Matematikk R2 Eksamen høsten 2015 – løsningsforslag

Matematikk R2 - eksamen høst 2015 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=5\cos(2x)\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kjerneregelen. Den ytre funksjonen er cosinus, mens den indre funksjonen er \(2x\).

Steg 1 - Identifiser ytre og indre funksjon

Skriv \(f(x)=5\cos(u)\), der \(u=2x\).

Steg 2 - Deriver den ytre funksjonen

\[\frac{d}{du}\cos u=-\sin u\]

Steg 3 - Deriver den indre funksjonen

\[u\prime=2\]

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

\[f\prime(x)=5\cdot(-\sin(2x))\cdot 2\]

Steg 5 - Forenkle

\[f\prime(x)=-10\sin(2x)\]

Steg 6 - Kontroller fortegn og faktor

Minusfortegnet kommer fra derivasjonen av cosinus, og faktoren 2 kommer fra den indre funksjonen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Derivative(5 cos(2x), x)Resultat: \(-10\sin(2x)\)

Tolkning: CAS bekrefter både minusfortegnet og faktoren fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , cos , sin , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 5 * cos ( 2 * x ) result = diff ( f , x ) expected = - 10 * sin ( 2 * x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , result ) print ( "Kontroll =" , simplify ( result - expected )) assert simplify ( result - expected ) == 0 

 Utskrift f(x) = 5*cos(2*x) f'(x) = -10*sin(2*x) Kontroll = 0

Fasit: \(f\prime(x)=-10\sin(2x)\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 2 fra den indre funksjonen. Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig bruk av kjerneregelen og korrekt fortegn. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Produktregelen

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=x\sin x\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x\) og \(\sin x\), så vi bruker produktregelen.

Steg 1 - Navngi faktorene

La \(u(x)=x\) og \(v(x)=\sin x\).

Steg 2 - Deriver den første faktoren

\[u\prime(x)=1\]

Steg 3 - Deriver den andre faktoren

\[v\prime(x)=\cos x\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 5 - Sett inn

\[g\prime(x)=1\cdot\sin x+x\cos x\]

Steg 6 - Skriv ryddig svar

\[g\prime(x)=\sin x+x\cos x\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Derivative(x sin(x), x)Resultat: \(\sin x+x\cos x\)

Tolkning: CAS viser at begge leddene fra produktregelen er med.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) g = x * sin ( x ) result = diff ( g , x ) expected = sin ( x ) + x * cos ( x ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , result ) print ( "Kontroll =" , simplify ( result - expected )) assert simplify ( result - expected ) == 0 

 Utskrift g(x) = x*sin(x) g'(x) = x*cos(x) + sin(x) Kontroll = 0

Fasit: \(g\prime(x)=\sin x+x\cos x\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som produktet av de deriverte. Sensorpunkt: Sensor ser etter produktregelen med begge leddene. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \(h(x)=5e^{-x}\sin(2x)\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må kombinere produktregelen med kjerneregelen i begge faktorene.

Steg 1 - Del funksjonen i to faktorer

Sett \(u(x)=5e^{-x}\) og \(v(x)=\sin(2x)\).

Steg 2 - Deriver eksponentialfaktoren

\[u\prime(x)=-5e^{-x}\]

Steg 3 - Deriver sinusfaktoren

\[v\prime(x)=2\cos(2x)\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[h\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 5 - Sett inn uttrykkene

\[h\prime(x)=-5e^{-x}\sin(2x)+10e^{-x}\cos(2x)\]

Steg 6 - Faktoriser

\[h\prime(x)=5e^{-x}\bigl(2\cos(2x)-\sin(2x)\bigr)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Derivative(5 exp(-x) sin(2x), x) 2 Factor(5 exp(-x) (2 cos(2x)-sin(2x)))Resultat: \(5e^{-x}(2\cos(2x)-\sin(2x))\)

Tolkning: Faktoriseringen gjør strukturen i svaret tydelig.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , exp , sin , cos , diff , simplify , factor x = symbols ( 'x' , real = True ) h = 5 * exp ( - x ) * sin ( 2 * x ) result = diff ( h , x ) expected = 5 * exp ( - x ) * ( 2 * cos ( 2 * x ) - sin ( 2 * x )) print ( "h(x) =" , h ) print ( "h'(x) =" , factor ( result )) print ( "Kontroll =" , simplify ( result - expected )) assert simplify ( result - expected ) == 0 

 Utskrift h(x) = 5*exp(-x)*sin(2*x) h'(x) = 5*(-sin(2*x) + 2*cos(2*x))*exp(-x) Kontroll = 0

Fasit: \(h\prime(x)=5e^{-x}(2\cos(2x)-\sin(2x))\).

Vanlig feil: Å glemme ett av de to leddene i produktregelen eller faktoren 2. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel, kjerneregel og en ryddig sluttform. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Bestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int_0^2(x^2-2x+1)\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en antiderivert ledd for ledd og bruke analysens fundamentalteorem.

Steg 1 - Integrer hvert ledd

\[\int(x^2-2x+1)\,dx=\frac{x^3}{3}-x^2+x+C\]

Steg 2 - Sett opp grenseuttrykket

\[\left[\frac{x^3}{3}-x^2+x\right]_0^2\]

Steg 3 - Sett inn øvre grense

\[\frac{2^3}{3}-2^2+2=\frac83-4+2\]

Steg 4 - Sett inn nedre grense

\[\frac{0^3}{3}-0^2+0=0\]

Steg 5 - Trekk fra

\[\frac83-4+2-0=\frac23\]

Steg 6 - Rimelighetskontroll

Integranden er \((x-1)^2\ge 0\), så integralet skal være positivt.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Integral(x^2 - 2x + 1, 0, 2)Resultat: \(\frac23\)

Tolkning: Resultatet er positivt, som passer med at integranden er et kvadrat.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , integrate , Rational , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) expr = x ** 2 - 2 * x + 1 F = integrate ( expr , x ) value = integrate ( expr , ( x , 0 , 2 )) print ( "Integrand =" , expr ) print ( "Antiderivert =" , F ) print ( "Bestemt integral =" , value ) print ( "Kontroll =" , simplify ( value - Rational ( 2 , 3 ))) assert value == Rational ( 2 , 3 ) 

 Utskrift Integrand = x**2 - 2*x + 1 Antiderivert = x**3/3 - x**2 + x Bestemt integral = 2/3 Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle\int_0^2(x^2-2x+1)\,dx=\frac23\).

Vanlig feil: Å glemme å trekke fra verdien ved nedre grense. Sensorpunkt: Sensor ser etter antiderivert, korrekt grenseinnsetting og eksakt svar. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Substitusjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\frac{e^x}{(e^x+1)^2}\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren inneholder \(e^x+1\), og den deriverte av dette uttrykket er telleren. Derfor er substitusjon naturlig.

Steg 1 - Velg substitusjon

\[u=e^x+1\]

Steg 2 - Finn differensialet

\[du=e^x\,dx\]

Steg 3 - Skriv integralet i u

\[\int\frac{du}{u^2}=\int u^{-2}\,du\]

Steg 4 - Integrer potensfunksjonen

\[\int u^{-2}\,du=-u^{-1}+C\]

Steg 5 - Sett tilbake

\[-\frac1{e^x+1}+C\]

Steg 6 - Deriver som kontroll

\[\frac{d}{dx}\left(-\frac1{e^x+1}\right)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Integral(exp(x)/(exp(x)+1)^2, x)Resultat: \(-\frac1{e^x+1}+C\)

Tolkning: CAS bekrefter at substitusjonen gir riktig antiderivert.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , exp , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) expr = exp ( x ) / ( exp ( x ) + 1 ) ** 2 F = - 1 / ( exp ( x ) + 1 ) cas = integrate ( expr , x ) print ( "Integrand =" , expr ) print ( "Valgt antiderivert =" , F ) print ( "SymPy-antiderivert =" , cas ) print ( "Derivasjonskontroll =" , simplify ( diff ( F , x ) - expr )) assert simplify ( diff ( F , x ) - expr ) == 0 

 Utskrift Integrand = exp(x)/(exp(x) + 1)**2 Valgt antiderivert = -1/(exp(x) + 1) SymPy-antiderivert = -1/(exp(x) + 1) Derivasjonskontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle-\frac1{e^x+1}+C\).

Vanlig feil: Å glemme at \(\int u^{-2}du=-u^{-1}+C\). Sensorpunkt: Sensor ser etter en tydelig substitusjon og tilbakeinnsetting. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Omdreiningsvolum

Oppgave 3

Oppgave: Funksjonen \(f(x)=2e^{-x/2}\), \(x\in[0,\ln3]\), roteres \(360^{\circ}\) om \(x\)-aksen. Vis at volumet blir \(V=\frac{8\pi}{3}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke skivemetoden. Radiusen i hver skive er funksjonsverdien \(f(x)\). …