Matematikk R2 Eksamen høsten 2010 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 — eksamen høst 2010 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

33 deloppgaver løst Del 1 + Del 2 samme rekkefølge som settet Begge alternativer i oppgave 4 CAS + SymPy digitale kontroller Del 1Del 2Oppgave 4 alternativ IOppgave 4 alternativ II

Del 1 – uten hjelpemidler

Alle mellomregninger vises. GeoGebra og Python brukes bare som etterkontroll.

Del 1 · Oppgave 1a1 Derivasjon · produktregelen

Oppgave 1a1

Oppgave:

Deriver funksjonen

\[f(x)=x^2\ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av et polynom og en logaritme. Derfor bruker vi produktregelen, og vi må samtidig huske at \(\ln x\) bare er definert for \(x>0\).

Steg 1 — Del uttrykket i to faktorer

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=\ln x\). Da er \(f(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime.\]

Steg 3 — Deriver den første faktoren

\[u\prime(x)=2x.\]

Steg 4 — Deriver logaritmen

\[v\prime(x)=\frac1x.\]

Steg 5 — Sett inn i produktregelen

\[f\prime(x)=2x\ln x+x^2\cdot\frac1x.\]

Steg 6 — Forenkle

\[f\prime(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1).\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(x^2 ln(x)) → \(2x\ln x+x\)

Tolkning: CAS-resultatet er identisk med den håndregnede deriverte.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , log , diff , simplify x = symbols ( 'x' , positive = True ) f = x ** 2 * log ( x ) f_prime = diff ( f , x ) expected = 2 * x * log ( x ) + x print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Differanse etter forenkling =" , simplify ( f_prime - expected )) 

f(x) = x**2*log(x) f'(x) = 2*x*log(x) + x Forventet uttrykk = 2*x*log(x) + x Differanse etter forenkling = 0

Fasit: \(f\prime(x)=2x\ln x+x\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som \(2x\cdot 1/x\). Produktregelen gir en sum av to ledd, ikke et produkt av de deriverte. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel og at \(x^2/x\) forenkles til \(x\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a2 Derivasjon · trigonometriske funksjoner

Oppgave 1a2

Oppgave:

Deriver funksjonen

\[g(x)=\sin^2x-\cos^2x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer begge kvadratene med kjerneregelen. Deretter samler vi leddene og kan eventuelt bruke dobbeltvinkelidentiteten.

Steg 1 — Deriver \(\sin^2x\)

Med kjerneregelen får vi

\[\frac{d}{dx}(\sin^2x)=2\sin x\cos x.\]

Steg 2 — Deriver \(\cos^2x\)

\[\frac{d}{dx}(\cos^2x)=2\cos x(-\sin x)=-2\sin x\cos x.\]

Steg 3 — Ta hensyn til minustegnet

\[g\prime(x)=2\sin x\cos x-(-2\sin x\cos x).\]

Steg 4 — Samle like ledd

\[g\prime(x)=4\sin x\cos x.\]

Steg 5 — Bruk dobbeltvinkelidentiteten

Siden \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), får vi

\[4\sin x\cos x=2\sin 2x.\]

Steg 6 — Oppgi begge ekvivalente former

\[g\prime(x)=4\sin x\cos x=2\sin 2x.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(sin(x)^2-cos(x)^2) → \(4\sin x\cos x\) 2 TrigSimplify(4 sin(x) cos(x)) → \(2\sin(2x)\)

Tolkning: Begge uttrykkene representerer samme deriverte.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , trigsimp x = symbols ( 'x' , real = True ) g = sin ( x ) ** 2 - cos ( x ) ** 2 g_prime = diff ( g , x ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) før trigonometrisk forenkling =" , g_prime ) print ( "g'(x) etter trigsimp =" , trigsimp ( g_prime )) print ( "Kontroll mot 2*sin(2*x) =" , simplify ( g_prime - 2 * sin ( 2 * x ))) 

g(x) = sin(x)**2 - cos(x)**2 g'(x) før trigonometrisk forenkling = 4*sin(x)*cos(x) g'(x) etter trigsimp = 2*sin(2*x) Kontroll mot 2*sin(2*x) = 0

Fasit: \(g\prime(x)=4\sin x\cos x=2\sin 2x\).

Vanlig feil: Å glemme at det står minus foran \(\cos^2x\). Det gir et dobbelt fortegnsskifte når \(\cos^2x\) deriveres. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kjerneregel og fortegn. Dobbeltvinkelformen er en ryddig avslutning. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b1 Integrasjon · substitusjon

Oppgave 1b1

Oppgave:

Bestem integralet

\[\int\frac{x}{x^2+3}\,dx.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren er \(x^2+3\), og den deriverte \(2x\) finnes nesten i telleren. Substitusjon er derfor den mest direkte metoden.

Steg 1 — Velg substitusjon

\[u=x^2+3.\]

Steg 2 — Deriver substitusjonen

\[du=2x\,dx.\]

Steg 3 — Løs for \(x\,dx\)

\[x\,dx=\frac12du.\]

Steg 4 — Skriv integralet i \(u\)

\[\int\frac{x}{x^2+3}dx=\frac12\int\frac1u\,du.\]

Steg 5 — Integrer

\[\frac12\int\frac1u\,du=\frac12\ln|u|+C.\]

Steg 6 — Sett tilbake

Her er \(x^2+3>0\) for alle reelle \(x\), så absoluttverdien kan sløyfes:

\[\frac12\ln(x^2+3)+C.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Integral(x/(x^2+3),x) → \(\frac12\ln(x^2+3)\)

Tolkning: GeoGebra viser én stamfunksjon; konstanten C må legges til.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = x / ( x ** 2 + 3 ) primitive = integrate ( integrand , x ) control = simplify ( diff ( primitive , x ) - integrand ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , primitive ) print ( "Derivert stamfunksjon =" , diff ( primitive , x )) print ( "Derivert minus integrand =" , control ) 

Integrand = x/(x**2 + 3) Stamfunksjon fra SymPy = log(x**2 + 3)/2 Derivert stamfunksjon = x/(x**2 + 3) Derivert minus integrand = 0

Fasit: \(\displaystyle \int\frac{x}{x^2+3}dx=\frac12\ln(x^2+3)+C\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(1/2\) som kommer av at den deriverte av \(x^2+3\) er \(2x\). Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig substitusjon og integrasjonskonstant. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b2 Bestemt integral · fortegnet areal

Oppgave 1b2

Oppgave:

Bestem integralet

\[\int_0^3 f(x)\,dx\]

der figuren viser grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi leser integralet som fortegnet areal. Området over førsteaksen bidrar positivt, mens området under førsteaksen bidrar negativt.

Steg 1 — Del intervallet ved nullpunktet

Grafen ligger over aksen fra \(x=0\) til \(x=2\), og under aksen fra \(x=2\) til \(x=3\).

Steg 2 — Finn det positive arealet

Fra 0 til 2 får vi en trekant med grunnlinje 2 og høyde 2:

\[A_+=\frac12\cdot2\cdot2=2.\]

Steg 3 — Finn det negative arealets størrelse

Fra 2 til 3 får vi en trekant med grunnlinje 1 og høyde 1:

\[A_-=\frac12\cdot1\cdot1=\frac12.\]

Steg 4 — Bruk fortegn

Området under aksen skal trekkes fra:

\[\int_0^3f(x)dx=A_+-A_-.\]

Steg 5 — Regn ut

\[2-\frac12=\frac32.\]

Steg 6 — Tolk svaret

Det geometriske totalarealet er \(2+1/2=5/2\), men integralet er det fortegnede arealet \(3/2\).

Grafen viser hvorfor trekanten under x-aksen skal trekkes fra.

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Polygon((0,0),(1,2),(2,0)) → \(A_+=2\) 2 Polygon((2,0),(3,-1),(3,0)) → \(A_-=\frac12\) 3 2-1/2 → \(\frac32\)

Tolkning: Kontrollen skiller mellom geometrisk areal og fortegnet integral.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import Rational positive_triangle = Rational ( 1 , 2 ) * 2 * 2 negative_triangle = Rational ( 1 , 2 ) * 1 * 1 signed_integral = positive_triangle - negative_triangle geometric_area = positive_triangle + negative_triangle print ( "Positivt trekantareal =" , positive_triangle ) print ( "Størrelsen av negativt trekantareal =" , negative_triangle ) print ( "Fortegnet integral =" , signed_integral ) print ( "Samlet geometrisk areal =" , geometric_area ) 

Positivt trekantareal = 2 Størrelsen av negativt trekantareal = 1/2 Fortegnet integral = 3/2 Samlet geometrisk areal = 5/2

Fasit: \(\displaystyle \int_0^3f(x)dx=\frac32\).

Vanlig feil: Å legge sammen begge trekantarealene. Et bestemt integral teller areal under førsteaksen negativt. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt avlesning av høyder og grunnlinjer, samt fortegn. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Differensiallikning · separasjon

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs differensiallikningen

\[y\prime-2y^2=0\quad\text{når}\quad y(0)=\frac12.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Likningen kan skrives \(y\prime=2y^2\), og variablene kan separeres. Etter integrasjon bruker vi initialbetingelsen til å bestemme konstanten.

Steg 1 — Isoler den deriverte

\[\frac{dy}{dx}=2y^2.\]

Steg 2 — Separer variablene

\[\frac{1}{y^2}\,dy=2\,dx.\]

Steg 3 — Integrer begge sider

\[\int y^{-2}dy=\int2dx.\]

Steg 4 — Utfør integrasjonen

\[-\frac1y=2x+C.\]

Steg 5 — Bruk initialbetingelsen

Sett inn \(x=0\) og \(y=1/2\):

\[-\frac{1}{1/2}=C\quad\Rightarrow\quad C=-2.\]

Steg 6 — Løs for \(y\)

\[-\frac1y=2x-2\quad\Rightarrow\quad \frac1y=2-2x.\]

Steg 7 — Skriv løsningen

\[y(x)=\frac{1}{2-2x}=\frac{1}{2(1-x)}.\]

Steg 8 — Oppgi intervallet rundt startpunktet

Løsningen har loddrett asymptote ved \(x=1\). Det maksimale intervallet som inneholder \(x=0\), er \(x<1\). …