Matematikk S2 Eksamen høsten 2016 – løsningsforslag

ifingo - løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen H16 - løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har trinnvis forklaring, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll med nøytral kodevisning.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 5 poeng samlet Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=x^3-5x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Identifiser leddene

Funksjonen består av et tredjegradsledd og et førstegradsledd.

Steg 2 - Bruk potensregelen

\[\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\]

Steg 3 - Deriver første ledd

\[\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2\]

Steg 4 - Deriver andre ledd

\[\dfrac{d}{dx}\left(-5x\right)=-5\]

Steg 5 - Sett sammen

\[f'(x)=3x^2-5\]

Steg 6 - Kontroller formen

Svaret skal være et andregradsuttrykk fordi vi deriverer et tredjegradsuttrykk.

Tolkning

Den deriverte gir stigningstallet til grafen i hvert punkt.

Vanlig feil: Å glemme at den deriverte av \(-5x\) er \(-5\), ikke \(-5x\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(x^3 - 5*x) -> \(3x^2-5\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify x = symbols('x') f = x**3 - 5*x f_derivert = diff(f, x) print("Funksjonen f(x) =", f) print("Derivert f'(x) =", f_derivert) print("Forenklet kontroll =", simplify(f_derivert))

Fasit: \(f'(x)=3x^2-5\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b - 5 poeng samlet Kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=5\left(x^2+1\right)^7\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se den sammensatte funksjonen

Ytre funksjon er en potens, og indre funksjon er \(x^2+1\).

Steg 2 - Sett opp kjerneregelen

\[\dfrac{d}{dx}\left(u^7\right)=7u^6\cdot u'\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[u=x^2+1,\qquad u'=2x\]

Steg 4 - Husk konstanten foran

\[g'(x)=5\cdot 7\left(x^2+1\right)^6\cdot 2x\]

Steg 5 - Forenkle

\[g'(x)=70x\left(x^2+1\right)^6\]

Steg 6 - Kontroller grad

Uttrykket får faktor \(x\) fordi kjernen \(x^2+1\) har derivert \(2x\).

Tolkning

Kjerneregelen forklarer hvorfor faktoren \(2x\) må med.

Vanlig feil: Å derivere potensen uten å multiplisere med den deriverte av kjernen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(5*(x^2+1)^7) -> \(70x\left(x^2+1\right)^6\)

Python

from sympy import symbols, diff, factor x = symbols('x') g = 5*(x**2 + 1)**7 g_derivert = diff(g, x) print("g(x) =", g) print("g'(x) før faktorisering =", g_derivert) print("g'(x) faktorisert =", factor(g_derivert))

Fasit: \(g'(x)=70x\left(x^2+1\right)^6\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c - 5 poeng samlet Brøkregel og eksponentialfunksjon

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Velg brøkregelen

\[\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]

Steg 2 - Sett \(u=e^x\) og \(v=e^x+1\)

\[u'=e^x,\qquad v'=e^x\]

Steg 3 - Sett inn i brøkregelen

\[h'(x)=\dfrac{e^x\left(e^x+1\right)-e^x\cdot e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\]

Steg 4 - Forenkle telleren

\[e^x\left(e^x+1\right)-e^{2x}=e^{2x}+e^x-e^{2x}=e^x\]

Steg 5 - Skriv svaret

\[h'(x)=\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\]

Steg 6 - Kontroller positivitet

Den deriverte er positiv for alle \(x\), fordi \(e^x>0\).

Tolkning

Funksjonen er voksende, men veksten dempes av nevneren.

Vanlig feil: Å ikke forkorte telleren riktig etter bruk av brøkregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(e^x/(e^x+1)) -> \(\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') h = exp(x)/(exp(x) + 1) h_derivert = simplify(diff(h, x)) print("h(x) =", h) print("h'(x) =", h_derivert) print("Kontrollert forenkling =", simplify(h_derivert - exp(x)/(exp(x)+1)**2))

Fasit: \(h'(x)=\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a - 4 poeng samlet Rasjonal likning

Oppgave 2a

Oppgave:

Løs likningen

\[\dfrac{3x}{x-2}=\dfrac{x^2}{x^2-4}\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn definisjonsmengden

\[x\ne 2,\qquad x\ne -2\]

Steg 2 - Faktoriser nevneren til høyre

\[x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\]

Steg 3 - Multipliser med fellesnevner

\[3x\left(x+2\right)=x^2\]

Steg 4 - Flytt alt til én side

\[3x^2+6x=x^2\Rightarrow 2x^2+6x=0\]

Steg 5 - Faktoriser

\[2x\left(x+3\right)=0\]

Steg 6 - Kontroller mot definisjonsmengden

\[x=0\quad \text{eller}\quad x=-3\]

Tolkning

Begge løsningene er lovlige fordi ingen av dem gjør en nevner lik null.

Vanlig feil: Å glemme å utelukke \(x=2\) og \(x=-2\) før man løser.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Løs(3*x/(x-2)=x^2/(x^2-4)) -> \(x=0\ \lor\ x=-3\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify x = symbols('x') likning = Eq(3*x/(x - 2), x**2/(x**2 - 4)) kandidater = solve(likning, x) gyldige = [verdi for verdi in kandidater if verdi not in [2, -2]] print("Kandidatløsninger:", kandidater) print("Gyldige løsninger:", gyldige) for verdi in gyldige: venstre = simplify(3*verdi/(verdi - 2)) hoyre = simplify(verdi**2/(verdi**2 - 4)) print("x =", verdi, "gir venstre =", venstre, "og høyre =", hoyre)

Fasit: \(x=0\) eller \(x=-3\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b - 4 poeng samlet Logaritmelikning

Oppgave 2b

Oppgave:

Løs likningen \(\ln\left(x^2+2x-14\right)=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk at \(\ln 1=0\)

Når logaritmen er lik null, må argumentet være lik \(1\).

Steg 2 - Sett argumentet lik 1

\[x^2+2x-14=1\]

Steg 3 - Flytt alt til én side

\[x^2+2x-15=0\]

Steg 4 - Faktoriser

\[\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0\]

Steg 5 - Finn kandidatene

\[x=-5\quad \text{eller}\quad x=3\]

Steg 6 - Kontroller logaritmeargumentet

\[x^2+2x-14=1>0\quad \text{for begge løsningene}\]

Tolkning

Begge kandidatene gir logaritmeargument lik \(1\).

Vanlig feil: Å sette argumentet lik \(0\) i stedet for \(1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Løs(ln(x^2+2*x-14)=0) -> \(x=-5\ \lor\ x=3\)

Python

from sympy import symbols, Eq, log, solve, simplify x = symbols('x') argument = x**2 + 2*x - 14 losninger = solve(Eq(log(argument), 0), x) print("Løsninger:", losninger) for verdi in losninger: print("x =", verdi, "gir argument =", simplify(argument.subs(x, verdi)))

Fasit: \(x=-5\) eller \(x=3\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a - 7 poeng samlet Faktorteorem

Oppgave 3a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^3-6x^2+32\). Begrunn at divisjonen \(f(x):(x+2)\) går opp, uten å utføre divisjonen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Divisjonen med \(x+2\) går opp dersom \(f(-2)=0\).

Steg 2 - Sett inn \(x=-2\)

\[f(-2)=(-2)^3-6(-2)^2+32\]

Steg 3 - Regn ut

\[f(-2)=-8-24+32=0\]

Steg 4 - Trekk konklusjonen

Siden resten er \(0\), er \(x+2\) en faktor.

Steg 5 - Kontroller sammenhengen

\[f(x)=\left(x+2\right)Q(x)\]

Steg 6 - Svar presist

Vi har begrunnet divisjonen uten å utføre polynomdivisjon.

Tolkning

Resten ved divisjon med \(x+2\) er null.

Vanlig feil: Å teste \(x=2\) i stedet for \(x=-2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 f(x):=x^3-6*x^2+32 -> \(f(x)=x^3-6x^2+32\) 2 f(-2) -> \(0\)

Python

from sympy import symbols x = symbols('x') f = x**3 - 6*x**2 + 32 rest = f.subs(x, -2) print("f(x) =", f) print("Rest ved divisjon med x + 2 er f(-2) =", rest) print("Divisjonen går opp:", rest == 0)

Fasit: \(f(-2)=0\), derfor går divisjonen opp. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b - 7 poeng samlet Nullpunkt

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem nullpunktene til \(f(x)=x^3-6x^2+32\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt. …