Matematikk R2 Eksamen våren 2020 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2020

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Produktregelen

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=x\sin x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av funksjonene \(x\) og \(\sin x\). Produktregelen må brukes på begge faktorene.

1. Identifiser faktorene Sett \(u(x)=x\) og \(v(x)=\sin x\).
2. Deriver første faktor \(u\prime(x)=1\).
3. Deriver andre faktor \(v\prime(x)=\cos x\).
4. Bruk produktregelen \((uv)\prime=u\prime v+uv\prime\).
5. Sett inn uttrykkene \(f\prime(x)=1\cdot\sin x+x\cdot\cos x\).
6. Skriv svaret ryddig \[f\prime(x)=\sin x+x\cos x\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(x*sin(x),x)Resultat: \(\sin x+x\cos x\) Tolkning: CAS bekrefter at begge leddene fra produktregelen må være med.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , N x = symbols ( 'x' , real = True ) f = x * sin ( x ) derivative = diff ( f , x ) expected = sin ( x ) + x * cos ( x ) print ( "Funksjon f(x) =" , f ) print ( "Derivert f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "f'(0) =" , derivative . subs ( x , 0 )) print ( "Numerisk f'(1) =" , N ( derivative . subs ( x , 1 ), 12 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon f(x) = x*sin(x) Derivert f'(x) = x*cos(x) + sin(x) Forventet uttrykk = x*cos(x) + sin(x) Symbolsk kontroll = 0 f'(0) = 0 Numerisk f'(1) = 1.38177329068

Fasit: \(f\prime(x)=\sin x+x\cos x\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som \(1\cdot\cos x\), eller å glemme ett av produktregelens to ledd. Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt og korrekt bruk av produktregelen. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Kvotientregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{\cos(x^2)}{x}\), der \(x\ne0\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Telleren er en sammensatt cosinusfunksjon, og hele uttrykket er en kvotient. Vi må kombinere kjerneregelen og kvotientregelen.

1. Definer teller og nevner Sett \(u(x)=\cos(x^2)\) og \(v(x)=x\).
2. Deriver telleren Kjerneregelen gir \(u\prime(x)=-\sin(x^2)\cdot2x=-2x\sin(x^2)\).
3. Deriver nevneren \(v\prime(x)=1\).
4. Bruk kvotientregelen \(g\prime=(u\prime v-uv\prime)/v^2\).
5. Sett inn og forenkle \[g\prime(x)=\frac{-2x^2\sin(x^2)-\cos(x^2)}{x^2}\]
6. Skriv en ekvivalent form \[g\prime(x)=-2\sin(x^2)-\frac{\cos(x^2)}{x^2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(cos(x^2)/x,x)Resultat: \(-2\sin(x^2)-\cos(x^2)/x^2\) Tolkning: CAS kombinerer kjerneregelen i telleren med kvotientregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , cos , sin , diff , simplify , together , N x = symbols ( 'x' , real = True , nonzero = True ) g = cos ( x ** 2 ) / x raw = diff ( g , x ) expected = - 2 * sin ( x ** 2 ) - cos ( x ** 2 ) / x ** 2 print ( "Funksjon g(x) =" , g ) print ( "Derivert fra SymPy =" , raw ) print ( "Samlet brøk =" , together ( raw )) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , simplify ( raw - expected )) print ( "Numerisk g'(1) =" , N ( raw . subs ( x , 1 ), 12 )) assert simplify ( raw - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon g(x) = cos(x**2)/x Derivert fra SymPy = -2*sin(x**2) - cos(x**2)/x**2 Samlet brøk = (-2*x**2*sin(x**2) - cos(x**2))/x**2 Forventet form = -2*sin(x**2) - cos(x**2)/x**2 Symbolsk kontroll = 0 Numerisk g'(1) = -2.22324427548

Fasit: \(g\prime(x)=-2\sin(x^2)-\dfrac{\cos(x^2)}{x^2}\), \(x\ne0\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(2x\) fra kjerneregelen eller å bruke feil fortegn i kvotientregelen. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kjerneregel, kvotientregel og at domenet \(x\ne0\) respekteres. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Ubestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\left(x^2+3+e^{2x}\right)\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer hvert ledd separat. Eksponentialleddet krever at vi kompenserer for den indre deriverte 2.

1. Del integralet opp \(\int x^2dx+\int3dx+\int e^{2x}dx\).
2. Integrer potensleddet \(\int x^2dx=x^3/3\).
3. Integrer konstanten \(\int3dx=3x\).
4. Integrer eksponentialleddet \(\int e^{2x}dx=\frac12e^{2x}\).
5. Samle leddene \(F(x)=x^3/3+3x+e^{2x}/2\).
6. Ta med integrasjonskonstanten \[\int\left(x^2+3+e^{2x}\right)dx=\frac{x^3}{3}+3x+\frac12e^{2x}+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(x^2+3+exp(2x),x)Resultat: \(x^3/3+3x+e^{2x}/2\) Tolkning: GeoGebra viser én stamfunksjon; den generelle løsningen har i tillegg \(+C\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , exp , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = x ** 2 + 3 + exp ( 2 * x ) antiderivative = integrate ( integrand , x ) expected = x ** 3 / 3 + 3 * x + exp ( 2 * x ) / 2 back = diff ( expected , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , antiderivative ) print ( "Forventet stamfunksjon =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , back ) print ( "Kontroll mot integranden =" , simplify ( back - integrand )) print ( "Kontroll mellom formene =" , simplify ( antiderivative - expected )) assert simplify ( back - integrand ) == 0 assert simplify ( antiderivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = x**2 + exp(2*x) + 3 Stamfunksjon fra SymPy = x**3/3 + 3*x + exp(2*x)/2 Forventet stamfunksjon = x**3/3 + 3*x + exp(2*x)/2 Derivert tilbake = x**2 + exp(2*x) + 3 Kontroll mot integranden = 0 Kontroll mellom formene = 0

Fasit: \(\displaystyle\frac{x^3}{3}+3x+\frac12e^{2x}+C\).

Vanlig feil: Å skrive \(e^{2x}\) som egen stamfunksjon uten faktoren \(1/2\), eller å glemme \(+C\). Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt leddvis integrasjon og kontroll av eksponentialleddet. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Substitusjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int6x\sin(x^2)\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Kjernen \(x^2\) har derivert \(2x\), som finnes som faktor i integranden. Substitusjon gjør integralet direkte.

1. Velg substitusjon Sett \(u=x^2\).
2. Finn differensialet \(du=2x\,dx\), altså \(6x\,dx=3\,du\).
3. Bytt variabel \(\int6x\sin(x^2)dx=3\int\sin u\,du\).
4. Integrer sinus \(\int\sin u\,du=-\cos u\).
5. Sett tilbake \(-3\cos(x^2)\).
6. Legg til konstant og kontroller \[\int6x\sin(x^2)dx=-3\cos(x^2)+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(6*x*sin(x^2),x)Resultat: \(-3\cos(x^2)\) Tolkning: CAS bekrefter substitusjonen og det negative fortegnet i stamfunksjonen til sinus.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 6 * x * sin ( x ** 2 ) antiderivative = integrate ( integrand , x ) expected = - 3 * cos ( x ** 2 ) back = diff ( expected , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , antiderivative ) print ( "Forventet stamfunksjon =" , expected ) print ( "Derivert av forventet svar =" , back ) print ( "Kontroll mot integranden =" , simplify ( back - integrand )) print ( "Kontroll mellom formene =" , simplify ( antiderivative - expected )) assert simplify ( back - integrand ) == 0 assert simplify ( antiderivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 6*x*sin(x**2) Stamfunksjon fra SymPy = -3*cos(x**2) Forventet stamfunksjon = -3*cos(x**2) Derivert av forventet svar = 6*x*sin(x**2) Kontroll mot integranden = 0 Kontroll mellom formene = 0

Fasit: \(-3\cos(x^2)+C\).

Vanlig feil: Å glemme minusfortegnet eller å bruke \(du=x\,dx\) i stedet for \(du=2x\,dx\). Sensorpunkt: Sensor ser etter en tydelig substitusjon og korrekt tilbakebytte. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2c Delvis integrasjon

Oppgave 2c

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet av et polynom og en logaritme passer til delvis integrasjon. Deretter setter vi inn grensene. …