Matematikk R2 Eksamen høsten 2013 – løsningsforslag

Matematikk R2 — eksamen høst 2013 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

34deloppgaver 34Python-kontroller 34CAS-kontroller 7visualiseringer

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=5x\cos x\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av \(5x\) og \(\cos x\). Produktregelen er derfor hovedmetoden.

Steg 1 — Del funksjonen i to faktorer

Sett \(u(x)=5x\) og \(v(x)=\cos x\). Da er \(u\cdot v=f\).

Steg 2 — Deriver hver faktor

\[u'(x)=5,\qquad v'(x)=-\sin x\]

Steg 3 — Bruk produktregelen

\[f'(x)=u'v+uv'\]

Steg 4 — Sett inn uttrykkene

\[f'(x)=5\cos x+5x(-\sin x)\]

Steg 5 — Forenkle

\[f'(x)=5\cos x-5x\sin x\]

Steg 6 — Kontroller strukturen

Svaret har ett ledd fra derivasjonen av \(5x\) og ett ledd fra derivasjonen av \(\cos x\), slik produktregelen krever.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Derivative(5*x*cos(x),x) Resultat: \(5\cos x-5x\sin x\)

Tolkning: CAS viser begge produktleddene og bekrefter fortegnet foran sinusleddet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , cos , sin , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 5 * x * cos ( x ) derivative = diff ( f , x ) expected = 5 * cos ( x ) - 5 * x * sin ( x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "f'(0) =" , derivative . subs ( x , 0 )) 

f(x) = 5*x*cos(x) f'(x) = -5*x*sin(x) + 5*cos(x) Forventet uttrykk = -5*x*sin(x) + 5*cos(x) Kontrollforskjell = 0 f'(0) = 5

Fasit: \(f'(x)=5\cos x-5x\sin x\).

Vanlig feil: Å derivere bare én av faktorene, eller å glemme minustegnet i \((\cos x)'=-\sin x\). Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel, begge mellomleddene og riktig fortegn. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Kvotientregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{\sin(2x)}{x}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er en kvotient. Telleren må i tillegg deriveres med kjerneregelen.

Steg 1 — Identifiser teller og nevner

Sett \(u(x)=\sin(2x)\) og \(v(x)=x\).

Steg 2 — Deriver telleren med kjerneregelen

\[u'(x)=2\cos(2x)\]

Steg 3 — Deriver nevneren

\[v'(x)=1\]

Steg 4 — Bruk kvotientregelen

\[g'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}\]

Steg 5 — Sett inn

\[g'(x)=\frac{2\cos(2x)\cdot x-\sin(2x)\cdot1}{x^2}\]

Steg 6 — Skriv sluttformen og domenet

\[g'(x)=\frac{2x\cos(2x)-\sin(2x)}{x^2},\qquad x\ne0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Derivative(sin(2*x)/x,x) Resultat: \((2x\cos(2x)-\sin(2x))/x^2\)

Tolkning: CAS bekrefter både faktoren 2 fra kjerneregelen og nevneren \(x^2\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True , nonzero = True ) g = sin ( 2 * x ) / x derivative = simplify ( diff ( g , x )) expected = ( 2 * x * cos ( 2 * x ) - sin ( 2 * x )) / x ** 2 print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Definisjonskrav: x != 0" ) 

g(x) = sin(2*x)/x g'(x) = (2*x*cos(2*x) - sin(2*x))/x**2 Forventet uttrykk = (2*x*cos(2*x) - sin(2*x))/x**2 Kontrollforskjell = 0 Definisjonskrav: x != 0

Fasit: \(g'(x)=\dfrac{2x\cos(2x)-\sin(2x)}{x^2}\), for \(x\ne0\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 2 når \(\sin(2x)\) deriveres, eller å bytte rekkefølgen i telleren. Sensorpunkt: Sensor ser etter kvotientregelen skrevet korrekt før innsetting. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Bestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int_0^1 2e^{2x}\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en stamfunksjon og deretter bruke analysens fundamentalteorem med grensene 0 og 1.

Steg 1 — Kjenn igjen kjernen

Den indre funksjonen i eksponenten er \(2x\), med derivert 2. Faktoren 2 står allerede foran.

Steg 2 — Finn en stamfunksjon

\[\int 2e^{2x}\,dx=e^{2x}+C\]

Steg 3 — Sett inn øvre grense

\[F(1)=e^{2}\]

Steg 4 — Sett inn nedre grense

\[F(0)=e^{0}=1\]

Steg 5 — Trekk nedre verdi fra øvre

\[\int_0^1 2e^{2x}\,dx=e^2-1\]

Steg 6 — Vurder fortegnet

Integranden er positiv på hele intervallet, og svaret \(e^2-1>0\) er derfor rimelig.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Integral(2*exp(2*x),x,0,1) Resultat: \(e^2-1\)

Tolkning: CAS evaluerer det bestemte integralet eksakt.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , exp , integrate , simplify , N x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 2 * exp ( 2 * x ) antiderivative = integrate ( integrand , x ) value = integrate ( integrand , ( x , 0 , 1 )) expected = exp ( 2 ) - 1 print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon =" , antiderivative ) print ( "F(1) - F(0) =" , value ) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( value - expected )) print ( "Desimalverdi =" , N ( value , 12 )) 

Integrand = 2*exp(2*x) Stamfunksjon = exp(2*x) F(1) - F(0) = -1 + exp(2) Kontrollforskjell = 0 Desimalverdi = 6.38905609893

Fasit: \(\displaystyle e^2-1\approx6{,}389\).

Vanlig feil: Å dele på 2 en ekstra gang selv om faktoren 2 allerede står foran integralet. Sensorpunkt: Sensor ser etter stamfunksjon, tydelig innsetting av begge grenser og eksakt svar. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Delvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int 2x\,e^x\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet av et polynom og en eksponentialfunksjon gjør delvis integrasjon naturlig.

Steg 1 — Velg delene

Sett \(u=2x\) og \(dv=e^x\,dx\). Polynomdelen blir enklere når den deriveres.

Steg 2 — Finn du og v

\[du=2\,dx,\qquad v=e^x\]

Steg 3 — Bruk formelen

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]

Steg 4 — Sett inn

\[\int 2xe^x\,dx=2xe^x-\int2e^x\,dx\]

Steg 5 — Integrer restleddet

\[2xe^x-2e^x+C\]

Steg 6 — Faktoriser

\[\int2xe^x\,dx=2e^x(x-1)+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Integral(2*x*exp(x),x) Resultat: \(2e^x(x-1)\)

Tolkning: CAS gir en ekvivalent faktorisert stamfunksjon.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , exp , integrate , diff , simplify , factor x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 2 * x * exp ( x ) F = 2 * exp ( x ) * ( x - 1 ) cas_result = integrate ( integrand , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "CAS-stamfunksjon =" , cas_result ) print ( "Valgt faktorisert form =" , F ) print ( "Derivert av valgt form =" , diff ( F , x )) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( diff ( F , x ) - integrand )) print ( "Faktorisert CAS-resultat =" , factor ( cas_result )) 

Integrand = 2*x*exp(x) CAS-stamfunksjon = (2*x - 2)*exp(x) Valgt faktorisert form = 2*(x - 1)*exp(x) Derivert av valgt form = 2*(x - 1)*exp(x) + 2*exp(x) Kontrollforskjell = 0 Faktorisert CAS-resultat = 2*(x - 1)*exp(x)

Fasit: \(\displaystyle\int2xe^x\,dx=2e^x(x-1)+C\).

Vanlig feil: Å glemme minusleddet \(-\int v\,du\), eller å utelate integrasjonskonstanten. Sensorpunkt: Sensor ser etter et begrunnet valg av \(u\), korrekt formel og en kontrollérbar sluttform. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Vektorer i rommet

Oppgave 3a

Oppgave: Gitt punktene \(A(2,0,0)\), \(B(0,3,0)\), \(C(0,0,4)\) og \(O(0,0,0)\). Bestem \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) og \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må først danne de to retningsvektorene fra A og deretter bruke definisjonene av skalar- og vektorprodukt.

Steg 1 — Finn vektorene

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,3,0),\qquad\overrightarrow{AC}=C-A=(-2,0,4)\]

Steg 2 — Beregn skalarproduktet

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-2)(-2)+3\cdot0+0\cdot4=4\]

Steg 3 — Sett opp vektorproduktet

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\-2&3&0\\-2&0&4\end{vmatrix}\]

Steg 4 — Regn x-komponenten

\[3\cdot4-0\cdot0=12\]

Steg 5 — Regn y- og z-komponenten

\[0\cdot(-2)-(-2)\cdot4=8,\qquad(-2)\cdot0-3\cdot(-2)=6\]

Steg 6 — Kontroller ortogonalitet

\[(12,8,6)\cdot(-2,3,0)=0,\qquad(12,8,6)\cdot(-2,0,4)=0\] Tetraederet med koordinataksenes skjæringspunkter.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS 1 Dot(Vector((-2,3,0)),Vector((-2,0,4))) Resultat: \(4\) 2 Cross(Vector((-2,3,0)),Vector((-2,0,4))) Resultat: \((12,8,6)\)

Tolkning: Vektorproduktet er ortogonalt på begge inngangsvektorene. …