Matematikk R2 Eksamen høsten 2017 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen høst 2017

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Derivasjon og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=2\sin 3x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sinusfunksjon med den indre funksjonen \(3x\), så kjerneregelen gir en ekstra faktor 3.

1. Identifiser ytre funksjon Den ytre funksjonen er \(2\sin u\).
2. Identifiser kjernen Sett \(u=3x\). Da er \(u\prime=3\).
3. Deriver sinus \(\frac{d}{du}(2\sin u)=2\cos u\).
4. Bruk kjerneregelen \(f\prime(x)=2\cos(3x)\cdot3\).
5. Forenkle konstanten \(2\cdot3=6\).
6. Skriv svaret \[f\prime(x)=6\cos 3x\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(2 sin(3x),x)Resultat: \(6\cos 3x\) Tolkning: CAS bekrefter faktoren 3 fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , pi x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 2 * sin ( 3 * x ) derivative = diff ( f , x ) expected = 6 * cos ( 3 * x ) print ( "Funksjon f(x) =" , f ) print ( "Derivert f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk differanse =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Kontroll ved x=0 =" , derivative . subs ( x , 0 )) print ( "Kontroll ved x=pi/6 =" , simplify ( derivative . subs ( x , pi / 6 ))) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon f(x) = 2*sin(3*x) Derivert f'(x) = 6*cos(3*x) Forventet uttrykk = 6*cos(3*x) Symbolsk differanse = 0 Kontroll ved x=0 = 6 Kontroll ved x=pi/6 = 0

Fasit: \(f\prime(x)=6\cos 3x\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte 3 og svare \(2\cos 3x\). Sensorpunkt: Sensor ser etter synlig bruk av kjerneregelen og korrekt konstantfaktor. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Kvotientregelen

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{\sin x}{x}\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er en kvotient. Vi bruker kvotientregelen og husker at definisjonsområdet utelukker \(x=0\).

1. Velg teller og nevner Sett \(u=\sin x\) og \(v=x\).
2. Deriver delene \(u\prime=\cos x\) og \(v\prime=1\).
3. Bruk kvotientregelen \((u/v)\prime=(u\prime v-uv\prime)/v^2\).
4. Sett inn \(g\prime(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\).
5. Kontroller domenet Uttrykket gjelder for \(x\ne0\), som også er definisjonsområdet til \(g\).
6. Skriv svaret \[g\prime(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2},\qquad x\ne0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(sin(x)/x,x)Resultat: \(\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\) Tolkning: CAS samler de to leddene over fellesnevneren \(x^2\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , Rational x = symbols ( 'x' , real = True , nonzero = True ) g = sin ( x ) / x derivative = simplify ( diff ( g , x )) expected = ( x * cos ( x ) - sin ( x )) / x ** 2 print ( "Funksjon g(x) =" , g ) print ( "Derivert g'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk differanse =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Numerisk kontroll ved x=1 =" , derivative . subs ( x , 1 ) . evalf ( 12 )) print ( "Numerisk kontroll ved x=2 =" , derivative . subs ( x , 2 ) . evalf ( 12 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon g(x) = sin(x)/x Derivert g'(x) = (x*cos(x) - sin(x))/x**2 Forventet uttrykk = (x*cos(x) - sin(x))/x**2 Symbolsk differanse = 0 Numerisk kontroll ved x=1 = -0.301168678940 Numerisk kontroll ved x=2 = -0.435397774980

Fasit: \(\displaystyle g\prime(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\), for \(x\ne0\).

Vanlig feil: Å bytte om rekkefølgen i telleren eller å glemme å kvadrere nevneren. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kvotientregel og domenebevissthet. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1c Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \(h(x)=x\cos x^2\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Her er \(x\) multiplisert med den sammensatte funksjonen \(\cos(x^2)\). Vi trenger både produktregelen og kjerneregelen.

1. Del produktet Sett \(u=x\) og \(v=\cos(x^2)\).
2. Deriver første faktor \(u\prime=1\).
3. Deriver andre faktor \(v\prime=-\sin(x^2)\cdot2x=-2x\sin(x^2)\).
4. Bruk produktregelen \(h\prime=u\prime v+uv\prime\).
5. Sett inn og forenkle \(h\prime(x)=\cos(x^2)-2x^2\sin(x^2)\).
6. Skriv svaret \[h\prime(x)=\cos(x^2)-2x^2\sin(x^2)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(x cos(x^2),x)Resultat: \(\cos(x^2)-2x^2\sin(x^2)\) Tolkning: CAS viser både produktleddet og faktoren \(2x\) fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) h = x * cos ( x ** 2 ) derivative = diff ( h , x ) expected = cos ( x ** 2 ) - 2 * x ** 2 * sin ( x ** 2 ) print ( "Funksjon h(x) =" , h ) print ( "Derivert h'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk differanse =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Kontroll ved x=0 =" , derivative . subs ( x , 0 )) print ( "Kontroll ved x=1 =" , derivative . subs ( x , 1 ) . evalf ( 12 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon h(x) = x*cos(x**2) Derivert h'(x) = -2*x**2*sin(x**2) + cos(x**2) Forventet uttrykk = -2*x**2*sin(x**2) + cos(x**2) Symbolsk differanse = 0 Kontroll ved x=0 = 1 Kontroll ved x=1 = -1.14263966375

Fasit: \(h\prime(x)=\cos(x^2)-2x^2\sin(x^2)\).

Vanlig feil: Å derivere bare \(\cos(x^2)\) og glemme produktregelen, eller å glemme faktoren \(2x\). Sensorpunkt: Sensor ser etter begge reglene og korrekt fortegn. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Ubestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int(x^3-3x+2)\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer hvert polynomledd separat ved hjelp av potensregelen.

1. Bruk linearitet Integral av en sum er summen av integralene.
2. Integrer \(x^3\) \(\int x^3dx=x^4/4\).
3. Integrer \(-3x\) \(\int-3x\,dx=-3x^2/2\).
4. Integrer konstanten \(\int2\,dx=2x\).
5. Legg til integrasjonskonstant Alle stamfunksjoner skiller seg med en konstant \(C\).
6. Skriv resultatet \[\int(x^3-3x+2)dx=\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(x^3-3x+2,x)Resultat: \(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\) Tolkning: CAS oppgir én stamfunksjon; den generelle løsningen krever \(+C\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = x ** 3 - 3 * x + 2 antiderivative = integrate ( integrand , x ) expected = x ** 4 / 4 - 3 * x ** 2 / 2 + 2 * x print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , antiderivative ) print ( "Forventet stamfunksjon =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , diff ( expected , x )) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( diff ( expected , x ) - integrand )) print ( "Eksempelverdi F(2) =" , expected . subs ( x , 2 )) assert simplify ( antiderivative - expected ) == 0 assert simplify ( diff ( expected , x ) - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = x**3 - 3*x + 2 Stamfunksjon fra SymPy = x**4/4 - 3*x**2/2 + 2*x Forventet stamfunksjon = x**4/4 - 3*x**2/2 + 2*x Derivert tilbake = x**3 - 3*x + 2 Kontrollforskjell = 0 Eksempelverdi F(2) = 2

Fasit: \(\displaystyle\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x+C\).

Vanlig feil: Å glemme å øke eksponenten før man deler, eller å utelate \(+C\). Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt potensregel for alle tre ledd. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Delvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int xe^{2x}\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet av et polynom og en eksponentialfunksjon passer til delvis integrasjon. …