Fullstendig løsningsforslag til Matematikk S2 Eksamen våren 2026. Steg-for-steg med «Vis løsning» og ifingo-læreren.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-10-29
ifingo - Matematikk S2 - LK20
Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Del 1 og Del 2 er skilt tydelig, alle deloppgaver er løst trinnvis, og digitale kontroller er lagt inn med GeoGebra CAS og Python der det er nyttig.
Bestem integralet
\[ \int_{0}^{2}\left(e^{2x}+x\right)\,dx \] Vis løsningHva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.
Bruk linearitet:
\[ \int_{0}^{2}\left(e^{2x}+x\right)\,dx=\int_{0}^{2}e^{2x}\,dx+\int_{0}^{2}x\,dx. \]Siden den deriverte av \(2x\) er \(2\), får vi
\[ \int e^{2x}\,dx=\dfrac{1}{2}e^{2x}. \]For \(x\) bruker vi potensregelen:
\[ \int x\,dx=\dfrac{x^2}{2}. \]Dermed blir
\[ \left[\dfrac{1}{2}e^{2x}+\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}. \]Vi får
\[ \left(\dfrac{1}{2}e^4+2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{e^4+3}{2}. \]Integralverdien er arealet under grafen til \(e^{2x}+x\) fra \(x=0\) til \(x=2\).
Vanlig feil: Å glemme faktoren \(\dfrac{1}{2}\) når man integrerer \(e^{2x}\).from sympy import symbols, exp, integrate x = symbols("x") print(integrate(exp(2*x)+x, (x, 0, 2)))Bestem integralet
\[ \int \dfrac{\left(\ln x\right)^2}{x}\,dx. \] Vis løsningHva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.
Uttrykket inneholder \(\ln x\), og den deriverte er \(\dfrac{1}{x}\). Det passer med substitusjon.
La
\[ u=\ln x. \]Da er
\[ du=\dfrac{1}{x}\,dx. \]Da blir integralet
\[ \int u^2\,du. \]Potensregelen gir
\[ \int u^2\,du=\dfrac{u^3}{3}+C. \]Dermed får vi
\[ \dfrac{\left(\ln x\right)^3}{3}+C. \]Faktoren \(\dfrac{1}{x}\) viser at integralet er laget for substitusjonen \(u=\ln x\).
Vanlig feil: Å integrere \(\left(\ln x\right)^2\) som om \(\ln x\) var en vanlig potens av \(x\).from sympy import symbols, log, integrate x = symbols("x", positive=True) print(integrate(log(x)**2/x, x))Du får vite at funksjonen \(f\) er definert for \(x>0\), at \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{x^2}\), og at grafen til \(f\) går gjennom punktet \((2,2)\). Bestem \(f(x)\).
Vis løsningHva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.
Vi skriver
\[ f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{x^2}=2x^{-2}. \]En antiderivert er
\[ f(x)=\int 2x^{-2}\,dx=-2x^{-1}+C. \]Det gir
\[ f(x)=-\dfrac{2}{x}+C. \]Vi setter inn \(x=2\) og \(f(2)=2\):
\[ 2=-\dfrac{2}{2}+C=-1+C. \]Likningen gir
\[ C=3. \]Punktet på grafen bestemmer integrasjonskonstanten entydig.
Vanlig feil: Å glemme konstanten \(C\) etter integrasjon.from sympy import symbols, solve x, C = symbols("x C") print(solve(-2/2 + C - 2, C))Funksjonene \(g\) og \(h\) er gitt ved \(g(x)=x\) og \(h(x)=-\dfrac{3}{x}+4\) for \(x>0\). Finn arealet av området som er avgrenset av grafene til \(g\) og \(h\).
Vis løsningHva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.
Vi løser
\[ x=-\dfrac{3}{x}+4. \]Siden \(x>0\), kan vi multiplisere med \(x\).
Vi får
\[ x^2= -3+4x \quad\Rightarrow\quad x^2-4x+3=0. \]Dermed er \(x=1\) eller \(x=3\).
For \(x=2\) er \(h(2)=2{,}5\) og \(g(2)=2\). Derfor ligger \(h\) øverst på intervallet.
Arealet er
\[ A=\int_{1}^{3}\left(h(x)-g(x)\right)\,dx=\int_{1}^{3}\left(-\dfrac{3}{x}+4-x\right)\,dx. \]En antiderivert er
\[ -3\ln x+4x-\dfrac{x^2}{2}. \]Da får vi
\[ A=\left[-3\ln x+4x-\dfrac{x^2}{2}\right]_{1}^{3}=4-3\ln 3\approx 0{,}704. \]Arealet er positivt, og den numeriske verdien er rimelig fordi området er smalt.
Vanlig feil: Å integrere \(g-h\) i stedet for \(h-g\), eller å glemme at \(x>0\).from sympy import symbols, integrate, log, solve x = symbols("x", positive=True) print(solve(x + 3/x - 4, x)) print(integrate(-3/x + 4 - x, (x, 1, 3)))Selma bygger et tårn av kvadratiske treplater. Den første platen har sidelengde \(5\) m. Hver ny sidelengde er \(0{,}1\) m kortere enn platen under. Sett opp en aritmetisk rekke for summen av sidelengdene, og finn maksimalt antall plater.
Vis løsningHva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.
Sidelengdene er
\[ 5,\ 4{,}9,\ 4{,}8,\ldots \]Dette er en aritmetisk følge med \(a_1=5\) og \(d=-0{,}1\).
For en aritmetisk følge er
\[ a_n=a_1+(n-1)d=5-0{,}1(n-1). \]Summen av sidelengdene kan skrives
\[ S_n=5+4{,}9+4{,}8+\cdots+\left(5-0{,}1(n-1)\right). \]Vi må ha
\[ 5-0{,}1(n-1)>0. \]Ulikheten gir
\[ 5>0{,}1(n-1) \quad\Rightarrow\quad 50>n-1 \quad\Rightarrow\quad n<51. \]Største mulige heltall er derfor \(n=50\). Da er siste sidelengde \(0{,}1\) m.
Tårnet kan ikke ha en plate med sidelengde \(0\) m, derfor stopper vi ved 50 plater.
Vanlig feil: Å ta med en 51. plate med sidelengde \(0\) m.from sympy import symbols, solve_univariate_inequality n = symbols("n", real=True) print(solve_univariate_inequality(5 - 0.1*(n-1) > 0, n))Vilfred starter med en kvadratisk treplate med areal \(19\,\text{m}^2\). Hver ny sidelengde er \(10\,\%\) kortere enn sidelengden under. Hvor stort kan det samlede arealet av platene bli?
Vis løsningHva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.
Når sidelengden blir \(10\,\%\) kortere, blir ny sidelengde \(0{,}9\) ganger den forrige.
Arealet skaleres med kvadratet av sidelengdefaktoren:
\[ 0{,}9^2=0{,}81. \]Arealene danner den geometriske rekken
\[ 19+19\cdot 0{,}81+19\cdot 0{,}81^2+\cdots. \]Siden \(|0{,}81|<1\), har den uendelige geometriske rekken en endelig sum.
For en uendelig geometrisk rekke er
\[ S=\dfrac{a_1}{1-k}. \]Her er \(a_1=19\) og \(k=0{,}81\). …