Matematikk R2 Eksamen høsten 2019 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen høst 2019

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Derivasjon og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=2\cos(\pi x)\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en cosinusfunksjon med kjernen \(\pi x\). Kjerneregelen gir en ekstra faktor \(\pi\).

1. Identifiser ytre funksjon Den ytre funksjonen er \(2\cos u\).
2. Deriver cosinus \(\frac{d}{dx}\cos u=-\sin u\cdot u\prime\).
3. Finn den indre deriverte For \(u=\pi x\) er \(u\prime=\pi\).
4. Ta med konstanten Faktoren 2 beholdes under derivasjonen.
5. Sett sammen \(f\prime(x)=2(-\sin(\pi x))\pi\).
6. Forenkle \[f\prime(x)=-2\pi\sin(\pi x)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(2*cos(pi*x),x)Resultat: \(-2\pi\sin(\pi x)\) Tolkning: CAS bekrefter både minusfortegnet og faktoren \(\pi\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , pi , cos , sin , diff , simplify , N x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 2 * cos ( pi * x ) derivative = diff ( f , x ) expected = - 2 * pi * sin ( pi * x ) print ( "Funksjon f(x) =" , f ) print ( "Derivert f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "f'(0) =" , derivative . subs ( x , 0 )) print ( "f'(1/2) =" , simplify ( derivative . subs ( x , 1 / 2 ))) print ( "Numerisk f'(1/2) =" , N ( derivative . subs ( x , 1 / 2 ), 12 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon f(x) = 2*cos(pi*x) Derivert f'(x) = -2*pi*sin(pi*x) Forventet uttrykk = -2*pi*sin(pi*x) Symbolsk kontroll = 0 f'(0) = 0 f'(1/2) = -2*pi Numerisk f'(1/2) = -6.28318530718

Fasit: \(f\prime(x)=-2\pi\sin(\pi x)\).

Vanlig feil: Å glemme minusfortegnet eller faktoren \(\pi\) fra kjerneregelen. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt standardregel og tydelig bruk av kjerneregelen. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=\cos^2x\cdot\sin x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt, og faktoren \(\cos^2x\) må deriveres med kjerneregelen.

1. Velg faktorene Sett \(u=\cos^2x\) og \(v=\sin x\).
2. Deriver første faktor \(u\prime=2\cos x(-\sin x)=-2\sin x\cos x\).
3. Deriver andre faktor \(v\prime=\cos x\).
4. Bruk produktregelen \(g\prime=u\prime v+uv\prime\).
5. Sett inn \(g\prime=-2\sin^2x\cos x+\cos^3x\).
6. Faktoriser \[g\prime(x)=\cos x(3\cos^2x-2)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(cos(x)^2*sin(x),x)Resultat: \(\cos^3x-2\sin^2x\cos x\) Tolkning: Uttrykket kan faktoriseres til \(\cos x(3\cos^2x-2)\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , trigsimp , factor x = symbols ( 'x' , real = True ) g = cos ( x ) ** 2 * sin ( x ) raw = diff ( g , x ) expected = cos ( x ) * ( 3 * cos ( x ) ** 2 - 2 ) print ( "Funksjon g(x) =" , g ) print ( "Derivert, direkte =" , raw ) print ( "Faktorisert kandidat =" , expected ) print ( "Trigonometrisk kontroll =" , trigsimp ( raw - expected )) print ( "Utvidet forventet uttrykk =" , simplify ( expected . expand ( trig = True ))) print ( "g'(0) =" , raw . subs ( x , 0 )) assert trigsimp ( raw - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon g(x) = sin(x)*cos(x)**2 Derivert, direkte = -2*sin(x)**2*cos(x) + cos(x)**3 Faktorisert kandidat = (3*cos(x)**2 - 2)*cos(x) Trigonometrisk kontroll = 0 Utvidet forventet uttrykk = (3*cos(x)**2 - 2)*cos(x) g'(0) = 1

Fasit: \(g\prime(x)=\cos^3x-2\sin^2x\cos x=\cos x(3\cos^2x-2)\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som produktet av de deriverte eller å glemme kjerneregelen på \(\cos^2x\). Sensorpunkt: Sensor ser etter både produktregelen og riktig derivasjon av kvadratet. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Bestemt integral og symmetri

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int_{-1}^{1}(2x^3+3x-1)\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kan bruke en stamfunksjon, men symmetri gjør også beregningen enkel: de to oddetallsleddene gir null over \([-1,1]\).

1. Skill leddene Integranden er summen av to odde funksjoner og konstanten \(-1\).
2. Bruk symmetri \(\int_{-1}^{1}2x^3dx=0\) og \(\int_{-1}^{1}3x\,dx=0\).
3. Integrer konstanten \(\int_{-1}^{1}-1\,dx=-[x]_{-1}^{1}\).
4. Beregn lengden Intervallet har lengde 2, så konstantleddet bidrar med \(-2\).
5. Kontroller med stamfunksjon En stamfunksjon er \(x^4/2+3x^2/2-x\).
6. Konkluder \[\int_{-1}^{1}(2x^3+3x-1)dx=-2\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(2*x^3+3*x-1,x,-1,1)Resultat: \(-2\) Tolkning: CAS bekrefter at de odde leddene kansellerer.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 2 * x ** 3 + 3 * x - 1 antiderivative = integrate ( integrand , x ) value = integrate ( integrand , ( x , - 1 , 1 )) odd_part = 2 * x ** 3 + 3 * x print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon =" , antiderivative ) print ( "Bidrag fra odd del =" , integrate ( odd_part , ( x , - 1 , 1 ))) print ( "Bidrag fra konstantleddet =" , integrate ( - 1 , ( x , - 1 , 1 ))) print ( "Bestemt integral =" , value ) print ( "Kontroll F(1)-F(-1) =" , simplify ( antiderivative . subs ( x , 1 ) - antiderivative . subs ( x , - 1 ))) assert value == - 2 

 Kjørt utskrift Integrand = 2*x**3 + 3*x - 1 Stamfunksjon = x**4/2 + 3*x**2/2 - x Bidrag fra odd del = 0 Bidrag fra konstantleddet = -2 Bestemt integral = -2 Kontroll F(1)-F(-1) = -2

Fasit: \(-2\).

Vanlig feil: Å overse at det står \(-1\) i integranden, eller å legge sammen grensene feil. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt grenseinnsetting eller en tydelig symmetriargumentasjon. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Substitusjon og logaritme

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\frac{8x}{2x^2-1}\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevnerens deriverte er \(4x\), som er en konstant faktor unna telleren. Substitusjon gir et logaritmeintegral.

1. Velg substitusjon Sett \(u=2x^2-1\).
2. Finn differensialet \(du=4x\,dx\).
3. Omskriv telleren \(8x\,dx=2\,du\).
4. Bytt variabel Integral blir \(2\int\frac1u\,du\).
5. Integrer \(2\int u^{-1}du=2\ln|u|+C\).
6. Sett tilbake \[2\ln|2x^2-1|+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(8*x/(2*x^2-1),x)Resultat: \(2\ln|2x^2-1|\) Tolkning: Absoluttverdien er nødvendig fordi nevneren kan være negativ.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , log , Abs , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 8 * x / ( 2 * x ** 2 - 1 ) F_component = 2 * log ( 2 * x ** 2 - 1 ) cas_form = integrate ( integrand , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , cas_form ) print ( "Reell global skrivemåte = 2*log(Abs(2*x**2 - 1))" ) print ( "Kontrollert komponentform =" , F_component ) print ( "Derivert tilbake =" , simplify ( diff ( F_component , x ))) print ( "Kontrollforskjell =" , simplify ( diff ( F_component , x ) - integrand )) print ( "Definisjonsbrudd ved x = ±sqrt(2)/2" ) assert simplify ( diff ( F_component , x ) - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 8*x/(2*x**2 - 1) Stamfunksjon fra SymPy = 2*log(2*x**2 - 1) Reell global skrivemåte = 2*log(Abs(2*x**2 - 1)) Kontrollert komponentform = 2*log(2*x**2 - 1) Derivert tilbake = 8*x/(2*x**2 - 1) Kontrollforskjell = 0 Definisjonsbrudd ved x = ±sqrt(2)/2

Fasit: \(2\ln|2x^2-1|+C\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 2 eller absoluttverdien i logaritmen. Sensorpunkt: Sensor ser etter en korrekt substitusjon og en stamfunksjon som gjelder på hvert intervall i definisjonsområdet. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2c Polynom og potensregel

Oppgave 2c

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int (x+3)(x+1)^2\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kan utvide produktet til et polynom og integrere hvert ledd med potensregelen. …