Matematikk R2 Eksamen våren 2015 – løsningsforslag

Matematikk R2 - eksamen vår 2015 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=-3\cos x\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke den konstante faktorregelen og den deriverte av cosinus.

Steg 1 - Identifiser konstanten

Faktoren \(-3\) beholdes når funksjonen deriveres.

Steg 2 - Bruk standardregelen

\[\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\]

Steg 3 - Sett inn konstanten

\[f\prime(x)=-3\cdot(-\sin x)\]

Steg 4 - Forenkle fortegnet

\[f\prime(x)=3\sin x\]

Steg 5 - Kontroller et punkt

Ved \(x=0\) er den deriverte 0, som passer med at cosinusgrafen har horisontal tangent der.

Steg 6 - Skriv endelig svar

Svaret gis som en funksjon av \(x\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Derivative(-3 cos(x),x)Resultat: \(3\sin x\)

Tolkning: CAS bekrefter fortegn og konstant faktor.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , cos , sin , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = - 3 * cos ( x ) result = diff ( f , x ) expected = 3 * sin ( x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , result ) print ( "Kontroll =" , simplify ( result - expected )) assert simplify ( result - expected ) == 0 

 Utskrift f(x) = -3*cos(x) f'(x) = 3*sin(x) Kontroll = 0

Fasit: \(f\prime(x)=3\sin x\).

Vanlig feil: Å glemme at den deriverte av cosinus har minusfortegn. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt standardregel og riktig håndtering av de to minusfortegnene. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=\sin^2 x\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi tolker \(\sin^2x\) som \((\sin x)^2\) og bruker kjerneregelen.

Steg 1 - Skriv funksjonen med tydelig ytre lag

\[g(x)=(\sin x)^2\]

Steg 2 - Deriver kvadratet

Den ytre funksjonen \(u^2\) har derivert \(2u\).

Steg 3 - Deriver den indre funksjonen

\[\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\]

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

\[g\prime(x)=2\sin x\cos x\]

Steg 5 - Bruk dobbeltvinkel om ønskelig

\[2\sin x\cos x=\sin(2x)\]

Steg 6 - Kontroller strukturen

Både den ytre potensen og den indre sinusfunksjonen må deriveres.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Derivative(sin(x)^2,x)Resultat: \(2\sin x\cos x\) 2 TrigSimplify(...)Resultat: \(\sin(2x)\)

Tolkning: Begge uttrykkene er ekvivalente.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , trigsimp x = symbols ( 'x' , real = True ) g = sin ( x ) ** 2 result = diff ( g , x ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , result ) print ( "Trigonometrisk forenkling =" , trigsimp ( result , method = 'fu' )) print ( "Kontroll mot sin(2x) =" , simplify ( result - sin ( 2 * x ))) assert simplify ( result - sin ( 2 * x )) == 0 

 Utskrift g(x) = sin(x)**2 g'(x) = 2*sin(x)*cos(x) Trigonometrisk forenkling = sin(2*x) Kontroll mot sin(2x) = 0

Fasit: \(g\prime(x)=2\sin x\cos x=\sin(2x)\).

Vanlig feil: Å skrive \(2\sin x\) og glemme den indre deriverte \(\cos x\). Sensorpunkt: Sensor ser etter en eksplisitt anvendelse av kjerneregelen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \(h(x)=x^3e^{-x}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt. Vi bruker produktregelen, og kjerneregelen på \(e^{-x}\).

Steg 1 - Velg faktorene

Sett \(u=x^3\) og \(v=e^{-x}\).

Steg 2 - Deriver første faktor

\[u\prime=3x^2\]

Steg 3 - Deriver andre faktor

\[v\prime=-e^{-x}\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[h\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 5 - Sett inn

\[h\prime(x)=3x^2e^{-x}-x^3e^{-x}\]

Steg 6 - Faktoriser

\[h\prime(x)=x^2e^{-x}(3-x)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Derivative(x^3 exp(-x),x)Resultat: \(3x^2e^{-x}-x^3e^{-x}\) 2 Factor(...)Resultat: \(x^2e^{-x}(3-x)\)

Tolkning: CAS bekrefter produktregelen og faktoriseringen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , exp , diff , factor , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) h = x ** 3 * exp ( - x ) result = diff ( h , x ) expected = x ** 2 * exp ( - x ) * ( 3 - x ) print ( "h(x) =" , h ) print ( "h'(x) =" , result ) print ( "Faktorisert =" , factor ( result )) print ( "Kontroll =" , simplify ( result - expected )) assert simplify ( result - expected ) == 0 

 Utskrift h(x) = x**3*exp(-x) h'(x) = -x**3*exp(-x) + 3*x**2*exp(-x) Faktorisert = -x**2*(x - 3)*exp(-x) Kontroll = 0

Fasit: \(h\prime(x)=x^2e^{-x}(3-x)\).

Vanlig feil: Å glemme minusfortegnet når \(e^{-x}\) deriveres. Sensorpunkt: Sensor ser etter både produktregelen og kjerneregelen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Bestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int_1^2(x^2+2x-3)\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner en antiderivert ledd for ledd og bruker analysens fundamentalteorem.

Steg 1 - Integrer hvert ledd

\[\int(x^2+2x-3)dx=\frac{x^3}{3}+x^2-3x+C\]

Steg 2 - Definer antideriverten

\[F(x)=\frac{x^3}{3}+x^2-3x\]

Steg 3 - Bruk grensene

\[\int_1^2\cdots dx=F(2)-F(1)\]

Steg 4 - Beregn øvre grense

\[F(2)=\frac83+4-6=\frac23\]

Steg 5 - Beregn nedre grense

\[F(1)=\frac13+1-3=-\frac53\]

Steg 6 - Trekk fra

\[\frac23-\left(-\frac53\right)=\frac73\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Integral(x^2+2x-3,x,1,2)Resultat: \(\frac73\)

Tolkning: CAS bekrefter det eksakte bestemte integralet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , integrate , Rational , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) expr = x ** 2 + 2 * x - 3 F = integrate ( expr , x ) value = integrate ( expr , ( x , 1 , 2 )) print ( "Integrand =" , expr ) print ( "Antiderivert =" , F ) print ( "F(2) =" , F . subs ( x , 2 )) print ( "F(1) =" , F . subs ( x , 1 )) print ( "Bestemt integral =" , value ) assert simplify ( value - Rational ( 7 , 3 )) == 0 

 Utskrift Integrand = x**2 + 2*x - 3 Antiderivert = x**3/3 + x**2 - 3*x F(2) = 2/3 F(1) = -5/3 Bestemt integral = 7/3

Fasit: \(\displaystyle\frac73\).

Vanlig feil: Å legge sammen \(F(2)\) og \(F(1)\) i stedet for å trekke nedre verdi fra øvre. Sensorpunkt: Sensor ser etter antiderivert, korrekt innsetting av grenser og eksakt svar. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Delbrøkoppspalting

Oppgave 2b

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int\frac{3x}{x^2-x-2}\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren faktoriseres i lineære faktorer, så delbrøkoppspalting gir integrerbare logaritmeledd.

Steg 1 - Faktoriser nevneren

\[x^2-x-2=(x-2)(x+1)\]

Steg 2 - Sett opp delbrøker

\[\frac{3x}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}\]

Steg 3 - Sammenlign tellere

\[3x=A(x+1)+B(x-2)\]

Steg 4 - Finn konstantene

Med \(x=2\) får vi \(A=2\). Med \(x=-1\) får vi \(B=1\).

Steg 5 - Integrer leddvis

\[\int\left(\frac2{x-2}+\frac1{x+1}\right)dx\]

Steg 6 - Skriv logaritmene

\[2\ln|x-2|+\ln|x+1|+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 PartialFractions(3x/(x^2-x-2))Resultat: \(\frac2{x-2}+\frac1{x+1}\) 2 Integral(...)Resultat: \(2\ln|x-2|+\ln|x+1|\)

Tolkning: CAS bekrefter oppspaltingen og antideriverten.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , apart , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) expr = 3 * x / ( x ** 2 - x - 2 ) partial = apart ( expr , x ) F = integrate ( expr , x ) print ( "Integrand =" , expr ) print ( "Delbrokoppspalting =" , partial ) print ( "Antiderivert =" , F ) print ( "Derivert tilbake =" , simplify ( diff ( F , x ))) print ( "Kontroll =" , simplify ( diff ( F , x ) - expr )) assert simplify ( diff ( F , x ) - expr ) == 0 

 Utskrift Integrand = 3*x/(x**2 - x - 2) Delbrokoppspalting = 1/(x + 1) + 2/(x - 2) Antiderivert = 2*log(x - 2) + log(x + 1) Derivert tilbake = 3*x/((x - 2)*(x + 1)) Kontroll = 0

Fasit: \(2\ln|x-2|+\ln|x+1|+C\).

Vanlig feil: Å glemme absoluttverdiene eller å bruke feil koeffisienter i delbrøkene. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt faktorisering, oppspalting og integrasjon. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2c Delvis integrasjon

Oppgave 2c

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int x\ln x\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet av et polynom og en logaritme peker mot delvis integrasjon. Vi velger logaritmen som \(u\). …