Matematikk S2 Eksamen våren 2025 – løsningsforslag

ifingo | Udir løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen Vår 2025 – løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er transkribert og løst trinnvis, med GeoGebra CAS/Python-kontroll der det passer. Designet bruker bare lilla og lavendel.

Del 1 — uten hjelpemidler

Håndregning: integrasjon, sannsynlighet, følger, økonomisk tolkning og hypotesetest. Del 1 | Oppgave 1a Integrasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Regn ut integralet \[\int_{0}^{1}(2e^x+2x^2)\,dx.\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.

Steg 1 - Del opp integralet

\[\int_{0}^{1}(2e^x+2x^2)\,dx=\int_{0}^{1}2e^x\,dx+\int_{0}^{1}2x^2\,dx\]

Steg 2 - Finn antiderivert

\[F(x)=2e^x+\dfrac{2x^3}{3}\]

Steg 3 - Sett inn grensene

\[F(1)-F(0)=(2e+\dfrac{2}{3})-2\]

Steg 4 - Forenkle

\[2e+\dfrac{2}{3}-2=2e-\dfrac{4}{3}\]

Steg 5 - Numerisk kontroll

\[2e-\dfrac{4}{3}\approx 4{,}103\]

Steg 6 - Rimelighet

Integranden er positiv på intervallet, derfor skal integralet være positivt.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen fra \(0\) til \(1\).

Vanlig feil: Å glemme å trekke fra \(F(0)=2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra CAS 1 Integral(2*exp(x)+2*x^2,0,1) → \(2e-\dfrac{4}{3}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate, exp x=symbols("x") print(integrate(2*exp(x)+2*x**2,(x,0,1)))

Fasit: \(2e-\dfrac{4}{3}\). Få mer forklaring Del 1 | Oppgave 1b Integrasjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Regn ut integralet \[\int \dfrac{2x-1}{x^2-x-6}\,dx.\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.

Steg 1 - Se på nevneren

La \(g(x)=x^2-x-6\).

Steg 2 - Deriver nevneren

\[g\prime(x)=2x-1\] Dette er telleren.

Steg 3 - Bruk logaritmeregelen

\[\int \dfrac{g\prime(x)}{g(x)}\,dx=\ln|g(x)|+C\]

Steg 4 - Sett inn

\[\int \dfrac{2x-1}{x^2-x-6}\,dx=\ln|x^2-x-6|+C\]

Steg 5 - Kontroller

Derivasjon av svaret gir \(\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}\).

Steg 6 - Domene

Nevneren er null ved \(x=-2\) og \(x=3\), så svaret gjelder på intervaller uten disse punktene.

Tolkning

Absoluttverdien gjør logaritmeuttrykket gyldig både når nevneren er positiv og negativ.

Vanlig feil: Å droppe absoluttverdi i logaritmen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra CAS 1 Integral((2*x-1)/(x^2-x-6),x) → \(\ln|x^2-x-6|\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate x=symbols("x") print(integrate((2*x-1)/(x**2-x-6),x))

Fasit: \(\ln|x^2-x-6|+C\). Få mer forklaring Del 1 | Oppgave 2 Integrasjon og funksjon

Oppgave 2

Oppgave:

Bestem et uttrykk for \(f\) når \[f\prime(x)=-\dfrac{2}{x^3}\] og arealet av området avgrenset av grafen til \(f\), \(x\)-aksen og linjene \(x=1\) og \(x=2\), er \(\dfrac{11}{14}\). Arealet ligger over \(x\)-aksen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.

Steg 1 - Integrer den deriverte

\[f(x)=\int -2x^{-3}\,dx=x^{-2}+C=\dfrac{1}{x^2}+C\]

Steg 2 - Bruk arealet

Siden området ligger over \(x\)-aksen, er \[\int_{1}^{2}f(x)\,dx=\dfrac{11}{14}\]

Steg 3 - Sett inn uttrykket

\[\int_{1}^{2}(\dfrac{1}{x^2}+C)\,dx=\dfrac{11}{14}\]

Steg 4 - Regn integralet

\[\int_{1}^{2}\dfrac{1}{x^2}\,dx=[-\dfrac{1}{x}]_{1}^{2}=\dfrac{1}{2}\] og \(\int_{1}^{2}C\,dx=C\).

Steg 5 - Finn konstanten

\[\dfrac{1}{2}+C=\dfrac{11}{14}\Rightarrow C=\dfrac{2}{7}\]

Steg 6 - Kontroller

Da blir arealet \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{7}=\dfrac{11}{14}\).

Tolkning

Konstantleddet bestemmes av arealbetingelsen.

Vanlig feil: Å glemme integrasjonskonstanten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra CAS 1 Løs(Integral(1/x^2+C,1,2)=11/14,C) → \(C=\dfrac{2}{7}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate, solve, Rational x,C=symbols("x C") print(solve(integrate(1/x**2+C,(x,1,2))-Rational(11,14),C))

Fasit: \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{7}\). Få mer forklaring Del 1 | Oppgave 3a Sannsynlighet

Oppgave 3a

Oppgave:

Til et brettspill hører det med en spesiell terning med 6 sider. Det er en side med en ener, en side med en toer, en side med en treer og tre sider med seksere. La \(X\) være antall øyne. Skriv av og fyll ut tabellen. Vis at \(E(X)=4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.

Steg 1 - Tell sider

Verdiene er \(1,2,3,6\), med henholdsvis \(1,1,1,3\) sider.

Steg 2 - Sannsynligheter

\[P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=\dfrac{1}{6},\quad P(X=6)=\dfrac{3}{6}\]

Steg 3 - Kontroller sum

\[\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{6}=1\]

Steg 4 - Forventningsverdi

\[E(X)=\sum kP(X=k)\]

Steg 5 - Sett inn

\[E(X)=1\cdot\dfrac{1}{6}+2\cdot\dfrac{1}{6}+3\cdot\dfrac{1}{6}+6\cdot\dfrac{3}{6}\]

Steg 6 - Regn ut

\[E(X)=\dfrac{24}{6}=4\]

Tolkning

Gjennomsnittet over mange kast blir omtrent \(4\).

Vanlig feil: Å bruke sannsynligheter som for en vanlig terning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra CAS 1 1/6+1/6+1/6+3/6 → \(1\) 2 1/6+2/6+3/6+18/6 → \(4\)

Python-kontroll

values=[1,2,3,6] probs=[1/6,1/6,1/6,3/6] print(sum(v*p for v,p in zip(values,probs)))

Fasit: Tabellen er \(\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6},\dfrac{3}{6}\), og \(E(X)=4\). Få mer forklaring Del 1 | Oppgave 3b Varians

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem \(\operatorname{Var}(X)\). …