Matematikk S2 Eksamen våren 2011 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen Vår 2011 – løsningsforslag

Komplett bokmålsfil med trinnvise løsninger, GeoGebra CAS-kontroll og fullere Python-kontroller i nøytral/original mørk kodevisning uten rosa highlight.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonene 1) \(f(x)=2x^3-5x+3\), 2) \(g(x)=\dfrac{3}{x^3}\), 3) \(h(x)=x^2\ln x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.

Steg 1

\[ f'(x)=6x^2-5 \]

Steg 2

\[ g(x)=3x^{-3}\Rightarrow g'(x)=-\dfrac{9}{x^4} \]

Steg 3

\[ h'(x)=2x\ln x+x=x\left(2\ln x+1\right) \]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.

Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Kontroll → \(f'(x)=6x^2-5\), \(g'(x)=-\dfrac{9}{x^4}\), \(h'(x)=x(2\ln x+1)\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, log, simplify x=symbols('x', positive=True) print("f'(x) =", diff(2*x**3-5*x+3,x)) print("g'(x) =", simplify(diff(3/x**3,x))) print("h'(x) =", simplify(diff(x**2*log(x),x))) 

Fasit: \(f'(x)=6x^2-5\), \(g'(x)=-\dfrac{9}{x^4}\), \(h'(x)=x(2\ln x+1)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Aritmetisk følge

Oppgave 1b

Oppgave:

I en aritmetisk tallfølge er \(a_4=9\) og \(a_{10}=21\). Bestem \(a_{15}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.

Steg 1

\[ a_{10}-a_4=(10-4)d \]

Steg 2

\[ 21-9=6d\Rightarrow d=2 \]

Steg 3

\[ a_{15}=a_4+(15-4)d=9+11\cdot2=31 \]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.

Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Kontroll → \(a_{15}=31\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve d=symbols('d') d=solve(Eq(21-9,6*d),d)[0] print("d =",d) print("a_15 =",9+11*d) 

Fasit: \(a_{15}=31\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Algebra

Oppgave 1c

Oppgave:

Forkort brøken \(\dfrac{x^3-3x^2-13x+15}{x+3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.

Steg 1

\[ x^3-3x^2-13x+15=(x+3)(x-1)(x-5) \]

Steg 2

\[ \dfrac{(x+3)(x-1)(x-5)}{x+3}=(x-1)(x-5) \]

Steg 3

\[ x\ne -3 \]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.

Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Kontroll → \((x-1)(x-5)\), der \(x\ne -3\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, simplify x=symbols('x') print(factor(x**3-3*x**2-13*x+15)) print(simplify((x**3-3*x**2-13*x+15)/(x+3))) 

Fasit: \((x-1)(x-5)\), der \(x\ne -3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Uendelig rekke

Oppgave 1d

Oppgave:

Forklar at \(7+\dfrac{14}{9}+\dfrac{28}{81}+\dfrac{56}{729}+\cdots\) konvergerer. Bestem summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.

Steg 1

k=\dfrac{14/9}{7}=\dfrac{2}{9}

Steg 2

\[ \left|k\right|<1 \]

Steg 3

\[ S=\dfrac{7}{1-\dfrac{2}{9}}=9 \]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.

Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Kontroll → Rekken konvergerer, og summen er \(9\).

Python-kontroll

from fractions import Fraction k=Fraction(2,9) S=Fraction(7,1)/(1-k) print("k =", k) print("sum =", S) 

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er \(9\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1e Eksponentiallikning

Oppgave 1e

Oppgave:

Løs likningen \(2^{x^2-2x}=8\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.

Steg 1

8=2^3

Steg 2

\[ x^2-2x=3 \]

Steg 3

\[ x^2-2x-3=0 \]

Steg 4

\[ (x-3)(x+1)=0 \]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.

Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Kontroll → \(x=-1\) eller \(x=3\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve x=symbols('x') print(solve(Eq(x**2-2*x,3),x)) 

Fasit: \(x=-1\) eller \(x=3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1f1 Sannsynlighet

Oppgave 1f1

Oppgave:

Finn forventningsverdien når \(P(X=0)=\dfrac18\), \(P(X=1)=\dfrac38\), \(P(X=2)=\dfrac38\), \(P(X=3)=\dfrac18\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret. …