Matematikk R2 Eksamen våren 2018 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2018

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Derivasjon og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=\cos(\pi x-2)\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt cosinusfunksjon. Kjernen er \(\pi x-2\), og den deriverte av cosinus gir et minusfortegn.

1. Identifiser ytre funksjon Den ytre funksjonen er \(\cos u\), med derivert \(-\sin u\).
2. Identifiser kjernen Sett \(u=\pi x-2\). Da er \(u\prime=\pi\).
3. Bruk kjerneregelen \(f\prime(x)=-\sin(\pi x-2)\cdot\pi\).
4. Plasser konstanten ryddig \(f\prime(x)=-\pi\sin(\pi x-2)\).
5. Kontroller et enkelt punkt Ved \(x=2/\pi\) er argumentet 0, og den deriverte blir 0, slik cosinusgrafen skal ha i et toppunkt.
6. Skriv endelig svar \[f\prime(x)=-\pi\sin(\pi x-2)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(cos(pi*x-2),x)Resultat: \(-\pi\sin(\pi x-2)\) Tolkning: CAS bekrefter både minusfortegnet og faktoren \(\pi\) fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , cos , sin , diff , simplify , pi x = symbols ( 'x' , real = True ) f = cos ( pi * x - 2 ) derivative = diff ( f , x ) expected = - pi * sin ( pi * x - 2 ) check_point = 2 / pi print ( "Funksjon f(x) =" , f ) print ( "Derivert f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk differanse =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Kontrollpunkt x =" , check_point ) print ( "f'(2/pi) =" , simplify ( derivative . subs ( x , check_point ))) print ( "Numerisk kontroll ved x=1 =" , derivative . subs ( x , 1 ) . evalf ( 12 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon f(x) = cos(pi*x - 2) Derivert f'(x) = -pi*sin(pi*x - 2) Forventet uttrykk = -pi*sin(pi*x - 2) Symbolsk differanse = 0 Kontrollpunkt x = 2/pi f'(2/pi) = 0 Numerisk kontroll ved x=1 = -2.85664211604

Fasit: \(f\prime(x)=-\pi\sin(\pi x-2)\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(\pi\), eller å glemme minusfortegnet når cosinus deriveres. Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt bruk av kjerneregelen og korrekt håndtering av både fortegn og konstantfaktor. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Produktregelen

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=x\sin x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x\) og \(\sin x\). Begge faktorene avhenger av \(x\), så produktregelen må brukes.

1. Velg faktorene Sett \(u=x\) og \(v=\sin x\).
2. Deriver første faktor \(u\prime=1\).
3. Deriver andre faktor \(v\prime=\cos x\).
4. Bruk produktregelen \((uv)\prime=u\prime v+uv\prime\).
5. Sett inn uttrykkene \(g\prime(x)=1\cdot\sin x+x\cos x\).
6. Skriv svaret \[g\prime(x)=\sin x+x\cos x\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(x*sin(x),x)Resultat: \(\sin x+x\cos x\) Tolkning: CAS viser de to leddene som produktregelen krever.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , pi x = symbols ( 'x' , real = True ) g = x * sin ( x ) derivative = diff ( g , x ) expected = sin ( x ) + x * cos ( x ) print ( "Funksjon g(x) =" , g ) print ( "Derivert g'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk differanse =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "g'(0) =" , derivative . subs ( x , 0 )) print ( "g'(pi/2) =" , simplify ( derivative . subs ( x , pi / 2 ))) print ( "Numerisk kontroll ved x=2 =" , derivative . subs ( x , 2 ) . evalf ( 12 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon g(x) = x*sin(x) Derivert g'(x) = x*cos(x) + sin(x) Forventet uttrykk = x*cos(x) + sin(x) Symbolsk differanse = 0 g'(0) = 0 g'(pi/2) = 1 Numerisk kontroll ved x=2 = 0.0770037537314

Fasit: \(g\prime(x)=\sin x+x\cos x\).

Vanlig feil: Å derivere faktorene hver for seg og multiplisere dem, i stedet for å bruke produktregelen. Sensorpunkt: Sensor ser etter begge produktleddene og korrekt derivert av sinus. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Ubestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int(4x^2+3x)\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer polynomet ledd for ledd ved hjelp av potensregelen og legger til integrasjonskonstanten.

1. Del integralet opp \(\int(4x^2+3x)dx=4\int x^2dx+3\int xdx\).
2. Bruk potensregelen på første ledd \(\int x^2dx=x^3/3\).
3. Bruk potensregelen på andre ledd \(\int xdx=x^2/2\).
4. Multipliser med konstantene Første bidrag blir \(4x^3/3\), og andre bidrag blir \(3x^2/2\).
5. Legg til konstant Alle stamfunksjoner skiller seg med en konstant \(C\).
6. Skriv svaret \[\int(4x^2+3x)dx=\frac43x^3+\frac32x^2+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(4x^2+3x,x)Resultat: \(\frac43x^3+\frac32x^2\) Tolkning: GeoGebra oppgir én stamfunksjon; den generelle løsningen inkluderer \(+C\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , diff , simplify , Rational x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 4 * x ** 2 + 3 * x antiderivative = integrate ( integrand , x ) expected = Rational ( 4 , 3 ) * x ** 3 + Rational ( 3 , 2 ) * x ** 2 print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , antiderivative ) print ( "Forventet stamfunksjon =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , diff ( expected , x )) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( diff ( expected , x ) - integrand )) print ( "Stamfunksjon ved x=2 =" , expected . subs ( x , 2 )) assert simplify ( antiderivative - expected ) == 0 assert simplify ( diff ( expected , x ) - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 4*x**2 + 3*x Stamfunksjon fra SymPy = 4*x**3/3 + 3*x**2/2 Forventet stamfunksjon = 4*x**3/3 + 3*x**2/2 Derivert tilbake = 4*x**2 + 3*x Kontrollforskjell = 0 Stamfunksjon ved x=2 = 50/3

Fasit: \(\displaystyle\frac43x^3+\frac32x^2+C\).

Vanlig feil: Å dele koeffisienten på feil eksponent eller å glemme integrasjonskonstanten \(C\). Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bruk av potensregelen på begge ledd og \(+C\). Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Delvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int4x^2\ln x\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet av et polynom og en logaritme passer til delvis integrasjon. Vi velger logaritmen som den delen som skal deriveres.

1. Faktoriser ut konstanten \(\int4x^2\ln x\,dx=4\int x^2\ln x\,dx\).
2. Velg delene Sett \(u=\ln x\) og \(dv=x^2dx\).
3. Finn du og v \(du=dx/x\) og \(v=x^3/3\).
4. Bruk delvis integrasjon \(\int x^2\ln xdx=\frac{x^3}{3}\ln x-\int\frac{x^3}{3}\frac1x dx\).
5. Beregn restintegralet \(\frac{x^3}{3}\ln x-\frac13\int x^2dx=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}\).
6. Multipliser med 4 \[\int4x^2\ln xdx=\frac43x^3\ln x-\frac49x^3+C,\qquad x>0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(4*x^2*ln(x),x)Resultat: \(\frac43x^3\ln x-\frac49x^3\) Tolkning: CAS bekrefter stamfunksjonen på definisjonsområdet \(x>0\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , log , integrate , diff , simplify , Rational x = symbols ( 'x' , positive = True ) integrand = 4 * x ** 2 * log ( x ) antiderivative = integrate ( integrand , x ) expected = Rational ( 4 , 3 ) * x ** 3 * log ( x ) - Rational ( 4 , 9 ) * x ** 3 print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , antiderivative ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , simplify ( diff ( expected , x ))) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( diff ( expected , x ) - integrand )) print ( "Verdi av stamfunksjonen ved x=1 =" , expected . subs ( x , 1 )) print ( "Numerisk verdi ved x=2 =" , expected . subs ( x , 2 ) . evalf ( 12 )) assert simplify ( antiderivative - expected ) == 0 assert simplify ( diff ( expected , x ) - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 4*x**2*log(x) Stamfunksjon fra SymPy = 4*x**3*log(x)/3 - 4*x**3/9 Forventet form = 4*x**3*log(x)/3 - 4*x**3/9 Derivert tilbake = 4*x**2*log(x) Kontrollforskjell = 0 Verdi av stamfunksjonen ved x=1 = -4/9 Numerisk verdi ved x=2 = 3.83801437042

Fasit: \(\displaystyle\frac43x^3\ln x-\frac49x^3+C\), for \(x>0\). …