Matematikk R2 Eksamen våren 2016 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2016

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Derivasjon og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=2\cos 5x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en cosinusfunksjon med kjernen \(5x\). Konstanten 2 beholdes, mens kjerneregelen gir en ekstra faktor 5.

1. Identifiser oppbygningen Skriv \(f(x)=2\cos(5x)\). Den ytre funksjonen er cosinus, og den indre funksjonen er \(u=5x\).
2. Deriver den ytre funksjonen \(\frac{d}{du}(\cos u)=-\sin u\).
3. Deriver kjernen \(u' = 5\).
4. Bruk kjerneregelen \(f'(x)=2\cdot[-\sin(5x)]\cdot 5\).
5. Forenkle \[f'(x)=-10\sin(5x)\]
6. Rimelighetskontroll Ved \(x=0\) er den deriverte 0, slik en cosinusgraf skal ha i et toppunkt.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(2 cos(5x), x)Resultat: \(-10\sin(5x)\) Tolkning: CAS bekrefter både minusfortegnet og faktoren 10.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , cos , sin , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 2 * cos ( 5 * x ) result = diff ( f , x ) expected = - 10 * sin ( 5 * x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , result ) print ( "Kontroll =" , simplify ( result - expected )) assert simplify ( result - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift f(x) = 2*cos(5*x) f'(x) = -10*sin(5*x) Kontroll = 0

Fasit: \(f'(x)=-10\sin(5x)\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 5 fra den indre funksjonen. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kjerneregel og riktig minusfortegn. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=e^{-2x}\sin x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av en eksponentialfunksjon og en sinusfunksjon. Vi må bruke både produktregelen og kjerneregelen.

1. Velg faktorene Sett \(u=e^{-2x}\) og \(v=\sin x\).
2. Deriver første faktor Med kjerneregelen får vi \(u'=-2e^{-2x}\).
3. Deriver andre faktor \(v'=\cos x\).
4. Bruk produktregelen \((uv)'=u'v+uv'\).
5. Sett inn \(g'(x)=-2e^{-2x}\sin x+e^{-2x}\cos x\).
6. Faktoriser \[g'(x)=e^{-2x}(\cos x-2\sin x)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(exp(-2x) sin(x), x)Resultat: \(e^{-2x}(\cos x-2\sin x)\) Tolkning: Resultatet viser begge produktleddene samlet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , exp , sin , cos , diff , factor , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) g = exp ( - 2 * x ) * sin ( x ) raw = diff ( g , x ) result = factor ( raw ) expected = exp ( - 2 * x ) * ( cos ( x ) - 2 * sin ( x )) print ( "g(x) =" , g ) print ( "Derivert, utvidet =" , raw ) print ( "Derivert, faktorisert =" , result ) print ( "Kontroll =" , simplify ( raw - expected )) assert simplify ( raw - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift g(x) = exp(-2*x)*sin(x) Derivert, utvidet = -2*exp(-2*x)*sin(x) + exp(-2*x)*cos(x) Derivert, faktorisert = (-2*sin(x) + cos(x))*exp(-2*x) Kontroll = 0

Fasit: \(g'(x)=e^{-2x}(\cos x-2\sin x)\).

Vanlig feil: Å multiplisere de deriverte i stedet for å bruke produktregelen. Sensorpunkt: Sensor ser etter produktregelen, faktoren -2 og den deriverte av sinus. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Bestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle \int_1^e \frac{3}{x}\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Integranden er et konstant multiplum av \(1/x\), som har den naturlige logaritmen som stamfunksjon.

1. Trekk ut konstanten \(\int_1^e 3/x\,dx=3\int_1^e 1/x\,dx\).
2. Finn stamfunksjonen \(\int 1/x\,dx=\ln|x|+C\).
3. Bruk grensene \(3[\ln x]_1^e\), siden intervallet ligger på den positive x-aksen.
4. Sett inn øvre grense \(\ln e=1\).
5. Sett inn nedre grense \(\ln 1=0\).
6. Regn ut \[3(1-0)=3\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(3/x, x, 1, e)Resultat: \(3\) Tolkning: CAS gir den eksakte verdien 3.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , E , log , simplify x = symbols ( 'x' , positive = True ) expr = 3 / x F = integrate ( expr , x ) value = integrate ( expr , ( x , 1 , E )) print ( "Integrand =" , expr ) print ( "Stamfunksjon =" , F ) print ( "ln(e) - ln(1) =" , log ( E ) - log ( 1 )) print ( "Bestemt integral =" , value ) assert simplify ( value - 3 ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 3/x Stamfunksjon = 3*log(x) ln(e) - ln(1) = 1 Bestemt integral = 3

Fasit: \(3\).

Vanlig feil: Å bruke tierlogaritmen eller glemme å trekke fra verdien ved nedre grense. Sensorpunkt: Sensor ser etter stamfunksjonen \(3\ln x\) og korrekt grenseinnsetting. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Delbrøkoppspalting

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle \int \frac{2}{x^2-1}\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren kan faktoriseres som en differanse av to kvadrater. Da kan brøken spaltes i to enkle logaritmeintegraler.

1. Faktoriser nevneren \(x^2-1=(x-1)(x+1)\).
2. Sett opp delbrøker \(\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}\).
3. Finn konstantene \(2=A(x+1)+B(x-1)\). Innsetting av \(x=1\) gir \(A=1\), og \(x=-1\) gir \(B=-1\).
4. Skriv integranden på nytt \(\frac{2}{x^2-1}=\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\).
5. Integrer leddvis \(\ln|x-1|-\ln|x+1|+C\).
6. Samle logaritmene \[\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 PartialFractions(2/(x^2-1))Resultat: \(1/(x-1)-1/(x+1)\) Tolkning: Oppspaltingen gjør integrasjonen direkte. 2 Integral(2/(x^2-1), x)Resultat: \(\ln|x-1|-\ln|x+1|\) Tolkning: CAS-resultatet gjelder på intervaller som ikke krysser \(x=\pm1\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , apart , log , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) expr = 2 / ( x ** 2 - 1 ) partial = apart ( expr , x ) F = log (( x - 1 ) / ( x + 1 )) check = simplify ( diff ( F , x ) - expr ) print ( "Delbrøkoppspalting =" , partial ) print ( "Valgt stamfunksjon =" , F ) print ( "Derivert tilbake =" , simplify ( diff ( F , x ))) print ( "Kontroll =" , check ) assert check == 0 

 Kjørt utskrift Delbrøkoppspalting = -1/(x + 1) + 1/(x - 1) Valgt stamfunksjon = log((x - 1)/(x + 1)) Derivert tilbake = 2/(x**2 - 1) Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C\).

Vanlig feil: Å glemme absoluttverdier eller få samme fortegn på begge delbrøkene. Sensorpunkt: Sensor ser etter faktorisering, korrekt delbrøkoppspalting og integrasjonskonstant. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3a Areal med integral

Oppgave 3a

Oppgave: Funksjonen er gitt ved \(f(x)=\sin x\), \(x\in[0,\pi]\). Et flatestykke er avgrenset av x-aksen og grafen til \(f\). Regn ut arealet av flatestykket. Original poengangivelse: Oppgave 3 (6 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? På intervallet \([0,\pi]\) er sinus ikke-negativ, så arealet er lik det bestemte integralet av funksjonen.

1. Sett opp arealet \(A=\int_0^\pi \sin x\,dx\).
2. Finn stamfunksjonen En stamfunksjon er \(-\cos x\).
3. Bruk grensene \(A=[-\cos x]_0^\pi\).
4. Sett inn øvre grense \(-\cos\pi=1\).
5. Sett inn nedre grense \(-\cos0=-1\).
6. Trekk fra \[A=1-(-1)=2\]

Arealet er området mellom grafen og x-aksen fra 0 til π.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(sin(x), x, 0, pi)Resultat: \(2\) Tolkning: Siden grafen ligger over x-aksen, er integralet også geometrisk areal.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , pi , integrate , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) area = integrate ( sin ( x ), ( x , 0 , pi )) print ( "Arealintegral = Integral(sin(x), (x, 0, pi))" ) print ( "Eksakt areal =" , area ) print ( "Desimalverdi =" , area . evalf ()) assert simplify ( area - 2 ) == 0 

 Kjørt utskrift Arealintegral = Integral(sin(x), (x, 0, pi)) Eksakt areal = 2 Desimalverdi = 2.00000000000000

Fasit: Flatearealet er \(2\) arealenheter. …