Matematikk R2 Eksamen høsten 2025 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen høst 2025 (LK20)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1 Delvis integrasjon

Oppgave 1

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int 4x\cos x\,dx\). Vekting: Denne deloppgaven vektes innenfor oppgavens oppgitte poengsum. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal integrere et produkt av et polynom og en trigonometrisk funksjon. Delvis integrasjon reduserer polynomgraden.

1. Velg delene Sett \(u=4x\) og \(dv=\cos x\,dx\).
2. Finn du og v \[du=4\,dx,\qquad v=\sin x\]
3. Bruk formelen \[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]
4. Sett inn \[\int4x\cos x\,dx=4x\sin x-\int4\sin x\,dx\]
5. Integrer restleddet Fordi \(\int\sin x\,dx=-\cos x\), får vi \[4x\sin x+4\cos x+C.\]
6. Kontroller ved derivasjon \(\frac d{dx}(4x\sin x+4\cos x)=4\sin x+4x\cos x-4\sin x=4x\cos x\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(4x cos(x),x)Resultat: \(4x\sin x+4\cos x\) Tolkning: CAS gir en stamfunksjon. Konstanten C må legges til i det generelle svaret.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 4 * x * cos ( x ) F = integrate ( integrand , x ) expected = 4 * x * sin ( x ) + 4 * cos ( x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , F ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , simplify ( diff ( expected , x ))) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( diff ( expected , x ) - integrand )) assert simplify ( diff ( expected , x ) - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 4*x*cos(x) Stamfunksjon fra SymPy = 4*x*sin(x) + 4*cos(x) Forventet form = 4*x*sin(x) + 4*cos(x) Derivert tilbake = 4*x*cos(x) Kontrollforskjell = 0

Fasit: \(4x\sin x+4\cos x+C\).

Vanlig feil: Å glemme minusfortegnet i delvis integrasjon eller at integralet av sinus er minus cosinus. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt valg av u og dv, synlig bruk av formelen og integrasjonskonstant. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2 Omdreiningsvolum

Oppgave 2

Oppgave: Funksjonen er \(f(x)=\sqrt{x+4}\), \(D_f=[0,10]\). Innsiden av en kopp dannes ved å dreie grafen 360 grader om x-aksen. Hvor mye kakao er det plass til? Vekting: Denne deloppgaven vektes innenfor oppgavens oppgitte poengsum. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne volumet av et omdreiningslegeme. Radiusen i et tverrsnitt er f(x), så skivearealet er pi ganger radiusen i andre.

1. Skriv volumformelen \[V=\pi\int_0^{10}(f(x))^2\,dx\]
2. Kvadrer radiusfunksjonen \[(\sqrt{x+4})^2=x+4\]
3. Sett opp integralet \[V=\pi\int_0^{10}(x+4)\,dx\]
4. Finn en antiderivert \[\int(x+4)dx=\frac{x^2}{2}+4x\]
5. Sett inn grensene \[V=\pi\left(\frac{10^2}{2}+4\cdot10\right)=90\pi\]
6. Tolk enheten Volumet er \(90\pi\text{ cm}^3\approx282{,}7\text{ cm}^3\). Siden \(1\text{ cm}^3=1\text{ mL}\), rommer koppen omtrent 283 mL.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(pi (sqrt(x+4))^2,x,0,10)Resultat: \(90\pi\approx282{,}743\) Tolkning: GeoGebra bruker skivemetoden og returnerer volumet direkte. Koppens radius er kvadratroten av x+4, og skivemetoden gir volumet 90π cm³.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sqrt , pi , integrate , simplify , N x = symbols ( 'x' , real = True ) f = sqrt ( x + 4 ) cross_section = pi * f ** 2 volume = integrate ( cross_section , ( x , 0 , 10 )) print ( "Radiusfunksjon f(x) =" , f ) print ( "Tverrsnittsareal =" , simplify ( cross_section )) print ( "Eksakt volum =" , volume , "cm^3" ) print ( "Desimalvolum =" , N ( volume , 14 ), "cm^3" ) print ( "Volum i milliliter =" , N ( volume , 14 ), "mL" ) assert simplify ( volume - 90 * pi ) == 0 

 Kjørt utskrift Radiusfunksjon f(x) = sqrt(x + 4) Tverrsnittsareal = pi*(x + 4) Eksakt volum = 90*pi cm^3 Desimalvolum = 282.74333882308 cm^3 Volum i milliliter = 282.74333882308 mL

Fasit: \(V=90\pi\text{ cm}^3\approx282{,}7\text{ mL}\).

Vanlig feil: Å integrere f(x) i stedet for pi ganger f(x) i andre, eller å glemme volum-enheten. Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig omdreiningsformel, korrekte grenser og en meningsfull enhetstolkning. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3a Fortegnet areal

Oppgave 3a

Oppgave: For \(f(x)=x^3+x^2-2x\): Hvilket av de fire oppgitte integraluttrykkene gir arealet av det markerte området? Vekting: Denne deloppgaven vektes innenfor oppgavens oppgitte poengsum. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må se hvor grafen ligger over og under x-aksen. Et geometrisk areal skal alltid være positivt.

1. Faktoriser funksjonen \[f(x)=x(x+2)(x-1)\]
2. Finn nullpunktene Nullpunktene er \(x=-2\), \(x=0\) og \(x=1\).
3. Bestem fortegn på første intervall På \((-2,0)\) ligger grafen over x-aksen, så integralet der er positivt.
4. Bestem fortegn på andre intervall På \((0,1)\) ligger grafen under x-aksen, så integralet der er negativt.
5. Gjør det negative bidraget positivt Derfor må integralet fra 0 til 1 trekkes fra.
6. Velg uttrykket Riktig uttrykk er \[\int_{-2}^{0}f(x)\,dx-\int_0^1f(x)\,dx,\] altså alternativ 4.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Factor(x^3+x^2-2x)Resultat: \(x(x+2)(x-1)\) 2 Integral(f,x,-2,0)-Integral(f,x,0,1)Resultat: positivt geometrisk areal Tolkning: CAS viser nullpunktene og at det andre integralet har negativ verdi. Areal under x-aksen må trekkes fra det fortegnede integralet; nullintegrallikningen har to negative løsninger.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , factor , integrate , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = x ** 3 + x ** 2 - 2 * x left = integrate ( f , ( x , - 2 , 0 )) right_signed = integrate ( f , ( x , 0 , 1 )) area_expression = left - right_signed print ( "f(x) =" , f ) print ( "Faktorisert =" , factor ( f )) print ( "Integral fra -2 til 0 =" , left ) print ( "Fortegnet integral fra 0 til 1 =" , right_signed ) print ( "Geometrisk arealuttrykk = venstre - høyre fortegnet" ) print ( "Verdien av uttrykket =" , simplify ( area_expression )) assert left > 0 and right_signed < 0 

 Kjørt utskrift f(x) = x**3 + x**2 - 2*x Faktorisert = x*(x - 1)*(x + 2) Integral fra -2 til 0 = 8/3 Fortegnet integral fra 0 til 1 = -5/12 Geometrisk arealuttrykk = venstre - høyre fortegnet Verdien av uttrykket = 37/12

Fasit: Alternativ 4: \(\displaystyle\int_{-2}^{0}f(x)dx-\int_0^1f(x)dx\).

Vanlig feil: Å legge sammen de to fortegnede integralene. Det ville redusere arealet fordi det andre integralet er negativt. Sensorpunkt: Sensor ser etter fortegnsanalyser eller en tydelig henvisning til grafens plassering over og under x-aksen. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3b Areal mellom graf og akse

Oppgave 3b

Oppgave: Regn ut arealet av det markerte området for \(f(x)=x^3+x^2-2x\). Vekting: Denne deloppgaven vektes innenfor oppgavens oppgitte poengsum. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker uttrykket fra del a og regner ut begge delarealene eksakt. …