Matematikk R2 Eksamen høsten 2024 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen høst 2024 (LK20)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Delvis integrasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Regn ut integralet \(\displaystyle\int x^2\ln x\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal integrere et produkt av et polynom og en logaritme. Delvis integrasjon reduserer graden på polynomet og fjerner logaritmen fra restintegralet.

1. Velg u og dv Sett \(u=\ln x\) og \(dv=x^2dx\). Dette er naturlig fordi logaritmen blir enklere når den deriveres.
2. Finn du og v \[du=\frac1x dx,\qquad v=\frac{x^3}{3}\]
3. Bruk formelen \[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]
4. Sett inn \[\int x^2\ln x\,dx=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac13\int x^2dx\]
5. Integrer restleddet \[=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C\]
6. Oppgi definisjonsområdet Siden \(\ln x\) inngår, gjelder uttrykket for \(x>0\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(x^2 ln(x),x)Resultat: \(\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}\) Tolkning: CAS bekrefter stamfunksjonen; integrasjonskonstanten må legges til manuelt.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , log , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , positive = True ) integrand = x ** 2 * log ( x ) F = integrate ( integrand , x ) expected = x ** 3 * log ( x ) / 3 - x ** 3 / 9 print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , F ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , simplify ( diff ( expected , x ))) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( diff ( expected , x ) - integrand )) assert simplify ( diff ( expected , x ) - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = x**2*log(x) Stamfunksjon fra SymPy = x**3*log(x)/3 - x**3/9 Forventet form = x**3*log(x)/3 - x**3/9 Derivert tilbake = x**2*log(x) Kontrollforskjell = 0

Fasit: \(\displaystyle\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å velge \(u=x^2\), som gjør restintegralet vanskeligere, eller å glemme faktoren \(1/3\). Sensorpunkt: Sensor ser etter et hensiktsmessig valg i delvis integrasjon, korrekt restintegral og \(+C\). Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Akkumulert integral og trigonometrisk likning

Oppgave 1b

Oppgave: Bestem \(x\) når \(\displaystyle\int_0^x\sin\left(\pi t+\frac\pi4\right)dt=0\), der \(x\in(0,\pi)\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først beregne integralet som en funksjon av øvre grense x og deretter løse en cosinuslikning med domene.

1. Finn en stamfunksjon \[\int\sin\left(\pi t+\frac\pi4\right)dt=-\frac1\pi\cos\left(\pi t+\frac\pi4\right)\]
2. Sett inn grensene \[\frac{\cos(\pi/4)-\cos(\pi x+\pi/4)}{\pi}=0\]
3. Isoler cosinusuttrykket \[\cos\left(\pi x+\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt2}{2}\]
4. Bruk de generelle løsningene \[\pi x+\frac\pi4=2k\pi\pm\frac\pi4\]
5. Finn kandidatene Dette gir \(x=2k\) eller \(x=2k-\frac12\).
6. Bruk domenet I intervallet \((0,\pi)\) ligger bare \(x=\frac32\) og \(x=2\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(sin(πt+π/4),t,0,x)Resultat: \(\frac{\sqrt2/2-\cos(\pi x+\pi/4)}{\pi}\) 2 Solve(...=0,0<x<π)Resultat: \(x=\frac32\) eller \(x=2\) Tolkning: CAS gir kandidatene, men domenekontrollen er nødvendig for å fjerne x=0 og senere periodiske løsninger. Nullpunktene til den akkumulerte integralverdien er x=0, 3/2 og 2; oppgaven utelukker x=0.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , pi , sin , cos , integrate , simplify , Rational x , t = symbols ( 'x t' , real = True ) F = integrate ( sin ( pi * t + pi / 4 ), ( t , 0 , x )) candidates = [ Rational ( 3 , 2 ), 2 ] print ( "Akkumulert integral F(x) =" , simplify ( F )) print ( "Kandidater i intervallet (0, pi):" , candidates ) for value in candidates : print ( "F( %s ) =" % value , simplify ( F . subs ( x , value ))) print ( "Er 3/2 i domenet?" , 0 < Rational ( 3 , 2 ) < pi ) print ( "Er 2 i domenet?" , 0 < 2 < pi ) assert all ( simplify ( F . subs ( x , value )) == 0 for value in candidates ) assert 0 < Rational ( 3 , 2 ) < pi and 0 < 2 < pi 

 Kjørt utskrift Akkumulert integral F(x) = (-cos(pi*(x + 1/4)) + sqrt(2)/2)/pi Kandidater i intervallet (0, pi): [3/2, 2] F(3/2) = 0 F(2) = 0 Er 3/2 i domenet? True Er 2 i domenet? True

Fasit: \(x=\frac32\) eller \(x=2\).

Vanlig feil: Å stoppe ved cosinuslikningen uten å finne alle periodiske kandidater, eller å ta med x=0 selv om intervallet er åpent. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bestemt integral, generell trigonometrisk løsning og eksplisitt domenekontroll. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1c Praktisk tolkning av integral

Oppgave 1c

Oppgave: Gi en praktisk tolkning av svarene i oppgave 1b. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Et bestemt integral kan tolkes som akkumulert nettoendring eller fortegnet areal. Vi skal forklare hva nullverdien betyr.

1. Tolk integranden som en rate La \(q(t)=\sin(\pi t+\pi/4)\) beskrive en momentan endringsrate.
2. Tolk integralet \(\int_0^x q(t)dt\) er den samlede nettoendringen fra tidspunkt 0 til x.
3. Tolk nullverdien Når integralet er 0, er positiv og negativ endring like stor i absoluttverdi.
4. Geometrisk tolkning Arealet over t-aksen og arealet under t-aksen kansellerer hverandre med fortegn.
5. Knytt til løsningene Dette skjer første gang ved \(x=\frac32\), og på nytt ved \(x=2\).
6. Presiser hva svaret ikke betyr Det betyr ikke nødvendigvis at selve funksjonsverdien er 0 ved disse tidspunktene; det er den akkumulerte nettoendringen som er 0.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(q,t,0,3/2)Resultat: 0 2 Integral(q,t,0,2)Resultat: 0 Tolkning: De digitale kontrollene viser at begge sluttidspunktene gir null nettoareal. Nullpunktene til den akkumulerte integralverdien er x=0, 3/2 og 2; oppgaven utelukker x=0.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , pi , sin , integrate , Rational , simplify t = symbols ( 't' , real = True ) q = sin ( pi * t + pi / 4 ) I1 = integrate ( q , ( t , 0 , Rational ( 3 , 2 ))) I2 = integrate ( q , ( t , 0 , 2 )) print ( "Integrand q(t) =" , q ) print ( "Nettoendring fram til x=3/2 =" , simplify ( I1 )) print ( "Nettoendring fram til x=2 =" , simplify ( I2 )) print ( "q(3/2) =" , simplify ( q . subs ( t , Rational ( 3 , 2 )))) print ( "q(2) =" , simplify ( q . subs ( t , 2 ))) assert simplify ( I1 ) == 0 and simplify ( I2 ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand q(t) = sin(pi*t + pi/4) Nettoendring fram til x=3/2 = 0 Nettoendring fram til x=2 = 0 q(3/2) = -sqrt(2)/2 q(2) = sqrt(2)/2

Fasit: Ved begge tidspunktene er den akkumulerte nettoendringen fra 0 lik 0; positive og negative bidrag har kansellert hverandre.

Vanlig feil: Å si at funksjonen selv er null. Oppgaven handler om integralet, altså den akkumulerte verdien. Sensorpunkt: Sensor ser etter en tydelig nettoendrings- eller fortegnet-areal-tolkning. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Aritmetisk rekke

Oppgave 2a

Oppgave: Finn summen av den aritmetiske rekken \(3+7+11+15+\cdots+399\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne antall ledd og bruke sumformelen for en aritmetisk rekke.

1. Identifiser dataene Første ledd er \(a_1=3\), differansen er \(d=4\), og siste ledd er 399.
2. Finn antall ledd \[399=3+(n-1)4\]
3. Løs for n \[396=4(n-1)\Rightarrow n-1=99\Rightarrow n=100\]
4. Bruk sumformelen \[S_n=\frac n2(a_1+a_n)\]
5. Sett inn \[S_{100}=\frac{100}{2}(3+399)\]
6. Regn ut \[S_{100}=50\cdot402=20100\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Sequence(3+4(n-1),n,1,100)Resultat: 100 ledd 2 Sum(3+4(n-1),n,1,100)Resultat: 20100 Tolkning: CAS bekrefter både antall ledd og summen. Den aritmetiske rekken har 100 ledd og sum 20 100.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , solve , Eq , summation n , k = symbols ( 'n k' , integer = True , positive = True ) number_of_terms = solve ( Eq ( 3 + ( n - 1 ) * 4 , 399 ), n )[ 0 ] S = summation ( 3 + ( k - 1 ) * 4 , ( k , 1 , number_of_terms )) formula_value = number_of_terms * ( 3 + 399 ) // 2 print ( "Antall ledd =" , number_of_terms ) print ( "Siste ledd kontroll =" , 3 + ( number_of_terms - 1 ) * 4 ) print ( "Sum fra SymPy =" , S ) print ( "Sum fra formelen =" , formula_value ) assert number_of_terms == 100 assert S == 20100 == formula_value 

 Kjørt utskrift Antall ledd = 100 Siste ledd kontroll = 399 Sum fra SymPy = 20100 Sum fra formelen = 20100

Fasit: \(20100\). …