Matematikk R2 Eksamen høsten 2011 – løsningsforslag

Matematikk R2 — eksamen høst 2011 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a1 Derivasjon

Oppgave 1a1

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=x\cdot e^x\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av to funksjoner, \(x\) og \(e^x\). Derfor bruker vi produktregelen.

Steg 1 — Identifiser faktorene

Sett \(u(x)=x\) og \(v(x)=e^x\).

Steg 2 — Deriver hver faktor

\[u'(x)=1,\qquad v'(x)=e^x\]

Steg 3 — Bruk produktregelen

\[(uv)'=u'v+uv'\]

Steg 4 — Sett inn

\[f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x\]

Steg 5 — Faktoriser

\[f'(x)=e^x(1+x)\]

Steg 6 — Rimelighetskontroll

Begge leddene inneholder \(e^x\), slik produktregelen tilsier.

Kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra CAS 1 Derivative(x*exp(x), x) Resultat: \((x+1)e^x\)

CAS-resultatet er identisk med den faktoriserte deriverte.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , exp , diff , factor x = symbols ( 'x' ) f = x * exp ( x ) print ( 'f(x) =' , f ) print ( "f'(x) =" , diff ( f , x )) print ( 'Faktorisert =' , factor ( diff ( f , x ))) 

f(x) = x*exp(x) f'(x) = x*exp(x) + exp(x) Faktorisert = (x + 1)*exp(x)

Fasit: \(f'(x)=(x+1)e^x\).

Vanlig feil: Å derivere bare \(x\) eller bare \(e^x\), og dermed glemme ett ledd i produktregelen. Sensorpunkt: Produktregelen må stå eksplisitt, og begge leddene må være med. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a2 Derivasjon

Oppgave 1a2

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=2\sin 2x\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt sinusfunksjon. Kjerneregelen er nødvendig fordi argumentet er \(2x\).

Steg 1 — Finn ytre og indre funksjon

Ytre funksjon er \(2\sin u\), og indre funksjon er \(u=2x\).

Steg 2 — Deriver den ytre funksjonen

\[\frac{d}{du}(2\sin u)=2\cos u\]

Steg 3 — Deriver den indre funksjonen

\[u'=2\]

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

\[g'(x)=2\cos(2x)\cdot 2\]

Steg 5 — Forenkle

\[g'(x)=4\cos 2x\]

Steg 6 — Kontroller faktoren

Faktoren 4 kommer både fra koeffisienten foran sinus og fra den indre deriverte.

Kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra CAS 1 Derivative(2*sin(2x), x) Resultat: \(4\cos(2x)\)

CAS bekrefter den ekstra faktoren 2 fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , sin , diff x = symbols ( 'x' ) g = 2 * sin ( 2 * x ) print ( 'g(x) =' , g ) print ( "g'(x) =" , diff ( g , x )) 

g(x) = 2*sin(2*x) g'(x) = 4*cos(2*x)

Fasit: \(g'(x)=4\cos 2x\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte \(2\). Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bruk av kjerneregelen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a3 Derivasjon

Oppgave 1a3

Oppgave: Deriver funksjonen \(h(x)=2\sin^2 x\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Uttrykket er en konstant multiplisert med kvadratet av \(\sin x\). Vi bruker kjerneregelen på \((\sin x)^2\).

Steg 1 — Skriv potensen tydelig

\[h(x)=2(\sin x)^2\]

Steg 2 — Deriver ytre potens

\[\frac{d}{du}(2u^2)=4u\]

Steg 3 — Deriver kjernen

\[\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\]

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

\[h'(x)=4\sin x\cos x\]

Steg 5 — Bruk dobbelvinkelidentiteten

Siden \(2\sin x\cos x=\sin 2x\), får vi

\[4\sin x\cos x=2\sin 2x\]

Steg 6 — Oppgi likeverdige former

Begge uttrykkene er korrekte.

Kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra CAS 1 Derivative(2*sin(x)^2, x) Resultat: \(4\sin x\cos x\)

CAS gir samme svar; dobbelvinkelformen er ekvivalent.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , sin , diff , trigsimp x = symbols ( 'x' ) h = 2 * sin ( x ) ** 2 hp = diff ( h , x ) print ( 'h(x) =' , h ) print ( "h'(x) =" , hp ) print ( 'Trigonometrisk forenklet =' , trigsimp ( hp , method = 'fu' )) 

h(x) = 2*sin(x)**2 h'(x) = 4*sin(x)*cos(x) Trigonometrisk forenklet = 2*sin(2*x)

Fasit: \(h'(x)=4\sin x\cos x=2\sin 2x\).

Vanlig feil: Å skrive \(4\sin x\) og glemme den deriverte av \(\sin x\). Sensorpunkt: Kjerneregelen og eventuelt korrekt dobbelvinkelidentitet. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b1 Integrasjon

Oppgave 1b1

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle \int x\cos x\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Integranden er et produkt av et polynom og en trigonometrisk funksjon. Delvis integrasjon reduserer graden på polynomet.

Steg 1 — Velg \(u\) og \(dv\)

\[u=x,\qquad dv=\cos x\,dx\]

Steg 2 — Finn \(du\) og \(v\)

\[du=dx,\qquad v=\sin x\]

Steg 3 — Bruk delvis integrasjon

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]

Steg 4 — Sett inn

\[\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx\]

Steg 5 — Integrer resten

\[\int\sin x\,dx=-\cos x\]

Steg 6 — Samle svaret

\[x\sin x+\cos x+C\]

Kontroll ved derivasjon

\[\frac{d}{dx}(x\sin x+\cos x)=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x\]

Kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra CAS 1 Integral(x*cos(x), x) Resultat: \(x\sin x+\cos x\)

CAS bekrefter stamfunksjonen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , cos , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' ) I = integrate ( x * cos ( x ), x ) print ( 'Stamfunksjon =' , I ) print ( 'Derivert kontroll =' , simplify ( diff ( I , x ))) 

Stamfunksjon = x*sin(x) + cos(x) Derivert kontroll = x*cos(x)

Fasit: \(x\sin x+\cos x+C\).

Vanlig feil: Feil fortegn når \(\int\sin x\,dx=-\cos x\). Sensorpunkt: Valg av delvis integrasjon og en eksplisitt derivasjonskontroll. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b2 Integrasjon

Oppgave 1b2

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle \int \frac{4}{x^2-4}\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren faktoriseres i to lineære faktorer. Derfor bruker vi delbrøkoppspalting.

Steg 1 — Faktoriser nevneren

\[x^2-4=(x-2)(x+2)\]

Steg 2 — Sett opp delbrøker

\[\frac{4}{(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}\]

Steg 3 — Finn koeffisientene

\[4=A(x+2)+B(x-2)\]

Setter vi \(x=2\), får vi \(A=1\). Setter vi \(x=-2\), får vi \(B=-1\).

Steg 4 — Skriv integranden på nytt

\[\frac{4}{x^2-4}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\]

Steg 5 — Integrer leddvis

\[\int\frac{1}{x-2}\,dx-\int\frac{1}{x+2}\,dx=\ln|x-2|-\ln|x+2|+C\]

Steg 6 — Samle logaritmene

\[\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C\]

Definisjonsområdet utelukker \(x=\pm2\).

Kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra CAS 1 Integral(4/(x^2-4), x) Resultat: \(\ln|x-2|-\ln|x+2|\)

CAS-formen er den samme på hvert intervall i definisjonsområdet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' ) expr = 4 / ( x ** 2 - 4 ) I = integrate ( expr , x ) print ( 'Integrand =' , expr ) print ( 'Stamfunksjon fra SymPy =' , I ) print ( 'Derivert kontroll =' , simplify ( diff ( I , x ))) 

Integrand = 4/(x**2 - 4) Stamfunksjon fra SymPy = log(x - 2) - log(x + 2) Derivert kontroll = 4/(x**2 - 4)

Fasit: \(\displaystyle \ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C\), for \(x\neq\pm2\).

Vanlig feil: Å glemme absoluttverdiene eller få feil fortegn på den andre logaritmen. Sensorpunkt: Korrekt delbrøkoppspalting og opplysning om singularitetene. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b3 Integrasjon

Oppgave 1b3

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle \int \sin x\cos^3x\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Faktoren \(\sin x\,dx\) er, bortsett fra fortegn, den deriverte av \(\cos x\). Substitusjon er derfor naturlig.

Steg 1 — Velg substitusjon

\[u=\cos x\]

Steg 2 — Deriver substitusjonen

\[du=-\sin x\,dx\quad\Rightarrow\quad \sin x\,dx=-du\]

Steg 3 — Bytt variabel

\[\int \sin x\cos^3x\,dx=-\int u^3\,du\]

Steg 4 — Bruk potensregelen

\[-\int u^3\,du=-\frac{u^4}{4}+C\]

Steg 5 — Sett tilbake

\[-\frac{1}{4}\cos^4x+C\]

Steg 6 — Deriver for kontroll

\[\frac{d}{dx}\left(-\frac14\cos^4x\right)=\sin x\cos^3x\]

Kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra CAS 1 Integral(sin(x)*cos(x)^3, x) Resultat: \(-\frac14\cos^4x\)

CAS bekrefter substitusjonen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , sin , cos , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' ) I = integrate ( sin ( x ) * cos ( x ) ** 3 , x ) print ( 'Stamfunksjon =' , I ) print ( 'Derivert kontroll =' , simplify ( diff ( I , x ))) 

Stamfunksjon = -cos(x)**4/4 Derivert kontroll = sin(x)*cos(x)**3

Fasit: \(\displaystyle -\frac14\cos^4x+C\).

Vanlig feil: Å miste minustegnet fra \(du=-\sin x\,dx\). Sensorpunkt: Et tydelig substitusjonsvalg og korrekt tilbakeføring. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Rekker

Oppgave 1c

Oppgave: Vi har gitt rekken \(1+3+5+7+\cdots +(2n-1)\). Skriv opp \(S_1,S_2,S_3,S_4\) og bestem \(S_{100}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne delsummene i rekken av de første oddetallene og deretter summen av de 100 første leddene. …