Matematikk R2 Eksamen høsten 2009 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 — eksamen høst 2009 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

29 deloppgaver løst Del 1 + Del 2 samme rekkefølge som settet Begge alternativer i oppgave 4 CAS + SymPy digitale kontroller Del 1Del 2Oppgave 4 alternativ IOppgave 4 alternativ IIOppgave 5

Del 1 – uten hjelpemidler

Alle mellomregninger vises. GeoGebra og Python brukes bare som etterkontroll.

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon · produktregelen

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=x^2\sin x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av funksjonene \(x^2\) og \(\sin x\). Produktregelen er derfor hovedmetoden.

Steg 1 — Identifiser faktorene

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=\sin x\). Da er \(f(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime.\]

Steg 3 — Deriver første faktor

\[u\prime(x)=2x.\]

Steg 4 — Deriver andre faktor

\[v\prime(x)=\cos x.\]

Steg 5 — Sett inn i produktregelen

\[f\prime(x)=2x\sin x+x^2\cos x.\]

Steg 6 — Kontroller at begge leddene er med

Det første leddet kommer av at \(x^2\) deriveres, og det andre av at \(\sin x\) deriveres. Dermed er produktregelen brukt fullstendig.

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(x^2 sin(x)) → \(2x\sin x+x^2\cos x\)

Tolkning: CAS-resultatet har de samme to leddene som produktregelen gir.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = x ** 2 * sin ( x ) f_prime = diff ( f , x ) expected = 2 * x * sin ( x ) + x ** 2 * cos ( x ) control = simplify ( f_prime - expected ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Differanse etter forenkling =" , control ) 

f(x) = x**2*sin(x) f'(x) = x**2*cos(x) + 2*x*sin(x) Forventet uttrykk = x**2*cos(x) + 2*x*sin(x) Differanse etter forenkling = 0

Fasit: \(f\prime(x)=2x\sin x+x^2\cos x\).

Vanlig feil: Å derivere begge faktorene samtidig og skrive \(2x\cos x\). Produktregelen krever to ledd. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel og riktig derivert av både \(x^2\) og \(\sin x\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Trigonometri · radianmål

Oppgave 1b

Oppgave:

Forklar hva det betyr at en vinkel er målt i radianer. Hvilken sammenheng er det mellom radianer og grader?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare radian som et geometrisk vinkelmål og gi de eksakte omregningsformlene mellom radianer og grader.

Steg 1 — Ta utgangspunkt i en sirkel

La en sirkel ha radius \(r\), og la en sentralvinkel spenne over en bue med lengde \(s\).

Steg 2 — Definer radianmålet

Vinkelen målt i radianer er forholdet mellom buelengden og radiusen:

\[\theta=\frac{s}{r}.\]

Steg 3 — Forklar én radian

Vinkelen er \(1\) radian når buelengden er lik radiusen, altså når \(s=r\).

Steg 4 — Bruk hele sirkelens omkrets

En hel sirkel har buelengde \(2\pi r\). Derfor er vinkelmålet

\[\theta=\frac{2\pi r}{r}=2\pi\text{ rad}.\]

Steg 5 — Koble til grader

En hel sirkel er samtidig \(360^{\circ}\). Dermed

\[2\pi\text{ rad}=360^{\circ},\qquad \pi\text{ rad}=180^{\circ}.\]

Steg 6 — Skriv omregningsformlene

\[\alpha^{\circ}=\alpha\frac{\pi}{180}\text{ rad},\qquad \theta\text{ rad}=\theta\frac{180}{\pi}^{\circ}.\]

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import pi , simplify one_radian_in_degrees = 180 / pi sixty_degrees_in_radians = 60 * pi / 180 full_turn_radians = 360 * pi / 180 print ( "1 radian i grader =" , one_radian_in_degrees ) print ( "Numerisk verdi =" , one_radian_in_degrees . evalf ( 12 )) print ( "60 grader i radianer =" , simplify ( sixty_degrees_in_radians )) print ( "360 grader i radianer =" , simplify ( full_turn_radians )) 

1 radian i grader = 180/pi Numerisk verdi = 57.2957795131 60 grader i radianer = pi/3 360 grader i radianer = 2*pi

Fasit: Radianmålet er \(\theta=s/r\). Sammenhengen er \(\pi\text{ rad}=180^{\circ}\), og dermed \(1\text{ rad}=180/\pi^{\circ}\).

Vanlig feil: Å si at radian er en lengdeenhet. Radian er dimensjonsløst fordi det er forholdet mellom to lengder. Sensorpunkt: For full uttelling må definisjonen \(s/r\) og sammenhengen \(2\pi ext{ rad}=360^{\circ}\) forklares, ikke bare oppgis. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Differensiallikning · lineær 1. orden

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs differensiallikningen

\[y\prime+2y=3x\qquad\text{når}\qquad y(0)=3.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Likningen er lineær av første orden. Vi finner først den homogene løsningen, deretter en partikulær løsning og bruker initialbetingelsen til å bestemme konstanten.

Steg 1 — Løs den homogene likningen

Den homogene likningen er \(y\prime+2y=0\). Den har løsning

\[y_h=Ce^{-2x}.\]

Steg 2 — Velg form for partikulær løsning

Høyresiden er polynomet \(3x\). Vi prøver derfor \(y_p=ax+b\).

Steg 3 — Sett prøvefunksjonen inn

Da er \(y_p\prime=a\), og

\[a+2(ax+b)=3x.\]

Steg 4 — Sammenlikn koeffisienter

Koeffisienten foran \(x\) gir \(2a=3\), altså \(a=3/2\). Konstantleddet gir \(a+2b=0\), så

\[b=-\frac{a}{2}=-\frac34.\]

Steg 5 — Skriv generell løsning

\[y(x)=Ce^{-2x}+\frac32x-\frac34.\]

Steg 6 — Bruk initialbetingelsen

\[3=y(0)=C-\frac34\quad\Longrightarrow\quad C=\frac{15}{4}.\]

Steg 7 — Sett inn konstanten

\[y(x)=\frac{15}{4}e^{-2x}+\frac32x-\frac34.\]

Steg 8 — Kontroller i likningen

Derivasjon og innsetting gir \(y\prime+2y=3x\), og \(y(0)=3\). Begge kravene er oppfylt.

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 SolveODE(y' = 3x - 2y, (0, 3)) → \(y=\frac{15}{4}e^{-2x}+\frac32x-\frac34\) 2 Substitute(y, x, 0) → \(3\)

Tolkning: Løsningen oppfyller både differensiallikningen og startverdien.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , Function , Eq , dsolve , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) y = Function ( 'y' ) ode = Eq ( diff ( y ( x ), x ) + 2 * y ( x ), 3 * x ) solution = dsolve ( ode , ics = { y ( 0 ): 3 }) y_expression = solution . rhs residual = simplify ( diff ( y_expression , x ) + 2 * y_expression - 3 * x ) initial_value = simplify ( y_expression . subs ( x , 0 )) print ( "Differensiallikning:" , ode ) print ( "Løsning:" , solution ) print ( "Restledd i likningen:" , residual ) print ( "Kontroll av y(0):" , initial_value ) 

Differensiallikning: Eq(2*y(x) + Derivative(y(x), x), 3*x) Løsning: Eq(y(x), 3*x/2 - 3/4 + 15*exp(-2*x)/4) Restledd i likningen: 0 Kontroll av y(0): 3

Fasit: \(\displaystyle y(x)=\frac{15}{4}e^{-2x}+\frac32x-\frac34\).

Vanlig feil: Å glemme konstantleddet i prøvefunksjonen \(ax+b\), eller bruke initialbetingelsen før den generelle løsningen er ferdig. Sensorpunkt: Sensor ser etter homogen løsning, begrunnet valg av partikulær løsning, koeffisientsammenlikning og korrekt bruk av \(y(0)=3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d1 Polynomer · faktorisering

Oppgave 1d1

Oppgave:

Vi har polynomfunksjonen

\[f(x)=x^3-x^2-4x+4.\]

Vis at \(f(x)\) er delelig med \((x-1)\), og faktoriser \(f(x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker faktorsetningen og faktoriserer deretter ved gruppering.

Steg 1 — Bruk faktorsetningen

Et polynom er delelig med \((x-1)\) dersom \(f(1)=0\).

Steg 2 — Regn ut funksjonsverdien

\[f(1)=1^3-1^2-4\cdot1+4=1-1-4+4=0.\]

Steg 3 — Konkluder om delelighet

Siden \(f(1)=0\), er \((x-1)\) en faktor i \(f(x)\).

Steg 4 — Grupper leddene

\[x^3-x^2-4x+4=x^2(x-1)-4(x-1).\]

Steg 5 — Trekk ut felles faktor

\[f(x)=(x-1)(x^2-4).\]

Steg 6 — Bruk konjugatsetningen

\[x^2-4=(x-2)(x+2).\]

Steg 7 — Skriv full faktorisering

\[f(x)=(x-1)(x-2)(x+2).\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 f(x) := x^3 - x^2 - 4x + 4 → \(x^3-x^2-4x+4\) 2 f(1) → \(0\) 3 Factor(f) → \((x-1)(x-2)(x+2)\)

Tolkning: Nullverdien ved x = 1 bekrefter faktoren x - 1, og CAS faktoriserer resten.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 Kjørt kontroll

 from sympy import symbols , factor , expand x = symbols ( 'x' ) f = x ** 3 - x ** 2 - 4 * x + 4 factorized = factor ( f ) expanded_control = expand ( factorized ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f(1) =" , f . subs ( x , 1 )) print ( "Faktorisert =" , factorized ) print ( "Utvidet kontroll =" , expanded_control ) print ( "Stemmer med originalen?" , expanded_control == f ) 

f(x) = x**3 - x**2 - 4*x + 4 f(1) = 0 Faktorisert = (x - 2)*(x - 1)*(x + 2) Utvidet kontroll = x**3 - x**2 - 4*x + 4 Stemmer med originalen? True

Fasit: \(f(x)=(x-1)(x-2)(x+2)\).

Vanlig feil: Å stoppe ved \((x-1)(x^2-4)\) når oppgaven ber om faktorisering; andregradsuttrykket kan faktoriseres videre. Sensorpunkt: Sensor ser etter enten faktorsetningen eller polynomdivisjon, og deretter full faktorisering i tre lineære faktorer. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d2 Rasjonale funksjoner · delbrøker

Oppgave 1d2

Oppgave:

Vis at

\[\frac{x^2-2x+4}{x^3-x^2-4x+4}\]

kan skrives …