).

Steg 4 — Deriver den indre funksjonen

\[u\prime(x)=4e^{4x}.\]

Her kommer faktoren \(4\) fra kjerneregelen.

Steg 5 — Bruk kjerneregelen

\[f\prime(x)=3\cdot 2\bigl(e^{4x}+1\bigr)\cdot 4e^{4x}.\]

Steg 6 — Samle konstantene

\[f\prime(x)=24e^{4x}\bigl(e^{4x}+1\bigr).\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 f(x) := 3 (exp(4x) + 1)^2 → \(3(e^{4x}+1)^2\) 2 Derivative(f) → \(24e^{4x}(e^{4x}+1)\)

Tolkning: GeoGebra kan skrive et algebraisk ekvivalent, utvidet uttrykk. Faktorisert form er mest oversiktlig.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 SymPy-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify x = symbols('x', real=True) f = 3*(exp(4*x) + 1)**2 f_prime = factor(diff(f, x)) expected = 24*exp(4*x)*(exp(4*x) + 1) print("f(x) =", f) print("Faktorisert derivert =", f_prime) print("Kontroll, differanse =", simplify(f_prime - expected))

f(x) = 3*(exp(4*x) + 1)**2 Faktorisert derivert = 24*(exp(4*x) + 1)*exp(4*x) Kontroll, differanse = 0

Fasit: \(f\prime(x)=24e^{4x}\bigl(e^{4x}+1\bigr)\).

Vanlig feil: Å glemme enten faktoren \(2\) fra potensregelen eller faktoren \(4\) fra derivasjonen av \(e^{4x}\). Sensorpunkt: Full uttelling krever at alle lagene i kjerneregelen vises, ikke bare sluttresultatet. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c-1 Funksjonsanalyse · funksjonsverdi

Oppgave 1c-1

Oppgave:

Gitt funksjonen \(f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-4x^2+x+2\).

1) Ligger grafen over eller under \(x\)-aksen når \(x=1\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre fortegnet til funksjonsverdien \(f(1)\). En positiv verdi betyr over aksen, mens en negativ verdi betyr under.

Steg 1 — Sett inn \(x=1\)

\[f(1)=\frac{2}{3}\cdot 1^3-4\cdot 1^2+1+2.\]

Steg 2 — Regn potensene

\[f(1)=\frac{2}{3}-4+1+2.\]

Steg 3 — Samle heltallsleddene

\[-4+1+2=-1.\]

Steg 4 — Finn funksjonsverdien

\[f(1)=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}.\]

Steg 5 — Tolk fortegnet

Siden \(f(1)<0\), ligger punktet \((1,f(1))\) under \(x\)-aksen.

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 f(x) := (2/3)x^3 - 4x^2 + x + 2 → \(f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-4x^2+x+2\) 2 f(1) → \(-\dfrac{1}{3}\)

Python-kontroll med SymPy

Python 3 SymPy-kontroll

from sympy import symbols, Rational x = symbols('x', real=True) f = Rational(2, 3)*x**3 - 4*x**2 + x + 2 value = f.subs(x, 1) print("f(x) =", f) print("f(1) =", value) print("Fortegn =", "negativ" if value < 0 else "ikke-negativ")

f(x) = 2*x**3/3 - 4*x**2 + x + 2 f(1) = -1/3 Fortegn = negativ

Fasit: Grafen ligger under \(x\)-aksen når \(x=1\), fordi \(f(1)=-\dfrac{1}{3}\).

Vanlig feil: Å undersøke den deriverte i stedet for selve funksjonsverdien. Her spør oppgaven om høyden til grafen. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt innsetting, korrekt fortegn og en eksplisitt geometrisk tolkning. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c-2 Funksjonsanalyse · første derivert

Oppgave 1c-2

Oppgave:

Gitt funksjonen \(f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-4x^2+x+2\).

2) Stiger eller synker grafen når \(x=1\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fortegnet til \(f\prime(1)\). Negativ derivert betyr at grafen synker.

Steg 1 — Deriver leddvis

\[f\prime(x)=2x^2-8x+1.\]

Steg 2 — Sett inn \(x=1\)

\[f\prime(1)=2\cdot 1^2-8\cdot 1+1.\]

Steg 3 — Regn ut

\[f\prime(1)=2-8+1=-5.\]

Steg 4 — Tolk fortegnet

Den deriverte er negativ, altså har tangenten negativ stigningstall.

Steg 5 — Konkluder

Grafen synker når \(x=1\).

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 f(x) := (2/3)x^3 - 4x^2 + x + 2 → \(f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-4x^2+x+2\) 2 Derivative(f, 1) → \(-5\)

Python-kontroll med SymPy

Python 3 SymPy-kontroll

from sympy import symbols, Rational, diff x = symbols('x', real=True) f = Rational(2, 3)*x**3 - 4*x**2 + x + 2 f_prime = diff(f, x) slope = f_prime.subs(x, 1) print("f'(x) =", f_prime) print("f'(1) =", slope) print("Grafen =", "synker" if slope < 0 else "stiger eller er horisontal")

f'(x) = 2*x**2 - 8*x + 1 f'(1) = -5 Grafen = synker

Fasit: Grafen synker når \(x=1\), fordi \(f\prime(1)=-5\).

Vanlig feil: Å bruke \(f(1)\) til å avgjøre om grafen stiger eller synker. Det er \(f\prime(1)\) som beskriver stigning. Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig derivert og korrekt kobling mellom fortegnet til den deriverte og monotoni. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c-3 Funksjonsanalyse · andre derivert

Oppgave 1c-3

Oppgave:

Gitt funksjonen \(f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-4x^2+x+2\).

3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når \(x=1\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Den momentane veksthastigheten er \(f\prime(x)\). For å avgjøre om denne øker eller minker, undersøker vi den andrederiverte \(f\prime\prime(1)\).

Steg 1 — Start med første derivert

\[f\prime(x)=2x^2-8x+1.\]

Steg 2 — Deriver én gang til

\[f\prime\prime(x)=4x-8.\]

Steg 3 — Sett inn \(x=1\)

\[f\prime\prime(1)=4\cdot 1-8=-4.\]

Steg 4 — Tolk fortegnet

Siden \(f\prime\prime(1)<0\), er \(f\prime\) avtakende rundt \(x=1\).

Steg 5 — Konkluder

Den momentane veksthastigheten minker når \(x=1\). Grafen er samtidig konkav ned der.

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 f(x) := (2/3)x^3 - 4x^2 + x + 2 → \(f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-4x^2+x+2\) 2 Derivative(f, 2) → \(-4\)

Python-kontroll med SymPy

Python 3 SymPy-kontroll

from sympy import symbols, Rational, diff x = symbols('x', real=True) f = Rational(2, 3)*x**3 - 4*x**2 + x + 2 f_second = diff(f, x, 2) value = f_second.subs(x, 1) print("f''(x) =", f_second) print("f''(1) =", value) print("Veksthastigheten =", "minker" if value < 0 else "øker eller er konstant")

f''(x) = 4*(x - 2) f''(1) = -4 Veksthastigheten = minker

Fasit: Den momentane veksthastigheten minker når \(x=1\), fordi \(f\prime\prime(1)=-4\).

Vanlig feil: Å svare at veksthastigheten er negativ. Oppgaven spør ikke om \(f\prime\) er positiv eller negativ, men om \(f\prime\) selv øker eller minker. Sensorpunkt: Sensor ser etter bruk av andrederivert og en presis forklaring av hva fortegnet betyr. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 1d

Oppgave:

Finn summen av den uendelige rekka: \(9+0{,}9+0{,}09+0{,}009+\cdots\). …