Matematikk R2 Eksamen våren 2025 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2025 (LK20)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Bestemt integral

Oppgave 1a

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int_0^1(2e^x+2x^2)\,dx\). Vekting: Denne deloppgaven vektes etter oppgavens poengangivelse. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en antiderivert ledd for ledd og bruke analysens fundamentalteorem.

1. Integrer eksponentialleddet \[\int 2e^x\,dx=2e^x\]
2. Integrer potensleddet \[\int 2x^2\,dx=\frac{2}{3}x^3\]
3. Skriv en antiderivert \[F(x)=2e^x+\frac23x^3\]
4. Sett inn grensene \[F(1)-F(0)=\left(2e+\frac23\right)-2\]
5. Forenkle \[2e+\frac23-2=2e-\frac43\]
6. Rimelighetskontroll Integranden er positiv på hele intervallet, og svaret er omtrent \(4{,}10\), som er rimelig.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(2 exp(x)+2x^2,x,0,1)Resultat: \(2e-\frac43\) Tolkning: CAS gir både eksakt verdi og desimalverdi.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , exp , integrate , E , Rational , simplify , N x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 2 * exp ( x ) + 2 * x ** 2 F = integrate ( integrand , x ) value = integrate ( integrand , ( x , 0 , 1 )) expected = 2 * E - Rational ( 4 , 3 ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Antiderivert F(x) =" , F ) print ( "F(1) =" , F . subs ( x , 1 )) print ( "F(0) =" , F . subs ( x , 0 )) print ( "Bestemt integral =" , value ) print ( "Desimalverdi =" , N ( value , 12 )) print ( "Kontroll =" , simplify ( value - expected )) assert simplify ( value - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 2*x**2 + 2*exp(x) Antiderivert F(x) = 2*x**3/3 + 2*exp(x) F(1) = 2/3 + 2*E F(0) = 2 Bestemt integral = -4/3 + 2*E Desimalverdi = 4.10323032358 Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle 2e-\frac43\approx4{,}103\).

Vanlig feil: Å glemme å trekke fra verdien ved nedre grense, eller å integrere \(2x^2\) som \(x^3\). Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt antiderivert, grenseinnsetting og eksakt forenkling. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Logaritmeintegral

Oppgave 1b

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}\,dx\). Vekting: Denne deloppgaven vektes etter oppgavens poengangivelse. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Telleren er den deriverte av nevneren. Integraltypen er derfor \(u\prime/u\).

1. Velg substitusjon Sett \(u=x^2-x-6\).
2. Deriver substitusjonen \(du=(2x-1)\,dx\).
3. Skriv om integralet \[\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}\,dx=\int\frac1u\,du\]
4. Integrer \[\int\frac1u\,du=\ln|u|+C\]
5. Sett tilbake \[\ln|x^2-x-6|+C\]
6. Kontroller definisjonsområdet Nevneren er null ved \(x=-2\) og \(x=3\), så stamfunksjonen gjelder på intervaller som ikke krysser disse punktene.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral((2x-1)/(x^2-x-6),x)Resultat: \(\ln|x^2-x-6|\) Tolkning: CAS gjenkjenner direkte at telleren er den deriverte av nevneren.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , diff , log , factor , cancel , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) denominator = x ** 2 - x - 6 numerator = 2 * x - 1 integrand = numerator / denominator F = log ( denominator ) print ( "Nevner =" , denominator ) print ( "Faktorisert nevner =" , factor ( denominator )) print ( "Derivert av nevner =" , diff ( denominator , x )) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon lokalt =" , F ) print ( "Derivert tilbake =" , diff ( F , x )) print ( "Rasjonal kontroll =" , cancel ( diff ( F , x ) - integrand )) assert simplify ( diff ( denominator , x ) - numerator ) == 0 assert cancel ( diff ( F , x ) - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Nevner = x**2 - x - 6 Faktorisert nevner = (x - 3)*(x + 2) Derivert av nevner = 2*x - 1 Integrand = (2*x - 1)/(x**2 - x - 6) Stamfunksjon lokalt = log(x**2 - x - 6) Derivert tilbake = (2*x - 1)/(x**2 - x - 6) Rasjonal kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle\ln|x^2-x-6|+C\).

Vanlig feil: Å utelate absoluttverdien, eller å faktorisere nevneren og gjøre en unødvendig delbrøkoppspalting. Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig gjenkjenning av \(u\prime/u\)-strukturen og integrasjonskonstant. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2 Bestemme funksjon fra derivert og areal

Oppgave 2

Oppgave: Bestem \(f\) når \(f\prime(x)=-2/x^3\), og arealet mellom grafen, x-aksen og \(x=1\), \(x=2\) er \(11/14\) og ligger over x-aksen. Vekting: Denne deloppgaven vektes etter oppgavens poengangivelse. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må først integrere den deriverte og deretter bruke arealbetingelsen til å bestemme konstanten.

1. Skriv den deriverte som potens \(f\prime(x)=-2x^{-3}\).
2. Integrer \[f(x)=x^{-2}+C=\frac1{x^2}+C\]
3. Sett opp arealbetingelsen \[\int_1^2\left(\frac1{x^2}+C\right)dx=\frac{11}{14}\]
4. Beregn integralet uten konstantleddet \[\int_1^2x^{-2}dx=\left[-\frac1x\right]_1^2=\frac12\]
5. Finn konstanten \[\frac12+C=\frac{11}{14}\quad\Rightarrow\quad C=\frac27\]
6. Kontroller at grafen ligger over x-aksen \(1/x^2+2/7>0\) for alle \(x\ne0\), særlig på \([1,2]\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(-2/x^3,x)Resultat: \(1/x^2+C\) 2 Solve(Integral(1/x^2+C,x,1,2)=11/14,C)Resultat: \(C=2/7\) Tolkning: CAS bestemmer først funksjonsfamilien og deretter konstanten. Arealbetingelsen bestemmer konstantleddet i funksjonen.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , Eq , solve , Rational , simplify x , C = symbols ( 'x C' , real = True ) derivative = - 2 / x ** 3 family = integrate ( derivative , x ) + C area = integrate ( family , ( x , 1 , 2 )) solution_C = solve ( Eq ( area , Rational ( 11 , 14 )), C )[ 0 ] f = simplify ( family . subs ( C , solution_C )) check_area = integrate ( f , ( x , 1 , 2 )) print ( "f'(x) =" , derivative ) print ( "Funksjonsfamilie =" , family ) print ( "Areal som funksjon av C =" , area ) print ( "C =" , solution_C ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "Kontrollareal =" , check_area ) print ( "f(2) =" , f . subs ( x , 2 )) assert simplify ( check_area - Rational ( 11 , 14 )) == 0 assert f . subs ( x , 2 ) > 0 

 Kjørt utskrift f'(x) = -2/x**3 Funksjonsfamilie = C + x**(-2) Areal som funksjon av C = C + 1/2 C = 2/7 f(x) = 2/7 + x**(-2) Kontrollareal = 11/14 f(2) = 15/28

Fasit: \(\displaystyle f(x)=\frac1{x^2}+\frac27\).

Vanlig feil: Å tolke arealet som en absoluttverdi uten først å bruke opplysningen om at området ligger over x-aksen. Sensorpunkt: Sensor ser etter integrasjonskonstanten og korrekt bruk av arealbetingelsen. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3a Programforståelse og tallfølge

Oppgave 3a

Oppgave: Koden starter med \(a=2\), går gjennom \(i=1,\ldots,5\), skriver ut \(a\), og oppdaterer \(a=a+(i+2)\). Beskriv mønsteret og utskriften. Vekting: Denne deloppgaven vektes etter oppgavens poengangivelse. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi følger variabelen gjennom løkken og undersøker hvordan differansen mellom to påfølgende ledd utvikler seg. …