Matematikk R2 Eksamen høsten 2022 (K06) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen høst 2022 (K06)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Derivasjon og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=x^3+\sin(\pi x)\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et polynomledd og en sammensatt sinusfunksjon.

1. Deriver polynomleddet \(\frac{d}{dx}x^3=3x^2\).
2. Identifiser kjernen I \(\sin(\pi x)\) er kjernen \(u=\pi x\), med \(u\prime=\pi\).
3. Bruk kjerneregelen \[\frac{d}{dx}\sin(\pi x)=\cos(\pi x)\cdot\pi\]
4. Sett sammen leddene \[f\prime(x)=3x^2+\pi\cos(\pi x)\]
5. Kontroller et enkelt punkt Ved \(x=0\) blir \(f\prime(0)=\pi\).
6. Skriv endelig svar Begge leddene skal være med, og faktoren π må stå foran cosinus.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(x^3+sin(pi*x),x)Resultat: \(3x^2+\pi\cos(\pi x)\) Tolkning: CAS bekrefter både potensregelen og faktoren π fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , pi , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = x ** 3 + sin ( pi * x ) derivative = diff ( f , x ) expected = 3 * x ** 2 + pi * cos ( pi * x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Kontroll ved x=0 =" , derivative . subs ( x , 0 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift f(x) = x**3 + sin(pi*x) f'(x) = 3*x**2 + pi*cos(pi*x) Forventet form = 3*x**2 + pi*cos(pi*x) Symbolsk kontroll = 0 Kontroll ved x=0 = pi

Fasit: \(f\prime(x)=3x^2+\pi\cos(\pi x)\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren π når sinusleddet deriveres. Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig potensregel og en eksplisitt kjerneregel. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Logaritme og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=\ln(2+\cos x)\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en logaritme med en sammensatt indre funksjon.

1. Sett opp logaritmeregelen For \(g(x)=\ln u(x)\) er \(g\prime(x)=u\prime(x)/u(x)\).
2. Velg den indre funksjonen \(u(x)=2+\cos x\).
3. Deriver den indre funksjonen \(u\prime(x)=-\sin x\).
4. Sett inn i regelen \[g\prime(x)=\frac{-\sin x}{2+\cos x}\]
5. Kontroller definisjonsområdet Siden \(2+\cos x\ge1\), er logaritmen definert for alle reelle x.
6. Skriv svaret ryddig \[g\prime(x)=-\frac{\sin x}{2+\cos x}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(ln(2+cos(x)),x)Resultat: \(-\sin x/(2+\cos x)\) Tolkning: CAS bekrefter både nevneren og minustegnet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , log , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) g = log ( 2 + cos ( x )) derivative = diff ( g , x ) expected = - sin ( x ) / ( 2 + cos ( x )) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Kontroll =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Minste mulige logaritmeargument =" , 1 ) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift g(x) = log(cos(x) + 2) g'(x) = -sin(x)/(cos(x) + 2) Forventet form = -sin(x)/(cos(x) + 2) Kontroll = 0 Minste mulige logaritmeargument = 1

Fasit: \(g\prime(x)=-\dfrac{\sin x}{2+\cos x}\).

Vanlig feil: Å glemme at den deriverte av cosinus er minus sinus. Sensorpunkt: Sensor ser etter logaritmeregelen og korrekt indrederivert. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Ubestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\left(\cos\frac{x}{2}-e^{-x}+1\right)\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer hvert ledd separat og må håndtere kjernene x/2 og -x korrekt.

1. Del opp integralet \[\int\cos(x/2)dx-\int e^{-x}dx+\int1\,dx\]
2. Integrer cosinusleddet Siden den indre deriverte er \(1/2\), får vi \(2\sin(x/2)\).
3. Integrer eksponentialleddet \(\int e^{-x}dx=-e^{-x}\), så minustegnet foran integralet gir \(+e^{-x}\).
4. Integrer konstantleddet \(\int1\,dx=x\).
5. Sett sammen \[2\sin(x/2)+e^{-x}+x+C\]
6. Deriver tilbake Derivasjon gir \(\cos(x/2)-e^{-x}+1\), som er integranden.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(cos(x/2)-exp(-x)+1,x)Resultat: \(2\sin(x/2)+e^{-x}+x\) Tolkning: CAS gir én stamfunksjon; den generelle løsningen inkluderer +C.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , cos , sin , exp , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = cos ( x / 2 ) - exp ( - x ) + 1 F = integrate ( integrand , x ) expected = 2 * sin ( x / 2 ) + exp ( - x ) + x print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , F ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , diff ( expected , x )) print ( "Kontroll =" , simplify ( diff ( expected , x ) - integrand )) assert simplify ( diff ( expected , x ) - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = cos(x/2) + 1 - exp(-x) Stamfunksjon fra SymPy = x + 2*sin(x/2) + exp(-x) Forventet form = x + 2*sin(x/2) + exp(-x) Derivert tilbake = cos(x/2) + 1 - exp(-x) Kontroll = 0

Fasit: \(2\sin(x/2)+e^{-x}+x+C\).

Vanlig feil: Å skrive \(-e^{-x}\) i svaret og dermed miste det doble minustegnet. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kompensering for begge indrederiverte og +C. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Bestemt integral og delvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int_0^{\pi}x\sin^2x\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker identiteten for sin²x og viser at cosinusleddet ikke bidrar over intervallet.

1. Bruk halvvinkelidentiteten \[\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}\]
2. Del integralet \[\frac12\int_0^\pi x\,dx-\frac12\int_0^\pi x\cos2x\,dx\]
3. Beregn første integral \[\frac12\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^\pi=\frac{\pi^2}{4}\]
4. Integrer det andre ved deler \[\int x\cos2x\,dx=\frac{x\sin2x}{2}+\frac{\cos2x}{4}\]
5. Sett inn grensene Verdien av dette uttrykket er \(1/4-1/4=0\).
6. Konkluder \[\int_0^\pi x\sin^2x\,dx=\frac{\pi^2}{4}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(x*sin(x)^2,x,0,pi)Resultat: \(\pi^2/4\) Tolkning: CAS bekrefter den eksakte integralverdien.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , pi , integrate , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = x * sin ( x ) ** 2 value = integrate ( integrand , ( x , 0 , pi )) expected = pi ** 2 / 4 auxiliary = integrate ( x * __import__ ( 'sympy' ) . cos ( 2 * x ), ( x , 0 , pi )) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Integral av x*cos(2*x) fra 0 til pi =" , auxiliary ) print ( "Bestemt integral =" , value ) print ( "Forventet verdi =" , expected ) print ( "Kontroll =" , simplify ( value - expected )) print ( "Desimalverdi =" , value . evalf ( 12 )) assert simplify ( value - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = x*sin(x)**2 Integral av x*cos(2*x) fra 0 til pi = 0 Bestemt integral = pi**2/4 Forventet verdi = pi**2/4 Kontroll = 0 Desimalverdi = 2.46740110027

Fasit: \(\displaystyle\frac{\pi^2}{4}\).

Vanlig feil: Å erstatte sin²x med \((1-\cos x)/2\) i stedet for \((1-\cos2x)/2\). Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt identitet, grenseinnsetting og eksakt svar. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3a Separerbar differensiallikning

Oppgave 3a

Oppgave: Løs differensiallikningen \(y\prime=\dfrac{2x^2}{y}\), \(y(0)=3\). Original poengangivelse: Oppgave 3 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi separerer variablene, integrerer og bruker initialbetingelsen til å velge riktig gren. …