Matematikk S2 Eksamen våren 2019 – løsningsforslag

ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen Vår 2019 - løsningsforslag

Fullstendig bokmålsversjon med transkriberte oppgaver, trinnvise løsninger, vanlige feil, tolkning, GeoGebra CAS og Python-kontroll. Python-koden er skrevet som realistiske, kjørbare kontrollscript med tydelig utskrift.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=5x^4-10+e^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver ledd for ledd

\[\dfrac{d}{dx}\left(5x^4\right)=20x^3\]

Konstantfaktoren beholdes, og vi bruker potensregelen.

Steg 2 - Deriver konstantleddet

\[\dfrac{d}{dx}(-10)=0\]

Et konstantledd har ingen vekst og får derfor derivert lik null.

Steg 3 - Deriver eksponentialleddet

\[\dfrac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x\]

Funksjonen \(e^x\) er sin egen deriverte.

Steg 4 - Sett sammen

\[f'(x)=20x^3+0+e^x\]

Steg 5 - Forenkle

\[f'(x)=20x^3+e^x\]

Tolkning

Den deriverte gir stigningstallet til grafen for hvert punkt \(x\).

Vanlig feil: Å derivere \(e^x\) som om det var et polynom.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(5*x^4 - 10 + exp(x)) -> \(20x^3+e^x\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') f = 5*x**4 - 10 + exp(x) f_derivert = diff(f, x) print("Funksjon f(x):", f) print("Derivert f'(x):", f_derivert) print("Forenklet:", simplify(f_derivert))

Fasit: \(f'(x)=20x^3+e^x\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Derivasjon - produktregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=2x\cdot \ln x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se produktet

\[g(x)=2\cdot x\cdot \ln x\]

Konstanten 2 kan stå utenfor derivasjonen.

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[(x\ln x)'=1\cdot \ln x+x\cdot \dfrac{1}{x}\]

Steg 3 - Forenkle leddet

\[1\cdot \ln x+x\cdot \dfrac{1}{x}=\ln x+1\]

Steg 4 - Multipliser med 2

\[g'(x)=2\left(\ln x+1\right)\]

Steg 5 - Skriv eventuelt ut parentesen

\[g'(x)=2\ln x+2\]

Tolkning

Siden \(\ln x\) bare er definert for \(x>0\), gjelder den deriverte i samme definisjonsmengde.

Vanlig feil: Å derivere \(x\ln x\) som \(1\cdot \dfrac{1}{x}\) uten produktregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(2*x*ln(x)) -> \(2\ln x+2\)

Python

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x', positive=True) g = 2*x*log(x) g_derivert = diff(g, x) print("Funksjon g(x):", g) print("Derivert g'(x):", g_derivert) print("Forenklet:", simplify(g_derivert))

Fasit: \(g'(x)=2\ln x+2\) for \(x>0\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Derivasjon - kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=\dfrac{8}{1+e^{-2x}}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv som potens

\[h(x)=8\left(1+e^{-2x}\right)^{-1}\]

Steg 2 - Bruk kjerneregel

\[h'(x)=8\cdot (-1)\left(1+e^{-2x}\right)^{-2}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)'\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[\left(1+e^{-2x}\right)'=-2e^{-2x}\]

Steg 4 - Sett inn

\[h'(x)=8\cdot (-1)\left(1+e^{-2x}\right)^{-2}\cdot (-2e^{-2x})\]

Steg 5 - Forenkle

\[h'(x)=\dfrac{16e^{-2x}}{\left(1+e^{-2x}\right)^2}\]

Tolkning

Den deriverte er positiv for alle \(x\), så funksjonen er voksende.

Vanlig feil: Å miste minusfortegnet fra den indre derivasjonen av \(e^{-2x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(8/(1+exp(-2*x))) -> \(\dfrac{16e^{-2x}}{\left(1+e^{-2x}\right)^2}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') h = 8/(1 + exp(-2*x)) h_derivert = diff(h, x) print("Funksjon h(x):", h) print("Derivert h'(x):", h_derivert) print("Forenklet:", simplify(h_derivert))

Fasit: \(h'(x)=\dfrac{16e^{-2x}}{\left(1+e^{-2x}\right)^2}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Polynom og faktor

Oppgave 2a

Oppgave:

Et polynom \(P\) er gitt ved \(P(x)=x^3-6x^2+9x-4\). Begrunn at \(P(x)\) er delelig med \((x-1)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Et polynom er delelig med \((x-a)\) hvis og bare hvis \(P(a)=0\).

Steg 2 - Sett inn roten

\[P(1)=1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1-4\]

Steg 3 - Regn ut

\[P(1)=1-6+9-4=0\]

Steg 4 - Konkluder

Siden resten er 0 ved divisjon med \((x-1)\), er \((x-1)\) en faktor.

Tolkning

Grafen til \(P\) har et nullpunkt ved \(x=1\).

Vanlig feil: Å påstå delelighet uten å vise at funksjonsverdien blir 0.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 P(x):=x^3-6*x^2+9*x-4 -> 2 P(1) -> \(0\)

Python

from sympy import symbols x = symbols('x') P = x**3 - 6*x**2 + 9*x - 4 verdi = P.subs(x, 1) print("P(x) =", P) print("P(1) =", verdi) print("Delelig med (x - 1):", verdi == 0)

Fasit: \(P(1)=0\), altså er \((x-1)\) en faktor. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Faktorisering

Oppgave 2b

Oppgave:

Faktoriser \(P(x)=x^3-6x^2+9x-4\) i førstegradsfaktorer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk kjent faktor

Fra del a vet vi at \((x-1)\) er en faktor.

Steg 2 - Del polynomet

\[x^3-6x^2+9x-4=(x-1)(x^2-5x+4)\]

Steg 3 - Faktoriser andregradsfaktoren

\[x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\]

Steg 4 - Sett sammen

\[P(x)=(x-1)^2(x-4)\]

Steg 5 - Kontroll ved utvidelse

\[(x-1)^2(x-4)=x^3-6x^2+9x-4\]

Tolkning

Nullpunktene er \(x=1\) med dobbeltrot og \(x=4\).

Vanlig feil: Å glemme at \(x=1\) forekommer to ganger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Faktoriser(x^3-6*x^2+9*x-4) -> \((x-1)^2(x-4)\)

Python

from sympy import symbols, factor, expand x = symbols('x') P = x**3 - 6*x**2 + 9*x - 4 faktorisert = factor(P) kontroll = expand(faktorisert) print("P(x) =", P) print("Faktorisert form:", faktorisert) print("Utvidet kontroll:", kontroll) print("Kontrollen stemmer:", kontroll == P)

Fasit: \(P(x)=(x-1)^2(x-4)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Polynom og likningssystem

Oppgave 3a

Oppgave:

Et polynom \(Q\) er gitt ved \(Q(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx-12\). Du får oppgitt at \((x+1)\), \((x-1)\) og \((x-2)\) er faktorer i \(Q(x)\). Vis at dette gir likningssystemet \(a-b+c=-11\), \(a+b+c=11\) og \(8a+4b+2c=-4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Faktorene betyr at \(Q(-1)=0\), \(Q(1)=0\) og \(Q(2)=0\).

Steg 2 - Sett inn x=-1

\[Q(-1)=1-a+b-c-12=0\] \[a-b+c=-11\]

Steg 3 - Sett inn x=1

\[Q(1)=1+a+b+c-12=0\] \[a+b+c=11\]

Steg 4 - Sett inn x=2

\[Q(2)=16+8a+4b+2c-12=0\] \[8a+4b+2c=-4\]

Tolkning

Hver oppgitt faktor gir en rot, og hver rot gir en lineær likning i \(a\), \(b\) og \(c\).

Vanlig feil: Å sette inn \(x=1\) for faktoren \((x+1)\); riktig rot er \(x=-1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Q(-1)=0 -> \(a-b+c=-11\) 2 Q(1)=0 -> \(a+b+c=11\) 3 Q(2)=0 -> \(8a+4b+2c=-4\)

Python

from sympy import symbols, expand x, a, b, c = symbols('x a b c') Q = x**4 + a*x**3 + b*x**2 + c*x - 12 for verdi in [-1, 1, 2]: uttrykk = expand(Q.subs(x, verdi)) print(f"Q({verdi}) =", uttrykk) print(f"Likningen Q({verdi}) = 0 gir:", uttrykk, "= 0")

Fasit: Likningssystemet er vist. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b Lineære likningssystemer

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) i likningssystemet fra oppgave 3a.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv systemet

\[\begin{aligned}a-b+c&=-11\\a+b+c&=11\\8a+4b+2c&=-4\end{aligned}\]

Steg 2 - Trekk første likning fra andre

\[(a+b+c)-(a-b+c)=11-(-11)\] \[2b=22\Rightarrow b=11\]

Steg 3 - Bruk b=11

\[a+11+c=11\Rightarrow a+c=0\]

Steg 4 - Sett b=11 inn i tredje

\[8a+44+2c=-4\Rightarrow 8a+2c=-48\]

Steg 5 - Bruk c=-a

\[8a+2(-a)=-48\Rightarrow 6a=-48\Rightarrow a=-8\]

Steg 6 - Finn c

\[c=8\]

Tolkning

Polynomet får dermed de tre oppgitte førstegradsfaktorene. …