Matematikk S2 Eksamen våren 2014 – løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen Våren 2014 - løsningsforslag

Originalt ifingo-løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll med nøytral kodevisning.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 3 poeng samlet Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=\dfrac{3}{x^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Skriv som potens

\[f(x)=3x^{-2}\]

Steg 2 - Bruk potensregelen

\[\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\]

Steg 3 - Deriver leddet

\[f\prime(x)=3\cdot(-2)x^{-3}\]

Steg 4 - Forenkle koeffisienten

\[f\prime(x)=-6x^{-3}\]

Steg 5 - Skriv som brøk

\[f\prime(x)=-\dfrac{6}{x^3}\]

Steg 6 - Kontroller definisjonsmengden

Både funksjonen og den deriverte gjelder for \(x\ne 0\).

Tolkning

Den deriverte er negativ når \(x\) er positiv, og positiv når \(x\) er negativ.

Vanlig feil: Å derivere nevneren direkte og få feil fortegn eller feil potens.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(3/x^2) -> \(-\dfrac{6}{x^3}\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify x = symbols('x') f = 3/x**2 f_derivert = diff(f, x) forventet = -6/x**3 print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Kontroll f'(x) - forventet =", simplify(f_derivert - forventet))

Fasit: \(f\prime(x)=-\dfrac{6}{x^3}\), \(x\ne 0\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b - 3 poeng samlet Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=x\cdot e^{-4x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Identifiser produktet

Vi har produktet av \(x\) og \(e^{-4x}\).

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 3 - Deriver faktorene

\[u=x,\ u\prime=1,\qquad v=e^{-4x},\ v\prime=-4e^{-4x}\]

Steg 4 - Sett inn

\[g\prime(x)=1\cdot e^{-4x}+x\cdot(-4e^{-4x})\]

Steg 5 - Faktoriser

\[g\prime(x)=(1-4x)e^{-4x}\]

Steg 6 - Kontroller fortegnet

Minusfortegnet kommer fra kjernen \(-4x\).

Tolkning

Den deriverte skifter fortegn ved \(x=\dfrac{1}{4}\).

Vanlig feil: Å glemme produktregelen og bare derivere eksponentialdelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(x*exp(-4*x)) -> \((1-4x)e^{-4x}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify x = symbols('x') g = x*exp(-4*x) g_derivert = diff(g, x) print("g(x) =", g) print("g'(x) utvidet =", g_derivert) print("g'(x) faktorisert =", factor(g_derivert)) print("Kontroll =", simplify(g_derivert - (1 - 4*x)*exp(-4*x)))

Fasit: \(g\prime(x)=(1-4x)e^{-4x}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a - 3 poeng samlet Polynom

Oppgave 2a

Oppgave:

Funksjonen \(P\) er gitt ved \(P(x)=x^3-3x^2+4\), \(D_P=\mathbb{R}\). Bestem \(P(2)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Sett inn verdien

\[P(2)=2^3-3\cdot 2^2+4\]

Steg 2 - Regn potensene

\[P(2)=8-3\cdot4+4\]

Steg 3 - Multipliser

\[P(2)=8-12+4\]

Steg 4 - Summer

\[P(2)=0\]

Steg 5 - Tolk nullverdien

Når \(P(2)=0\), er \(x=2\) et nullpunkt.

Steg 6 - Bruk i neste del

Dette betyr at \((x-2)\) er en faktor i polynomet.

Tolkning

Verdien null gjør at vi kan bruke polynomdivisjon med \(x-2\).

Vanlig feil: Å sette inn \(2\) bare i første ledd og glemme resten av polynomet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 P(2), P(x):=x^3-3x^2+4 -> \(0\)

Python

from sympy import symbols x = symbols('x') P = x**3 - 3*x**2 + 4 verdi = P.subs(x, 2) print("P(x) =", P) print("P(2) =", verdi)

Fasit: \(P(2)=0\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b - 3 poeng samlet Polynomdivisjon

Oppgave 2b

Oppgave:

Bruk polynomdivisjon til å faktorisere \(P(x)\) i lineære faktorer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Bruk nullpunktet

Siden \(P(2)=0\), er \((x-2)\) en faktor.

Steg 2 - Del polynomet

\[\dfrac{x^3-3x^2+4}{x-2}=x^2-x-2\]

Steg 3 - Faktoriser andregradsleddet

\[x^2-x-2=(x-2)(x+1)\]

Steg 4 - Sett sammen faktorene

\[P(x)=(x-2)(x-2)(x+1)\]

Steg 5 - Skriv med potens

\[P(x)=(x-2)^2(x+1)\]

Steg 6 - Kontroller ved utvidelse

\[(x-2)^2(x+1)=x^3-3x^2+4\]

Tolkning

Polynomet har dobbelt nullpunkt i \(x=2\) og ett nullpunkt i \(x=-1\).

Vanlig feil: Å stoppe etter én polynomdivisjon uten å faktorisere andregradsuttrykket.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Faktoriser(x^3-3*x^2+4) -> \((x-2)^2(x+1)\)

Python

from sympy import symbols, factor, expand x = symbols('x') P = x**3 - 3*x**2 + 4 faktorisert = factor(P) utvidet = expand((x - 2)**2*(x + 1)) print("P(x) =", P) print("Faktorisert P(x) =", faktorisert) print("Utvidet kontroll =", utvidet)

Fasit: \(P(x)=(x-2)^2(x+1)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a - 4 poeng samlet Aritmetisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

Bestem summen av den aritmetiske rekken \(3+6+\cdots+300\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Finn første ledd og differanse

\[a_1=3,\qquad d=3\]

Steg 2 - Finn antall ledd

\[a_n=3n,\qquad 3n=300\]

Steg 3 - Løs for antall ledd

\[n=100\]

Steg 4 - Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\]

Steg 5 - Sett inn

\[S_{100}=\dfrac{100(3+300)}{2}\]

Steg 6 - Regn ut

\[S_{100}=15150\]

Tolkning

Summen av de 100 første positive multipla av 3 til og med 300 er 15150.

Vanlig feil: Å tro at antall ledd er 300 i stedet for 100.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Sum(3*n, n, 1, 100) -> \(15150\)

Python

from sympy import symbols, summation n = symbols('n', integer=True, positive=True) ledd = 3*n sum_rekke = summation(ledd, (n, 1, 100)) print("Generelt ledd:", ledd) print("Antall ledd:", 100) print("Sum:", sum_rekke)

Fasit: \(S=15150\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b - 4 poeng samlet Aritmetisk følge

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem \(a_2\) slik at rekken \(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\) blir aritmetisk når \(a_1=4\) og \(a_n=a_{n-2}+8,\ n\ge 3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Bruk rekursjonen på tredje ledd

\[a_3=a_1+8=4+8=12\]

Steg 2 - Krav for aritmetisk følge

I en aritmetisk følge er \(a_1,a_2,a_3\) like langt fra hverandre.

Steg 3 - Skriv differansen

\[a_2-a_1=a_3-a_2\]

Steg 4 - Sett inn tall

\[a_2-4=12-a_2\]

Steg 5 - Løs likningen

\[2a_2=16\qquad\Rightarrow\qquad a_2=8\]

Steg 6 - Kontroller

Da blir følgen \(4,8,12,16,\ldots\), med fast differanse \(4\).

Tolkning

Verdien \(a_2=8\) gjør at alle leddene ligger i samme aritmetiske mønster.

Vanlig feil: Å sette \(a_2=a_1+8\) selv om rekursjonen hopper to plasser fram.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Løs(a2-4=12-a2, a2) -> \(a_2=8\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve A2 = symbols('A2') a1 = 4 a3 = a1 + 8 likning = Eq(A2 - a1, a3 - A2) losning = solve(likning, A2) print("a1 =", a1) print("a3 =", a3) print("Likning:", likning) print("a2 =", losning[0])

Fasit: \(a_2=8\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4 - 3 poeng Likningssystem

Oppgave 4

Oppgave:

Ved en konsert var billettprisen 100 kroner for voksne, 50 kroner for barn og 60 kroner for pensjonister. Det ble solgt 80 billetter. Billettinntektene var 5000 kroner. Det ble solgt like mange billetter til barn som til voksne og pensjonister til sammen. Sett opp et likningssystem og bestem antall voksne, barn og pensjonister.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Definer variabler

La \(v\) være voksne, \(b\) barn og \(p\) pensjonister.

Steg 2 - Sett opp antallslikningen

\[v+b+p=80\]

Steg 3 - Sett opp inntektslikningen

\[100v+50b+60p=5000\]

Steg 4 - Bruk opplysningen om barn

\[b=v+p\]

Steg 5 - Sett inn i antallslikningen

\[v+(v+p)+p=80\quad\Rightarrow\quad v+p=40\]

Steg 6 - Løs sammen med inntekten

\[100v+50\cdot40+60p=5000\quad\Rightarrow\quad v=15,\ p=25,\ b=40\]

Tolkning

Det ble solgt flest barnebilletter, og antall barn er summen av voksne og pensjonister. …