Matematikk R2 Eksamen våren 2021 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2021

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=\cos(2x+1)\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt cosinusfunksjon. Kjernen er \(2x+1\), og den deriverte av cosinus gir et minusfortegn.

1. Finn kjernen Sett \(u=2x+1\). Da er \(u\prime=2\).
2. Deriver den ytre funksjonen For \(\cos u\) er den deriverte \(-\sin u\).
3. Bruk kjerneregelen \[f\prime(x)=-\sin(2x+1)\cdot2\]
4. Ordne konstantfaktoren \[f\prime(x)=-2\sin(2x+1)\]
5. Kontroller fortegnet Cosinus avtar når argumentet passerer 0, så minusfortegnet er nødvendig.
6. Kontroller et punkt Ved \(x=-\tfrac12\) er argumentet 0 og \(f\prime(-\tfrac12)=0\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(cos(2x+1),x)Resultat: \(-2\sin(2x+1)\) Tolkning: CAS bekrefter både minusfortegnet og faktoren 2 fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , Rational , N x = symbols ( 'x' , real = True ) f = cos ( 2 * x + 1 ) derivative = diff ( f , x ) expected = - 2 * sin ( 2 * x + 1 ) print ( "Funksjon f(x) =" , f ) print ( "Derivert f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "f'(-1/2) =" , derivative . subs ( x , Rational ( - 1 , 2 ))) print ( "Numerisk f'(0) =" , N ( derivative . subs ( x , 0 ), 12 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon f(x) = cos(2*x + 1) Derivert f'(x) = -2*sin(2*x + 1) Forventet uttrykk = -2*sin(2*x + 1) Symbolsk kontroll = 0 f'(-1/2) = 0 Numerisk f'(0) = -1.68294196962

Fasit: \(f\prime(x)=-2\sin(2x+1)\).

Vanlig feil: Å glemme minusfortegnet fra derivasjonen av cosinus eller faktoren 2 fra kjernen. Sensorpunkt: Sensor ser etter en tydelig anvendelse av kjerneregelen og korrekt fortegn. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=\cos(2x)\sin x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt. Den første faktoren krever kjerneregelen, og den andre er en vanlig sinusfunksjon.

1. Velg faktorene Sett \(u=\cos(2x)\) og \(v=\sin x\).
2. Deriver første faktor \(u\prime=-2\sin(2x)\).
3. Deriver andre faktor \(v\prime=\cos x\).
4. Bruk produktregelen \(g\prime=u\prime v+uv\prime\).
5. Sett inn \[g\prime(x)=-2\sin(2x)\sin x+\cos(2x)\cos x\]
6. Kontroller strukturen Begge produktleddene må være med; bare det første får faktoren 2.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(cos(2x)*sin(x),x)Resultat: \(-2\sin(2x)\sin x+\cos(2x)\cos x\) Tolkning: CAS viser de to leddene fra produktregelen og faktoren 2 fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , trigsimp , N x = symbols ( 'x' , real = True ) g = cos ( 2 * x ) * sin ( x ) derivative = diff ( g , x ) expected = - 2 * sin ( 2 * x ) * sin ( x ) + cos ( 2 * x ) * cos ( x ) print ( "Funksjon g(x) =" , g ) print ( "Derivert fra SymPy =" , derivative ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Trigonometrisk forenkling =" , trigsimp ( derivative )) print ( "Numerisk g'(pi/4) =" , N ( derivative . subs ( x , 3.141592653589793 / 4 ), 12 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon g(x) = sin(x)*cos(2*x) Derivert fra SymPy = -2*sin(x)*sin(2*x) + cos(x)*cos(2*x) Forventet form = -2*sin(x)*sin(2*x) + cos(x)*cos(2*x) Symbolsk kontroll = 0 Trigonometrisk forenkling = -cos(x)/2 + 3*cos(3*x)/2 Numerisk g'(pi/4) = -1.41421356237

Fasit: \(g\prime(x)=-2\sin(2x)\sin x+\cos(2x)\cos x\).

Vanlig feil: Å multiplisere de deriverte i stedet for å bruke produktregelen, eller å glemme faktoren 2. Sensorpunkt: Sensor ser etter både produktregelen og kjerneregelen. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Ubestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\left(x^2+2x+\frac{1}{3x}\right)dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer ledd for ledd. Det siste leddet er en konstant faktor multiplisert med \(1/x\).

1. Del opp integralet Bruk linearitet på de tre leddene.
2. Integrer første ledd \(\int x^2dx=x^3/3\).
3. Integrer andre ledd \(\int2x\,dx=x^2\).
4. Integrer logaritmeleddet \(\int\frac1{3x}dx=\frac13\ln|x|\).
5. Samle stamfunksjonen \[F(x)=\frac{x^3}{3}+x^2+\frac13\ln|x|\]
6. Legg til konstant Den generelle stamfunksjonen er \(F(x)+C\), på intervaller som ikke krysser \(x=0\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(x^2+2x+1/(3x),x)Resultat: \(x^3/3+x^2+\ln|x|/3\) Tolkning: CAS gir samme stamfunksjon; \(+C\) må legges til i det endelige svaret.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , diff , log , Abs , simplify , Rational x = symbols ( 'x' , real = True , nonzero = True ) integrand = x ** 2 + 2 * x + 1 / ( 3 * x ) F = x ** 3 / 3 + x ** 2 + log ( Abs ( x )) / 3 back = diff ( F , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon =" , F ) print ( "SymPy-integral =" , integrate ( integrand , x )) print ( "Derivert tilbake =" , back ) print ( "Kontroll =" , simplify ( back - integrand )) print ( "Definisjonskrav: x != 0" ) assert simplify ( back - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = x**2 + 2*x + 1/(3*x) Stamfunksjon = x**3/3 + x**2 + log(Abs(x))/3 SymPy-integral = x**3/3 + x**2 + log(x)/3 Derivert tilbake = x**2 + 2*x + sign(x)/(3*Abs(x)) Kontroll = 0 Definisjonskrav: x != 0

Fasit: \(\displaystyle\frac{x^3}{3}+x^2+\frac13\ln|x|+C\), for \(x\ne0\).

Vanlig feil: Å integrere \(1/(3x)\) som en potens eller å glemme absoluttverdien og integrasjonskonstanten. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt leddvis integrasjon, \(\ln|x|\) og \(+C\). Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Delvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int x\ln x\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet av \(x\) og \(\ln x\) passer til delvis integrasjon. Logaritmen bør velges som funksjonen som deriveres.

1. Velg u og dv Sett \(u=\ln x\) og \(dv=x\,dx\).
2. Finn du og v \(du=dx/x\) og \(v=x^2/2\).
3. Bruk formelen \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\).
4. Sett inn \[\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx\]
5. Integrer restleddet \(\frac12\int xdx=x^2/4\).
6. Skriv svaret \[\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C,\quad x>0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(x*ln(x),x)Resultat: \(x^2\ln x/2-x^2/4\) Tolkning: CAS bekrefter stamfunksjonen på definisjonsområdet \(x>0\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , log , integrate , diff , simplify , factor x = symbols ( 'x' , positive = True ) integrand = x * log ( x ) F = x ** 2 * log ( x ) / 2 - x ** 2 / 4 sympy_F = integrate ( integrand , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra delvis integrasjon =" , F ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , sympy_F ) print ( "Derivert tilbake =" , factor ( diff ( F , x ))) print ( "Kontroll mot integranden =" , simplify ( diff ( F , x ) - integrand )) print ( "Kontroll mellom formene =" , simplify ( F - sympy_F )) assert simplify ( diff ( F , x ) - integrand ) == 0 assert simplify ( F - sympy_F ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = x*log(x) Stamfunksjon fra delvis integrasjon = x**2*log(x)/2 - x**2/4 Stamfunksjon fra SymPy = x**2*log(x)/2 - x**2/4 Derivert tilbake = x*log(x) Kontroll mot integranden = 0 Kontroll mellom formene = 0

Fasit: \(\displaystyle\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C\), for \(x>0\). …