Matematikk R2 Eksamen høsten 2018 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen høst 2018

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Derivasjon og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=6\cos(2x-1)\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt cosinusfunksjon. Konstanten 6 beholdes, mens kjerneregelen gir både et minusfortegn og faktoren 2.

1. Skill mellom ytre og indre funksjon Den ytre funksjonen er \(6\cos u\), og kjernen er \(u=2x-1\).
2. Deriver den ytre funksjonen Derivert av \(6\cos u\) med hensyn på \(u\) er \(-6\sin u\).
3. Deriver kjernen \(u\prime=2\).
4. Bruk kjerneregelen \(f\prime(x)=-6\sin(2x-1)\cdot2\).
5. Forenkle konstantfaktoren \(-6\cdot2=-12\).
6. Skriv endelig svar \[f\prime(x)=-12\sin(2x-1)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(6*cos(2*x-1),x)Resultat: \(-12\sin(2x-1)\) Tolkning: CAS bekrefter minusfortegnet og faktoren 2 fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , cos , sin , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 6 * cos ( 2 * x - 1 ) derivative = diff ( f , x ) expected = - 12 * sin ( 2 * x - 1 ) print ( "Funksjon f(x) =" , f ) print ( "Derivert f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk differanse =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Kontroll ved x = 1/2:" , derivative . subs ( x , 1 / 2 ) . evalf ( 12 )) print ( "Kontroll ved x = 0:" , derivative . subs ( x , 0 ) . evalf ( 12 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon f(x) = 6*cos(2*x - 1) Derivert f'(x) = -12*sin(2*x - 1) Forventet uttrykk = -12*sin(2*x - 1) Symbolsk differanse = 0 Kontroll ved x = 1/2: 0 Kontroll ved x = 0: 10.0976518177

Fasit: \(f\prime(x)=-12\sin(2x-1)\).

Vanlig feil: Å glemme minusfortegnet fra cosinus eller faktoren 2 fra den indre funksjonen. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kjerneregel, konstantfaktor og ryddig sluttresultat. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Trigonometrisk identitet og derivasjon

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=\cos^2x+\sin^2x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Uttrykket kan enten deriveres leddvis med kjerneregelen eller forenkles først med identiteten \(\cos^2x+\sin^2x=1\). Begge metoder skal gi null.

1. Bruk den trigonometriske identiteten For alle reelle \(x\) gjelder \(\cos^2x+\sin^2x=1\).
2. Forenkle funksjonen Dermed er \(g(x)=1\).
3. Deriver konstanten Den deriverte av en konstant er 0.
4. Kontroller ved direkte derivasjon \(2\cos x(-\sin x)+2\sin x\cos x=0\).
5. Se kanselleringen De to leddene er motsatte og summerer seg til null.
6. Skriv svaret \[g\prime(x)=0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Simplify(Derivative(cos(x)^2+sin(x)^2,x))Resultat: \(0\) Tolkning: CAS bruker identiteten og viser at den deriverte er null for alle x.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , trigsimp x = symbols ( 'x' , real = True ) g = cos ( x ) ** 2 + sin ( x ) ** 2 raw_derivative = diff ( g , x ) simplified_function = trigsimp ( g ) simplified_derivative = trigsimp ( raw_derivative ) print ( "Funksjon g(x) =" , g ) print ( "Trigonometrisk forenkling av g =" , simplified_function ) print ( "Direkte derivert =" , raw_derivative ) print ( "Forenklet derivert =" , simplified_derivative ) print ( "Kontroll ved x = 0 =" , raw_derivative . subs ( x , 0 )) print ( "Kontroll ved x = pi/7 =" , trigsimp ( raw_derivative . subs ( x , 3.141592653589793 / 7 )) . evalf ( 12 )) assert simplify ( simplified_function - 1 ) == 0 assert simplified_derivative == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon g(x) = sin(x)**2 + cos(x)**2 Trigonometrisk forenkling av g = 1 Direkte derivert = 0 Forenklet derivert = 0 Kontroll ved x = 0 = 0 Kontroll ved x = pi/7 = 0

Fasit: \(g\prime(x)=0\).

Vanlig feil: Å derivere \(\cos^2x\) som \(-\sin^2x\), eller å overse at funksjonen identisk er lik 1. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bruk av identitet eller full kjerneregel med tydelig kansellering. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Ubestemt integral og potensregel

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int(2x^2-3x)\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer polynomet ledd for ledd ved hjelp av potensregelen og tar med integrasjonskonstanten.

1. Del integralet opp \(\int(2x^2-3x)dx=2\int x^2dx-3\int xdx\).
2. Integrer første ledd \(\int x^2dx=x^3/3\), så bidraget blir \(2x^3/3\).
3. Integrer andre ledd \(\int xdx=x^2/2\), så bidraget blir \(-3x^2/2\).
4. Samle leddene En stamfunksjon er \(F(x)=\frac23x^3-\frac32x^2\).
5. Legg til konstanten Alle stamfunksjoner skiller seg med en konstant \(C\).
6. Kontroller ved derivasjon \(F\prime(x)=2x^2-3x\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(2*x^2-3*x,x)Resultat: \(\frac23x^3-\frac32x^2\) Tolkning: GeoGebra viser én stamfunksjon; den generelle løsningen inkluderer \(+C\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , diff , simplify , Rational x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 2 * x ** 2 - 3 * x antiderivative = integrate ( integrand , x ) expected = Rational ( 2 , 3 ) * x ** 3 - Rational ( 3 , 2 ) * x ** 2 check = simplify ( diff ( expected , x ) - integrand ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , antiderivative ) print ( "Forventet stamfunksjon =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , diff ( expected , x )) print ( "Kontrollforskjell =" , check ) print ( "Eksempelverdi F(2) =" , expected . subs ( x , 2 )) assert simplify ( antiderivative - expected ) == 0 assert check == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 2*x**2 - 3*x Stamfunksjon fra SymPy = 2*x**3/3 - 3*x**2/2 Forventet stamfunksjon = 2*x**3/3 - 3*x**2/2 Derivert tilbake = 2*x**2 - 3*x Kontrollforskjell = 0 Eksempelverdi F(2) = -2/3

Fasit: \(\displaystyle\int(2x^2-3x)dx=\frac23x^3-\frac32x^2+C\).

Vanlig feil: Å redusere eksponenten ved integrasjon eller å glemme integrasjonskonstanten. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt potensregel, konstantfaktorer og \(+C\). Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Substitusjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int4x\cos(x^2+2)\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Argumentet \(x^2+2\) har derivert \(2x\), som allerede finnes som faktor i integranden. Derfor bruker vi substitusjon.

1. Velg substitusjon Sett \(u=x^2+2\).
2. Finn differensialet \(du=2x\,dx\).
3. Omskriv faktoren \(4x\,dx=2\,du\).
4. Bytt variabel Integral blir \(2\int\cos u\,du\).
5. Integrer cosinus \(2\int\cos u\,du=2\sin u+C\).
6. Sett tilbake \[2\sin(x^2+2)+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(4*x*cos(x^2+2),x)Resultat: \(2\sin(x^2+2)\) Tolkning: CAS bekrefter substitusjonsfaktoren 2 og den sammensatte stamfunksjonen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , cos , sin , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 4 * x * cos ( x ** 2 + 2 ) antiderivative = integrate ( integrand , x ) expected = 2 * sin ( x ** 2 + 2 ) residual = simplify ( diff ( expected , x ) - integrand ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , antiderivative ) print ( "Forventet stamfunksjon =" , expected ) print ( "Derivert av forventet =" , diff ( expected , x )) print ( "Residual =" , residual ) print ( "Numerisk kontroll ved x = 1:" , residual . subs ( x , 1 )) assert simplify ( antiderivative - expected ) == 0 assert residual == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 4*x*cos(x**2 + 2) Stamfunksjon fra SymPy = 2*sin(x**2 + 2) Forventet stamfunksjon = 2*sin(x**2 + 2) Derivert av forventet = 4*x*cos(x**2 + 2) Residual = 0 Numerisk kontroll ved x = 1: 0

Fasit: \(\displaystyle\int4x\cos(x^2+2)dx=2\sin(x^2+2)+C\). …