Matematikk S2 Eksamen våren 2012 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen Vår 2012 – løsningsforslag

Bokmål. Komplett løsningsforslag med trinnvis metode, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og fullere Python-kontroller uten uønsket kodehighlight.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonene 1) \(f(x)=x^3+2x+3\), 2) \(g(x)=2x^2\cdot e^{2x}\), 3) \(h(x)=3x\cdot\ln(2x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Potensregel

\[ f'(x)=3x^2+2 \]

Steg 2 — Produktregel på \(g\)

\[ g'(x)=4x e^{2x}+2x^2\cdot2e^{2x}=4x(x+1)e^{2x} \]

Steg 3 — Produktregel på \(h\)

\[ h'(x)=3\ln(2x)+3x\cdot\dfrac1x=3\ln(2x)+3 \]

Tolkning

Den deriverte gir momentan vekstfart.

Vanlig feil: Å glemme kjerneregelen i \(e^{2x}\) og \(\ln(2x)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Derivert({x^3+2x+3,2x^2*e^(2x),3x*ln(2x)}) → \(3x^2+2,\;4x(x+1)e^{2x},\;3\ln(2x)+3\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, exp, log, simplify x = symbols('x', positive=True) f = x**3 + 2*x + 3 g = 2*x**2*exp(2*x) h = 3*x*log(2*x) print("f_derivert =", diff(f, x)) print("g_derivert =", simplify(diff(g, x))) print("h_derivert =", simplify(diff(h, x)))

Fasit: \(f'(x)=3x^2+2\), \(g'(x)=4x(x+1)e^{2x}\), \(h'(x)=3\ln(2x)+3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Rekker

Oppgave 1b

Oppgave:

Bestem summer for rekkene \(2+4+6+\cdots\), \(2+5+8+\cdots+89\), \(1+2+4+\cdots\) og \(1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Aritmetisk sum

\[ S_{10}=\dfrac{10(2+20)}2=110 \]

Steg 2 — Antall ledd

\[ 89=2+(n-1)3\Rightarrow n=30 \]

Steg 3 — Summer de andre rekkene

\[ S=\dfrac{30(2+89)}2=1365,\quad S_8=\dfrac{2^8-1}{2-1}=255,\quad S_\infty=\dfrac1{1-1/2}=2 \]

Tolkning

Vi skiller mellom aritmetisk, endelig geometrisk og uendelig geometrisk rekke.

Vanlig feil: Å bruke feil sumformel.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Sum({2n,n=1..10}), Sum(2+3(k-1),k=1..30) → \(110,1365\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation, Eq, solve n, k = symbols('n k', integer=True, positive=True) S10 = summation(2*n, (n, 1, 10)) antall = solve(Eq(89, 2 + (n - 1)*3), n)[0] S_aritmetisk = antall*(2 + 89)/2 S8 = (2**8 - 1)/(2 - 1) S_uendelig = 1/(1 - 1/2) print("S10 =", S10) print("antall ledd =", antall) print("sum 2+5+...+89 =", S_aritmetisk) print("S8 geometrisk =", S8) print("uendelig sum =", S_uendelig)

Fasit: \(110\), \(1365\), \(255\), \(2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Funksjonsdrøfting

Oppgave 1c

Oppgave:

Gitt \(f(x)=4x^3-6x^2\), \(x\in\langle -1,2 angle\). Løs \(f(x)=0\), finn \(f'(x)\), bestem ekstremalpunkter og skisser grafen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Nullpunkter

\[ f(x)=2x^2(2x-3)\Rightarrow x=0\;\text{eller}\;x=\dfrac32 \]

Steg 2 — Derivert og fortegn

\[ f'(x)=12x^2-12x=12x(x-1) \]

Steg 3 — Ekstremalpunkter

\[ f(0)=0,\quad f(1)=-2 \]

Tolkning

Grafen stiger, synker og stiger igjen. Toppunkt \((0,0)\), bunnpunkt \((1,-2)\).

Vanlig feil: Å forveksle nullpunkter og ekstremalpunkter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(4x^3-6x^2=0), Derivert(4x^3-6x^2) → \(x=0\lor x=\dfrac32,\;f'(x)=12x(x-1)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor x = symbols('x') f = 4*x**3 - 6*x**2 print("faktorform =", factor(f)) print("nullpunkter =", solve(Eq(f, 0), x)) print("derivert =", factor(diff(f, x))) print("kritiske punkt =", [(a, f.subs(x, a)) for a in solve(Eq(diff(f, x), 0), x)])

Fasit: Nullpunkter \(0\) og \(\dfrac32\). Toppunkt \((0,0)\), bunnpunkt \((1,-2)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Sannsynlighet

Oppgave 1d

Oppgave:

To tetraedre har sidene 1, 2, 3 og 4. La \(X\) være summen av sidene som vender ned. Fyll ut sannsynlighetstabellen for \(x=2,3,4,5,6,7,8\), og bestem \(E(X)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Tell utfall

Det finnes \(16\) like sannsynlige par. …