Matematikk S2 Eksamen våren 2016 – løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen V16 - løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Oppgavene er transkribert fra Udir-settet og løst med stegvis matematikk, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS-kontroll og fullere Python-kontroll uten rosa highlight.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 5 poeng samlet Derivasjon av eksponentialfunksjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=e^{-2x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se kjernen

Funksjonen er en eksponentialfunksjon der eksponenten er \(-2x\).

Steg 2 - Bruk regelen

\[\dfrac{d}{dx}e^{u}=u' e^{u}\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[u=-2x,\qquad u'=-2\]

Steg 4 - Sett inn

\[f'(x)=-2e^{-2x}\]

Steg 5 - Kontroller fortegn

Fordi eksponenten avtar med \(x\), skal den deriverte være negativ.

Steg 6 - Skriv svaret tydelig

\[f'(x)=-2e^{-2x}\]

Tolkning

Den deriverte er negativ for alle \(x\), så funksjonen synker overalt.

Vanlig feil: Å glemme kjerneregelen og svare \(e^{-2x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(exp(-2*x)) -> \(-2e^{-2x}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') f = exp(-2*x) f_derivert = diff(f, x) kontroll = simplify(f_derivert - (-2*exp(-2*x))) print("Funksjonen f(x) =", f) print("Derivert f'(x) =", f_derivert) print("Kontroll, differanse mot forventet svar =", kontroll)

Fasit: \(f'(x)=-2e^{-2x}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b - 5 poeng samlet Brøkregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{x-3}{x-4}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Velg brøkregelen

\[\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]

Steg 2 - Sett variablene

\[u=x-3,\quad v=x-4,\quad u'=1,\quad v'=1\]

Steg 3 - Sett inn i regelen

\[g'(x)=\dfrac{1\cdot (x-4)-(x-3)\cdot 1}{(x-4)^2}\]

Steg 4 - Forenkle telleren

\[x-4-x+3=-1\]

Steg 5 - Skriv den deriverte

\[g'(x)=-\dfrac{1}{(x-4)^2}\]

Steg 6 - Kontroller definisjonsmengden

Funksjonen og den deriverte er ikke definert for \(x=4\).

Tolkning

Den deriverte er negativ for alle lovlige \(x\), så funksjonen synker på hvert intervall i definisjonsmengden.

Vanlig feil: Å forkorte uttrykket før derivasjon uten å passe på asymptoten \(x=4\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert((x-3)/(x-4)) -> \(-\dfrac{1}{(x-4)^2}\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify x = symbols('x') g = (x - 3)/(x - 4) g_derivert = simplify(diff(g, x)) print("g(x) =", g) print("g'(x) =", g_derivert) for testverdi in [0, 5]: print("Kontrollverdi x =", testverdi, "gir g'(x) =", g_derivert.subs(x, testverdi))

Fasit: \(g'(x)=-\dfrac{1}{(x-4)^2}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c - 5 poeng samlet Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=x(x-3)^6\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Gjenkjenn produktet

Funksjonen er produktet av \(x\) og \((x-3)^6\).

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[(uv)'=u'v+uv'\]

Steg 3 - Deriver faktorene

\[u=x,\ u'=1,\qquad v=(x-3)^6,\ v'=6(x-3)^5\]

Steg 4 - Sett inn

\[h'(x)=(x-3)^6+6x(x-3)^5\]

Steg 5 - Faktoriser

\[h'(x)=(x-3)^5\left((x-3)+6x\right)\]

Steg 6 - Forenkle

\[h'(x)=(x-3)^5(7x-3)\]

Tolkning

Faktorisert form gjør det lett å lese nullpunktene til den deriverte.

Vanlig feil: Å derivere bare potensen og glemme produktregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(x*(x-3)^6) -> \((x-3)^5(7x-3)\)

Python

from sympy import symbols, diff, factor, expand x = symbols('x') h = x*(x - 3)**6 h_derivert = diff(h, x) print("h(x) =", h) print("h'(x) utvidet =", expand(h_derivert)) print("h'(x) faktorisert =", factor(h_derivert))

Fasit: \(h'(x)=(x-3)^5(7x-3)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a - 8 poeng samlet Polynom og faktorteorem

Oppgave 2a

Oppgave:

Polynomet \(P\) er gitt ved

\[P(x)=x^3-6x^2+32\]

Vis at \(P(x)\) er delelig med \((x+2)\). Bestem nullpunktene til \(P\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Polynomet er delelig med \(x+2\) dersom \(P(-2)=0\).

Steg 2 - Regn ut verdien

\[P(-2)=(-2)^3-6(-2)^2+32=-8-24+32=0\]

Steg 3 - Konkluder med faktor

Dermed er \(x+2\) en faktor i \(P(x)\).

Steg 4 - Faktoriser polynomet

\[P(x)=(x+2)(x^2-8x+16)\]

Steg 5 - Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2-8x+16=(x-4)^2\]

Steg 6 - Finn nullpunktene

\[P(x)=0\Rightarrow x=-2\quad \text{eller}\quad x=4\]

Tolkning

Nullpunktet \(x=4\) er en dobbeltrot, mens \(x=-2\) er en enkel rot.

Vanlig feil: Å teste \(P(2)\) i stedet for \(P(-2\) når faktoren er \(x+2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Faktoriser(x^3 - 6*x^2 + 32) -> \((x+2)(x-4)^2\)

Python

from sympy import symbols, factor, solve x = symbols('x') P = x**3 - 6*x**2 + 32 print("P(x) =", P) print("P(-2) =", P.subs(x, -2)) print("Faktorisert P(x) =", factor(P)) print("Nullpunkter =", solve(P, x))

Fasit: \(x=-2\) og \(x=4\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b - 8 poeng samlet Topp- og bunnpunkt

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(P\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver

\[P'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)\]

Steg 2 - Finn kritiske verdier

\[P'(x)=0\Rightarrow x=0\quad \text{eller}\quad x=4\]

Steg 3 - Finn andrederivert

\[P''(x)=6x-12\]

Steg 4 - Klassifiser \(x=0\)

\[P''(0)=-12<0\Rightarrow \text{toppunkt}\]

Steg 5 - Klassifiser \(x=4\)

\[P''(4)=12>0\Rightarrow \text{bunnpunkt}\]

Steg 6 - Finn koordinatene

\[P(0)=32,\qquad P(4)=0\]

Tolkning

Grafen har toppunkt \((0,32)\) og bunnpunkt \((4,0)\).

Vanlig feil: Å finne bare \(x\)-verdiene og ikke beregne tilhørende \(y\)-verdier.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Ekstremalpunkt(x^3 - 6*x^2 + 32) -> \((0,32),\ (4,0)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve x = symbols('x') P = x**3 - 6*x**2 + 32 P1 = diff(P, x) P2 = diff(P1, x) print("P'(x) =", P1) print("P''(x) =", P2) for verdi in solve(P1, x): print("x =", verdi, "P(x) =", P.subs(x, verdi), "P''(x) =", P2.subs(x, verdi))

Fasit: \((0,32)\) er toppunkt, og \((4,0)\) er bunnpunkt. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2c - 8 poeng samlet Vendepunkt

Oppgave 2c

Oppgave:

Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til \(P\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk andrederivert

\[P''(x)=6x-12\]

Steg 2 - Sett andrederivert lik null

\[6x-12=0\]

Steg 3 - Finn \(x\)-verdien

\[x=2\]

Steg 4 - Kontroller fortegnsskifte

Andrederiverte går fra negativ til positiv når \(x\) passerer \(2\).

Steg 5 - Finn \(y\)-verdien

\[P(2)=2^3-6\cdot 2^2+32=16\]

Steg 6 - Skriv punktet

\[(2,16)\]

Tolkning

Vendepunktet ligger midt mellom de to stasjonære punktene i \(x\)-retning.

Vanlig feil: Å stoppe ved \(x=2\) og ikke skrive vendepunktet som koordinat.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Vendepunkt(x^3 - 6*x^2 + 32) -> \((2,16)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve x = symbols('x') P = x**3 - 6*x**2 + 32 P2 = diff(P, x, 2) kandidater = solve(P2, x) print("P''(x) =", P2) print("Kandidater for vendepunkt:", kandidater) for verdi in kandidater: print("Vendepunkt: x =", verdi, "y =", P.subs(x, verdi))

Fasit: \((2,16)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2d - 8 poeng samlet Grafskisse

Oppgave 2d

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(P\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Samle nullpunkter

\[x=-2,\qquad x=4\]

Steg 2 - Samle ekstremalpunkt

\[\text{toppunkt }(0,32),\qquad \text{bunnpunkt }(4,0)\]

Steg 3 - Samle vendepunkt

\[(2,16)\]

Steg 4 - Finn endeoppførsel

Siden ledende ledd er \(x^3\), går grafen ned mot venstre og opp mot høyre.

Steg 5 - Bruk dobbeltrot

Ved \(x=4\) tangerer grafen x-aksen fordi roten er dobbelt. …