Matematikk R2 Eksamen høsten 2012 – løsningsforslag

Matematikk R2 — eksamen høst 2012 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

30deloppgaver 30Python-kontroller 30CAS-kontroller 7visualiseringer

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=e^x\cdot\cos x\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av eksponentialfunksjonen og cosinusfunksjonen. Produktregelen er hovedmetoden.

Steg 1 — Identifiser faktorene

Sett \(u(x)=e^x\) og \(v(x)=\cos x\).

Steg 2 — Deriver hver faktor

\[u'(x)=e^x,\qquad v'(x)=-\sin x\]

Steg 3 — Skriv produktregelen

\[(uv)'=u'v+uv'\]

Steg 4 — Sett inn de deriverte

\[f'(x)=e^x\cos x+e^x(-\sin x)\]

Steg 5 — Faktoriser

\[f'(x)=e^x(\cos x-\sin x)\]

Steg 6 — Kontroller strukturen

Begge ledd har faktoren \(e^x\), og minustegnet kommer fra \((\cos x)'=-\sin x\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Derivative(exp(x)*cos(x), x) Resultat: \(e^x(\cos x-\sin x)\)

CAS bruker produktregelen og gir samme faktoriserte uttrykk.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , exp , cos , sin , diff , factor x = symbols ( 'x' , real = True ) f = exp ( x ) * cos ( x ) derivative = diff ( f , x ) expected = exp ( x ) * ( cos ( x ) - sin ( x )) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , derivative ) print ( "Faktorisert =" , factor ( derivative )) print ( "Kontrollforskjell =" , ( derivative - expected ) . simplify ()) 

f(x) = exp(x)*cos(x) f'(x) = -exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x) Faktorisert = (-sin(x) + cos(x))*exp(x) Kontrollforskjell = 0

Fasit: \(f'(x)=e^x(\cos x-\sin x)\).

Vanlig feil: Å glemme minustegnet når cosinus deriveres, eller å derivere bare én faktor. Sensorpunkt: Produktregelen må vises, og begge ledd må være med før faktorisering. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=5(1+\sin x)^3\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt potensfunksjon. Kjerneregelen må brukes på \((1+\sin x)^3\).

Steg 1 — Velg ytre og indre funksjon

La \(u=1+\sin x\). Da er \(g(x)=5u^3\).

Steg 2 — Deriver ytre funksjon

\[\frac{d}{du}(5u^3)=15u^2\]

Steg 3 — Deriver kjernen

\[u'=\cos x\]

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

\[g'(x)=15u^2\cdot u'\]

Steg 5 — Sett tilbake

\[g'(x)=15(1+\sin x)^2\cos x\]

Steg 6 — Rimelighetskontroll

Eksponenten reduseres fra 3 til 2, og den indre deriverte \(\cos x\) kommer som faktor.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Derivative(5*(1+sin(x))^3, x) Resultat: \(15(1+\sin x)^2\cos x\)

CAS bekrefter både potensereduksjonen og den indre faktoren.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) g = 5 * ( 1 + sin ( x )) ** 3 derivative = diff ( g , x ) expected = 15 * ( 1 + sin ( x )) ** 2 * cos ( x ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( derivative - expected )) 

g(x) = 5*(sin(x) + 1)**3 g'(x) = 15*(sin(x) + 1)**2*cos(x) Forventet form = 15*(sin(x) + 1)**2*cos(x) Kontrollforskjell = 0

Fasit: \(g'(x)=15(1+\sin x)^2\cos x\).

Vanlig feil: Å glemme å derivere kjernen \(1+\sin x\), slik at faktoren \(\cos x\) mangler. Sensorpunkt: Kjerneregelen må komme tydelig fram, ikke bare sluttresultatet. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Integrasjon ved substitusjon

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int \cos x\,(1+\sin x)^3\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Integranden inneholder en sammensatt potens og den deriverte av kjernen. Derfor velger vi substitusjon.

Steg 1 — Velg substitusjon

Sett \(u=1+\sin x\).

Steg 2 — Finn differensialet

\[du=\cos x\,dx\]

Steg 3 — Skriv om integralet

\[\int \cos x(1+\sin x)^3dx=\int u^3du\]

Steg 4 — Integrer potensfunksjonen

\[\int u^3du=\frac{u^4}{4}+C\]

Steg 5 — Sett tilbake

\[\frac{(1+\sin x)^4}{4}+C\]

Steg 6 — Kontroller ved derivasjon

Derivasjon gir \(\frac14\cdot4(1+\sin x)^3\cos x\), som er den opprinnelige integranden.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Integral(cos(x)*(1+sin(x))^3, x) Resultat: \(\frac14(1+\sin x)^4\)

GeoGebra finner samme stamfunksjon, opp til en vilkårlig konstant.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , sin , cos , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = cos ( x ) * ( 1 + sin ( x )) ** 3 F = integrate ( integrand , x ) check = simplify ( diff ( F , x ) - integrand ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon =" , F ) print ( "Derivert kontroll =" , diff ( F , x )) print ( "Kontrollforskjell =" , check ) 

Integrand = (sin(x) + 1)**3*cos(x) Stamfunksjon = sin(x)**4/4 + sin(x)**3 + 3*sin(x)**2/2 + sin(x) Derivert kontroll = sin(x)**3*cos(x) + 3*sin(x)**2*cos(x) + 3*sin(x)*cos(x) + cos(x) Kontrollforskjell = 0

Fasit: \(\displaystyle\int \cos x(1+\sin x)^3dx=\frac14(1+\sin x)^4+C\).

Vanlig feil: Å velge substitusjon, men glemme at \(du=\cos x\,dx\) allerede dekker hele den resterende faktoren. Sensorpunkt: Riktig substitusjon, korrekt potensintegrasjon og konstanten \(C\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Delvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet \(x\ln x\) egner seg for delvis integrasjon. Vi lar logaritmen være den delen som deriveres.

Steg 1 — Velg deler

Sett \(u=\ln x\) og \(dv=x\,dx\).

Steg 2 — Finn du og v

\[du=\frac1x dx,\qquad v=\frac{x^2}{2}\]

Steg 3 — Bruk formelen

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]

Steg 4 — Sett inn

\[\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx\]

Steg 5 — Finn stamfunksjonen

\[F(x)=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\]

Steg 6 — Sett inn grensene

\[F(e)-F(1)=\frac{e^2}{4}-\left(-\frac14\right)=\frac{e^2+1}{4}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Integral(x*ln(x), x, 1, e) Resultat: \(\frac{e^2+1}{4}\)

CAS evaluerer det bestemte integralet eksakt.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , log , integrate , E , diff , simplify x = symbols ( 'x' , positive = True ) integrand = x * log ( x ) F = x ** 2 * log ( x ) / 2 - x ** 2 / 4 value = integrate ( integrand , ( x , 1 , E )) print ( "Stamfunksjon F(x) =" , F ) print ( "F'(x) - integrand =" , simplify ( diff ( F , x ) - integrand )) print ( "F(e) =" , simplify ( F . subs ( x , E ))) print ( "F(1) =" , simplify ( F . subs ( x , 1 ))) print ( "Bestemt integral =" , value ) 

Stamfunksjon F(x) = x**2*log(x)/2 - x**2/4 F'(x) - integrand = 0 F(e) = exp(2)/4 F(1) = -1/4 Bestemt integral = 1/4 + exp(2)/4

Fasit: \(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx=\frac{e^2+1}{4}\).

Vanlig feil: Fortegnsfeil i leddet \(-\int v\,du\), eller å bruke grensene før stamfunksjonen er ferdig. Sensorpunkt: Valg av \(u\) og \(dv\), komplett delvis integrasjon og korrekt grenseinnsetting. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Vektorer i rommet

Oppgave 3a

Oppgave: Vi har punktene \(A(1,1,1)\), \(B(2,1,5)\) og \(C(3,7,3)\). Undersøk om \(\triangle ABC\) er rettvinklet. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må undersøke om to sider som møtes i et hjørne, er ortogonale. Det gjøres med skalarprodukt.

Steg 1 — Finn sidevektorene fra A

\[\overrightarrow{AB}=(1,0,4),\qquad \overrightarrow{AC}=(2,6,2)\]

Steg 2 — Finn den tredje sidevektoren

\[\overrightarrow{BC}=C-B=(1,6,-2)\]

Steg 3 — Test vinkelen ved A

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\cdot2+0\cdot6+4\cdot2=10\neq0\]

Steg 4 — Test vinkelen ved B

\[\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-1,0,-4)\cdot(1,6,-2)=7\neq0\]

Steg 5 — Test vinkelen ved C

\[\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-2,-6,-2)\cdot(-1,-6,2)=34\neq0\]

Steg 6 — Trekk konklusjonen

Ingen av skalarproduktene er null. Dermed finnes det ingen rett vinkel i trekanten.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Vector(A,B)·Vector(A,C) Resultat: \(10\) 2 Vector(B,A)·Vector(B,C) Resultat: \(7\) 3 Vector(C,A)·Vector(C,B) Resultat: \(34\)

Ingen test gir null, så ingen sidepar er vinkelrett.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import Matrix A = Matrix ([ 1 , 1 , 1 ]) B = Matrix ([ 2 , 1 , 5 ]) C = Matrix ([ 3 , 7 , 3 ]) AB , AC = B - A , C - A BA , BC = A - B , C - B CA , CB = A - C , B - C print ( "AB =" , tuple ( AB ), "AC =" , tuple ( AC )) print ( "AB·AC =" , AB . dot ( AC )) print ( "BA·BC =" , BA . dot ( BC )) print ( "CA·CB =" , CA . dot ( CB )) print ( "Rettvinklet =" , any ( v == 0 for v in [ AB . dot ( AC ), BA . dot ( BC ), CA . dot ( CB )])) 

AB = (1, 0, 4) AC = (2, 6, 2) AB·AC = 10 BA·BC = 7 CA·CB = 34 Rettvinklet = False

Fasit: Trekanten er ikke rettvinklet. …