Matematikk R2 Eksamen våren 2010 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 — eksamen vår 2010 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

33 deloppgaver løst Del 1 + Del 2 samme rekkefølge som settet Begge alternativer i oppgave 6 CAS + SymPy digitale kontroller Del 1Del 2Oppgave 6 alternativ IOppgave 6 alternativ II

Del 1 – uten hjelpemidler

Alle mellomregninger vises. GeoGebra og Python brukes bare som etterkontroll.

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon · produktregel og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen gitt ved

\[f(x)=x^2\cdot\cos(3x).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt. Den trigonometriske faktoren er dessuten sammensatt, så vi trenger både produktregelen og kjerneregelen.

Steg 1 — Del funksjonen i to faktorer

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=\cos(3x)\). Da er \(f(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime.\]

Steg 3 — Deriver polynomfaktoren

\[u\prime(x)=2x.\]

Steg 4 — Deriver cosinusfaktoren med kjerneregelen

Den ytre funksjonen er cosinus, og den indre funksjonen er \(3x\):

\[v\prime(x)=-\sin(3x)\cdot 3=-3\sin(3x).\]

Steg 5 — Sett inn i produktregelen

\[f\prime(x)=2x\cos(3x)+x^2\bigl(-3\sin(3x)\bigr).\]

Steg 6 — Forenkle svaret

\[f\prime(x)=2x\cos(3x)-3x^2\sin(3x).\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(x^2 cos(3x)) → \(2x\cos(3x)-3x^2\sin(3x)\)

Tolkning: CAS-uttrykket er identisk med det analytiske resultatet.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , cos , sin , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = x ** 2 * cos ( 3 * x ) f_prime = diff ( f , x ) expected = 2 * x * cos ( 3 * x ) - 3 * x ** 2 * sin ( 3 * x ) control = simplify ( f_prime - expected ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Differanse etter forenkling =" , control ) 

f(x) = x**2*cos(3*x) f'(x) = -3*x**2*sin(3*x) + 2*x*cos(3*x) Forventet uttrykk = -3*x**2*sin(3*x) + 2*x*cos(3*x) Differanse etter forenkling = 0

Fasit: \(f\prime(x)=2x\cos(3x)-3x^2\sin(3x)\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(3\) fra kjerneregelen eller å bruke produktregelen som om den bare ga ett ledd. Sensorpunkt: Sensor ser etter både produktregelen og kjerneregelen, med korrekt fortegn når cosinus deriveres. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b1 Integrasjon · delvis integrasjon

Oppgave 1b1

Oppgave:

Bestem integralet

\[\int 5x\,e^{2x}\,dx.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Integranden er et produkt av et polynom og en eksponentialfunksjon. Delvis integrasjon reduserer graden til polynomet og er derfor den naturlige metoden.

Steg 1 — Trekk fram konstanten

\[\int 5x e^{2x}\,dx=5\int x e^{2x}\,dx.\]

Steg 2 — Velg \(u\) og \(dv\)

Velg \(u=x\), fordi den deriverte blir enklere, og \(dv=e^{2x}dx\).

Steg 3 — Finn \(du\) og \(v\)

\[du=dx,\qquad v=\int e^{2x}dx=\frac12 e^{2x}.\]

Steg 4 — Bruk formelen for delvis integrasjon

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du.\]

Steg 5 — Sett inn

\[5\int x e^{2x}dx=5\left(\frac{x}{2}e^{2x}-\int\frac12e^{2x}dx\right).\]

Steg 6 — Regn det siste integralet

\[5\left(\frac{x}{2}e^{2x}-\frac14e^{2x}\right)+C.\]

Steg 7 — Faktoriser

\[\frac54e^{2x}(2x-1)+C.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Integral(5x exp(2x), x) → \(\frac54e^{2x}(2x-1)\)

Tolkning: GeoGebra oppgir en stamfunksjon; en vilkårlig konstant må legges til.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , exp , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 5 * x * exp ( 2 * x ) primitive = integrate ( integrand , x ) control = simplify ( diff ( primitive , x ) - integrand ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , primitive ) print ( "Derivert minus integrand =" , control ) print ( "Faktorisert stamfunksjon =" , simplify ( 5 * exp ( 2 * x ) * ( 2 * x - 1 ) / 4 )) 

Integrand = 5*x*exp(2*x) Stamfunksjon fra SymPy = (10*x - 5)*exp(2*x)/4 Derivert minus integrand = 0 Faktorisert stamfunksjon = 5*(2*x - 1)*exp(2*x)/4

Fasit: \(\displaystyle \int 5x e^{2x}dx=\frac54e^{2x}(2x-1)+C\).

Vanlig feil: Å glemme integrasjonskonstanten eller å integrere \(e^{2x}\) som \(e^{2x}\) i stedet for \(\tfrac12e^{2x}\). Sensorpunkt: For full uttelling skal metodevalget og alle fire størrelsene \(u,du,dv,v\) vises. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b2 Integrasjon · substitusjon

Oppgave 1b2

Oppgave:

Bestem integralet

\[\int\frac{6x}{x^2-1}\,dx.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren er en sammensatt funksjon, og den deriverte \(2x\) finnes i telleren. Derfor bruker vi substitusjon.

Steg 1 — Velg substitusjon

\[u=x^2-1.\]

Steg 2 — Deriver substitusjonen

\[du=2x\,dx.\]

Steg 3 — Tilpass telleren

Siden \(6x\,dx=3\cdot 2x\,dx\), får vi \(6x\,dx=3du\).

Steg 4 — Skriv integralet i \(u\)

\[\int\frac{6x}{x^2-1}dx=3\int\frac1u\,du.\]

Steg 5 — Integrer logaritmeformen

\[3\int\frac1u\,du=3\ln|u|+C.\]

Steg 6 — Sett tilbake \(u=x^2-1\)

\[3\ln|x^2-1|+C.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Integral(6x/(x^2-1), x) → \(3\ln|x^2-1|\)

Tolkning: Resultatet gjelder på hvert intervall der integranden er definert.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , integrate , diff , log , Abs , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 6 * x / ( x ** 2 - 1 ) primitive = 3 * log ( Abs ( x ** 2 - 1 )) control = simplify ( diff ( primitive , x ) - integrand ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Valgt stamfunksjon =" , primitive ) print ( "Derivert minus integrand =" , control ) print ( "Definisjonsbegrensning: x != -1 og x != 1" ) 

Integrand = 6*x/(x**2 - 1) Valgt stamfunksjon = 3*log(Abs(x**2 - 1)) Derivert minus integrand = Piecewise((-6*x/(x**2 - 1), Eq(x**2, 1)), (0, True)) Definisjonsbegrensning: x != -1 og x != 1

Fasit: \(\displaystyle \int\frac{6x}{x^2-1}dx=3\ln|x^2-1|+C\), for \(x\neq\pm1\).

Vanlig feil: Å skrive \(\ln(x^2-1)\) uten absoluttverdi. Stamfunksjonen skal gjelde på intervaller på begge sider av nullpunktene i nevneren. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt substitusjon og absoluttverdi i logaritmen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Differensiallikning · lineær 1. orden

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs differensiallikningen

\[y\prime-2y=3\qquad\text{når}\qquad y(0)=2.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Likningen er lineær med konstante koeffisienter. Vi finner først homogen løsning, deretter en konstant partikulær løsning og bruker initialbetingelsen.

Steg 1 — Løs den homogene likningen

\[y\prime-2y=0\quad\Longrightarrow\quad y_h=Ce^{2x}.\]

Steg 2 — Velg en partikulær prøvefunksjon

Høyresiden er konstant, så vi prøver \(y_p=A\), der \(A\) er konstant.

Steg 3 — Sett prøvefunksjonen inn

\[0-2A=3\quad\Longrightarrow\quad A=-\frac32.\]

Steg 4 — Skriv den generelle løsningen

\[y=Ce^{2x}-\frac32.\]

Steg 5 — Bruk initialbetingelsen

\[2=C-\frac32\quad\Longrightarrow\quad C=\frac72.\]

Steg 6 — Skriv den bestemte løsningen

\[y(x)=\frac72e^{2x}-\frac32.\]

Steg 7 — Kontroller initialverdien

\[y(0)=\frac72-\frac32=2.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 SolveODE(y' - 2y = 3, y(0)=2) → \(y=\frac72e^{2x}-\frac32\)

Tolkning: Innsetting gir både likningen og initialverdien nøyaktig.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , Function , Eq , dsolve , diff , exp , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) y = Function ( 'y' ) solution = dsolve ( Eq ( diff ( y ( x ), x ) - 2 * y ( x ), 3 ), ics = { y ( 0 ): 2 }) right_side = solution . rhs ode_control = simplify ( diff ( right_side , x ) - 2 * right_side - 3 ) initial_control = simplify ( right_side . subs ( x , 0 )) print ( "SymPy-løsning =" , solution ) print ( "Kontroll av differensiallikningen =" , ode_control ) print ( "Kontroll av y(0) =" , initial_control ) 

SymPy-løsning = Eq(y(x), 7*exp(2*x)/2 - 3/2) Kontroll av differensiallikningen = 0 Kontroll av y(0) = 2

Fasit: \(\displaystyle y(x)=\frac72e^{2x}-\frac32\).

Vanlig feil: Å bruke \(Ce^{-2x}\). Fortegnet i eksponenten bestemmes av den homogene likningen \(y\prime=2y\). Sensorpunkt: Sensor ser etter både generell løsning og korrekt bruk av initialbetingelsen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d1 Trigonometri · produkt-til-sum

Oppgave 1d1

Oppgave:

Bruk formlene

\[\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v\]\[\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v\]

til å vise

\[\cos u\cos v=\frac12\bigl(\cos(u-v)+\cos(u+v)\bigr).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal kombinere de to oppgitte addisjonsformlene slik at sinusleddene kanselleres. …