Matematikk R2 Eksamen våren 2011 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2011 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

32 deloppgaver løst Del 1 + Del 2 samme rekkefølge som settet 8 visualiseringer grafer og romgeometri CAS + SymPy digitale kontroller Del 1Del 2RomgeometriUegentlig integral

Del 1 - uten hjelpemidler

Alle mellomregninger vises. GeoGebra og Python brukes bare som etterkontroll.

Del 1 - Oppgave 1a1 Derivasjon - kjerneregelen

Oppgave 1a1

Oppgave:

Deriver funksjonen

\[f(x)=2\sin(2x).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt trigonometrisk funksjon. Faktoren 2 står utenfor, mens den indre funksjonen er \(2x\), så kjerneregelen må brukes.

Steg 1 - Identifiser ytre og indre funksjon

Den ytre funksjonen er sinus, og den indre funksjonen er \(u(x)=2x\).

Steg 2 - Deriver den ytre funksjonen

Den deriverte av \(\sin u\) med hensyn på \(u\) er \(\cos u\).

Steg 3 - Deriver den indre funksjonen

\[u\prime(x)=2.\]

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

\[\frac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot2.\]

Steg 5 - Ta med faktoren foran sinus

\[f\prime(x)=2\cdot\cos(2x)\cdot2.\]

Steg 6 - Forenkle

\[f\prime(x)=4\cos(2x).\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative(2 sin(2x),x) → \(4\cos(2x)\)

Tolkning: CAS-resultatet stemmer med den håndregnede deriverte.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjort kontroll

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 2 * sin ( 2 * x ) f_prime = diff ( f , x ) expected = 4 * cos ( 2 * x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Differanse etter forenkling =" , simplify ( f_prime - expected )) 

f(x) = 2*sin(2*x) f'(x) = 4*cos(2*x) Forventet uttrykk = 4*cos(2*x) Differanse etter forenkling = 0

Fasit: \(f\prime(x)=4\cos(2x)\).

Vanlig feil: Å derivere \(\sin(2x)\) til bare \(\cos(2x)\). Den indre deriverte \(2\) må multipliseres inn. Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt bruk av kjerneregelen og korrekt faktor 4. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1a2 Derivasjon - produkt og kjerne

Oppgave 1a2

Oppgave:

Deriver funksjonen

\[g(x)=x^2\cos(2x).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x^2\) og \(\cos(2x)\). Vi trenger produktregelen, og den trigonometriske faktoren krever i tillegg kjerneregelen.

Steg 1 - Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=\cos(2x)\).

Steg 2 - Skriv produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime.\]

Steg 3 - Deriver \(u\)

\[u\prime(x)=2x.\]

Steg 4 - Deriver \(v\) med kjerneregelen

\[v\prime(x)=-\sin(2x)\cdot2=-2\sin(2x).\]

Steg 5 - Sett inn i produktregelen

\[g\prime(x)=2x\cos(2x)+x^2\bigl(-2\sin(2x)\bigr).\]

Steg 6 - Skriv et ryddig sluttresultat

\[g\prime(x)=2x\cos(2x)-2x^2\sin(2x).\]

Steg 7 - Eventuell faktorisering

\[g\prime(x)=2x\bigl(\cos(2x)-x\sin(2x)\bigr).\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative(x^2 cos(2x),x) → \(2x\cos(2x)-2x^2\sin(2x)\)

Tolkning: Det faktoriserte og det utvidede uttrykket er ekvivalente.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjort kontroll

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , factor , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) g = x ** 2 * cos ( 2 * x ) g_prime = diff ( g , x ) expected = 2 * x * cos ( 2 * x ) - 2 * x ** 2 * sin ( 2 * x ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) utvidet =" , g_prime ) print ( "g'(x) faktorisert =" , factor ( g_prime )) print ( "Kontroll mot forventet uttrykk =" , simplify ( g_prime - expected )) 

g(x) = x**2*cos(2*x) g'(x) utvidet = -2*x**2*sin(2*x) + 2*x*cos(2*x) g'(x) faktorisert = -2*x*(x*sin(2*x) - cos(2*x)) Kontroll mot forventet uttrykk = 0

Fasit: \(g\prime(x)=2x\cos(2x)-2x^2\sin(2x)\).

Vanlig feil: Å glemme enten produktregelen eller faktoren 2 fra kjerneregelen. Sensorpunkt: Sensor ser etter begge leddene fra produktregelen og riktig fortegn i den deriverte av cosinus. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1a3 Derivasjon - rotfunksjon

Oppgave 1a3

Oppgave:

Deriver funksjonen

\[h(x)=\frac12\sqrt{x^2-4x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skriver kvadratroten som en potens og bruker kjerneregelen. Samtidig må vi skille mellom definisjonsmengden til funksjonen og til den deriverte.

Steg 1 - Skriv roten som potens

\[h(x)=\frac12(x^2-4x)^{1/2}.\]

Steg 2 - Deriver den ytre potensfunksjonen

\[\frac{d}{du}u^{1/2}=\frac12u^{-1/2}.\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[\frac{d}{dx}(x^2-4x)=2x-4.\]

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

\[h\prime(x)=\frac12\cdot\frac12(x^2-4x)^{-1/2}(2x-4).\]

Steg 5 - Forenkle teller og nevner

\[h\prime(x)=\frac{2x-4}{4\sqrt{x^2-4x}}=\frac{x-2}{2\sqrt{x^2-4x}}.\]

Steg 6 - Finn definisjonsmengden til \(h\)

Kravet \(x^2-4x=x(x-4)\ge0\) gir \(x\le0\) eller \(x\ge4\).

Steg 7 - Oppgi hvor den deriverte finnes

Nevneren kan ikke være null, så \(h\prime\) finnes for \(x<0\) eller \(x>4\).

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative((1/2) sqrt(x^2-4x),x) → \(\frac{x-2}{2\sqrt{x^2-4x}}\) 2 Solve(x^2-4x>0,x) → \(x<0\ \vee\ x>4\)

Tolkning: Den deriverte er ikke definert der rotuttrykket er null.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjort kontroll

 from sympy import symbols , sqrt , diff , simplify , factor , solve_univariate_inequality x = symbols ( 'x' , real = True ) h = sqrt ( x ** 2 - 4 * x ) / 2 h_prime = simplify ( diff ( h , x )) expected = ( x - 2 ) / ( 2 * sqrt ( x ** 2 - 4 * x )) radicand = factor ( x ** 2 - 4 * x ) print ( "h(x) =" , h ) print ( "Faktorisert rotuttrykk =" , radicand ) print ( "h'(x) =" , h_prime ) print ( "Kontroll mot forventet uttrykk =" , simplify ( h_prime - expected )) print ( "Omrade der nevneren er reell og ulik null =" , solve_univariate_inequality ( x ** 2 - 4 * x > 0 , x )) 

h(x) = sqrt(x**2 - 4*x)/2 Faktorisert rotuttrykk = x*(x - 4) h'(x) = (x - 2)/(2*sqrt(x*(x - 4))) Kontroll mot forventet uttrykk = 0 Omrade der nevneren er reell og ulik null = (4 < x) | (x < 0)

Fasit: \(\displaystyle h\prime(x)=\frac{x-2}{2\sqrt{x^2-4x}}\), for \(x<0\) eller \(x>4\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(1/2\) foran funksjonen eller å la endepunktene \(0\) og \(4\) inngå i definisjonsmengden til den deriverte. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kjerneregel, full forenkling og bevissthet om domenet. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b1 Integrasjon - delvis integrasjon

Oppgave 1b1

Oppgave:

Bestem integralet

\[\int x e^x\,dx.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Integranden er et produkt der den ene faktoren blir enklere ved derivasjon. Delvis integrasjon er derfor naturlig: vi deriverer \(x\) og integrerer \(e^x\).

Steg 1 - Skriv formelen for delvis integrasjon

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du.\]

Steg 2 - Velg \(u\) og \(dv\)

\[u=x,\qquad dv=e^x\,dx.\]

Steg 3 - Finn \(du\) og \(v\)

\[du=dx,\qquad v=e^x.\]

Steg 4 - Sett inn i formelen

\[\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx.\]

Steg 5 - Integrer restintegralet

\[\int e^x\,dx=e^x.\]

Steg 6 - Skriv sluttresultatet

\[\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+C.\]

Steg 7 - Faktoriser om ønskelig

\[xe^x-e^x=e^x(x-1).\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Integral(x exp(x),x) → \(e^x(x-1)\)

Tolkning: GeoGebra oppgir en stamfunksjon uten den vilkårlige konstanten.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjort kontroll

 from sympy import symbols , exp , integrate , diff , simplify , factor x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = x * exp ( x ) primitive = integrate ( integrand , x ) control = simplify ( diff ( primitive , x ) - integrand ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , primitive ) print ( "Faktorisert stamfunksjon =" , factor ( primitive )) print ( "Derivert stamfunksjon =" , diff ( primitive , x )) print ( "Derivert minus integrand =" , control ) 

Integrand = x*exp(x) Stamfunksjon fra SymPy = (x - 1)*exp(x) Faktorisert stamfunksjon = (x - 1)*exp(x) Derivert stamfunksjon = (x - 1)*exp(x) + exp(x) Derivert minus integrand = 0

Fasit: \(\displaystyle \int xe^x\,dx=e^x(x-1)+C\).

Vanlig feil: Å skrive pluss foran restintegralet. Formelen har minus: \(uv-\int v\,du\). Sensorpunkt: Sensor ser etter et fornuftig valg av \(u\), korrekt formel og integrasjonskonstant. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b2 Integrasjon - delbrokoppspalting

Oppgave 1b2

Oppgave:

Bestem integralet

\[\int\frac{5x+3}{x^2-9}\,dx.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren faktoriseres som \((x-3)(x+3)\), og telleren passer ikke direkte til den deriverte av nevneren. Vi deler derfor brøken i to enklere delbrøker.

Steg 1 - Faktoriser nevneren

\[x^2-9=(x-3)(x+3).\]

Steg 2 - Sett opp delbrøkene

\[\frac{5x+3}{(x-3)(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}.\]

Steg 3 - Multipliser med fellesnevneren

\[5x+3=A(x+3)+B(x-3).\]

Steg 4 - Sammenlikn koeffisienter

\[(A+B)x+(3A-3B)=5x+3.\]

Dermed får vi \(A+B=5\) og \(A-B=1\). …