Matematikk S2 Eksamen høsten 2023 – løsningsforslag

Udir · REA3062 · Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen Høst 2023 – løsningsforslag

Zip-filen inneholder 36 PDF-filer. Siden oppdraget gjelder LK20, starter denne filen med første LK20-eksamen i zip-filen: S2 Høst 2023. Alle oppgaver er gjengitt på bokmål og løst med originale, kontrollerbare løsninger.

Del 1: uten hjelpemidler Del 2: med hjelpemidler CAS + Python-kontroll

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Integrasjon og areal

Oppgave 1

Oppgave:

Regn ut integralet

\[\int_{-1}^{1}\left(x^3+2x\right)\,dx.\]

Hva forteller svaret deg?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et bestemt integral og tolke integralverdien geometrisk.

Steg 1 — Se på integranden

Integranden er \(f(x)=x^3+2x\).

Begge leddene har oddetallseksponent, og derfor er \(f\) en odde funksjon.

Steg 2 — Bruk symmetri som kontrollide

For en odde funksjon gjelder \(f(-x)=-f(x)\).

På et symmetrisk intervall \([-a,a]\) blir det bestemte integralet lik \(0\), dersom funksjonen er odde.

Steg 3 — Regn med antiderivert

\[\int \left(x^3+2x\right)\,dx=\dfrac{x^4}{4}+x^2+C.\]

Dette gir en direkte regnekontroll av symmetrien.

Steg 4 — Sett inn grensene

\[\int_{-1}^{1}\left(x^3+2x\right)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}+x^2\right]_{-1}^{1}.\]

Steg 5 — Beregn verdiene

\[\left(\dfrac{1^4}{4}+1^2\right)-\left(\dfrac{\left(-1\right)^4}{4}+\left(-1\right)^2\right)=\left(\dfrac14+1\right)-\left(\dfrac14+1\right)=0.\]

Steg 6 — Tolk integralet

Integralverdien \(0\) betyr at det fortegnede arealet over \(x\)-aksen er like stort som det fortegnede arealet under \(x\)-aksen, med motsatt fortegn.

Vanlig feil: Å tolke svaret som at arealet er \(0\). Det geometriske arealet kan være positivt selv om det fortegnede integralet er \(0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Integral(x^3 + 2x, -1, 1) → \(0\)

💻 Python

from sympy import symbols, integrate x = symbols('x') print(integrate(x**3 + 2*x, (x, -1, 1)))

Fasit: \(0\). Integralverdien forteller at fortegnet areal over og under \(x\)-aksen kansellerer hverandre. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 2a

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke \(a_1+a_2+a_3+\cdots\) konvergerer mot \(8\).

Bestem summen av de fire første leddene, når du får vite at \(a_1=4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke summen av den uendelige rekken til å finne kvotienten, og deretter summere de fire første leddene.

Steg 1 — Skriv formelen for uendelig geometrisk rekke

Når \(|k|<1\), er summen

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}.\]

Steg 2 — Sett inn kjent sum og første ledd

\[8=\dfrac{4}{1-k}.\]

Steg 3 — Løs for kvotienten

\[8\left(1-k\right)=4\]

\[1-k=\dfrac12\]

\[k=\dfrac12.\]

Steg 4 — Finn de fire første leddene

\[4,\quad 2,\quad 1,\quad \dfrac12.\]

Steg 5 — Summer direkte

\[S_4=4+2+1+\dfrac12=\dfrac{15}{2}.\]

Steg 6 — Alternativ kontroll med sumformel

\[S_4=a_1\dfrac{1-k^4}{1-k}=4\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac12\right)^4}{1-\dfrac12}=\dfrac{15}{2}.\]

Tolkning

De fire første leddene summerer til \(7{,}5\), mens hele den uendelige rekken nærmer seg \(8\).

Vanlig feil: Å bruke \(8\) som sum av de fire første leddene. \(8\) er summen av alle leddene i den uendelige rekken.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(8 = 4/(1-k), k) → \(k=\dfrac12\) 2 Sum(4*(1/2)^(n-1), n, 1, 4) → \(\dfrac{15}{2}\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve, summation, Rational k, n = symbols('k n') kvotient = solve(8 - 4/(1-k), k)[0] S4 = summation(4*kvotient**(n-1), (n, 1, 4)) print(kvotient, S4)

Fasit: \(S_4=\dfrac{15}{2}=7{,}5\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Aritmetisk rekke

Oppgave 2b

Oppgave:

I en aritmetisk rekke er \(a_1+a_4+a_7=114\).

Bestem \(a_4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal utnytte at leddene \(a_1\), \(a_4\) og \(a_7\) ligger symmetrisk rundt \(a_4\) i en aritmetisk rekke.

Steg 1 — Skriv leddene med differanse

La den faste differansen være \(d\).

Da er \(a_1=a_4-3d\) og \(a_7=a_4+3d\).

Steg 2 — Sett uttrykkene inn i summen

\[a_1+a_4+a_7=\left(a_4-3d\right)+a_4+\left(a_4+3d\right).\]

Steg 3 — Forenkle

\[\left(a_4-3d\right)+a_4+\left(a_4+3d\right)=3a_4.\]

Differanseleddene kansellerer hverandre.

Steg 4 — Bruk opplysningen

\[3a_4=114.\]

Steg 5 — Løs likningen

\[a_4=\dfrac{114}{3}=38.\]

Steg 6 — Kontroll med symmetri

I en aritmetisk rekke er midterste ledd gjennomsnittet av like langt plasserte ledd. Derfor må tre symmetriske ledd ha sum \(3a_4\).

Tolkning

Uansett hvilken differanse rekken har, må det midterste av disse tre leddene være \(38\).

Vanlig feil: Å tro at differansen må bestemmes først. Den trengs ikke, fordi den forsvinner i summen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(3*a4 = 114, a4) → \(a_4=38\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve a4 = symbols('a4') print(solve(3*a4 - 114, a4))

Fasit: \(a_4=38\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Kostnad og enhetskostnad

Oppgave 3a

Oppgave:

I koordinatsystemet ser du grafen til en kostnadsfunksjon \(K\) sammen med tre rette linjer. De tre rette linjene er grafene til funksjonene \(f\), \(g\) og \(h\), der

\[f(x)=31x+2030,\qquad g(x)=60x,\qquad h(x)=81{,}75x.\]

To av linjene tangerer grafen til \(K\). Vi kaller tangeringspunktene \(A\) og \(B\).

Bestem enhetskostnaden ved produksjon av \(40\) enheter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Enhetskostnaden er kostnaden per produsert enhet, altså \(\dfrac{K(x)}{x}\).

Steg 1 — Les av punktet ved \(x=40\)

Av figuren ligger punktet \(A\) ved \(x=40\).

Linjen \(h(x)=81{,}75x\) går gjennom dette punktet.

Steg 2 — Finn kostnaden ved \(40\) enheter

\[K(40)=h(40)=81{,}75\cdot 40=3270.\]

Steg 3 — Skriv definisjonen av enhetskostnad

\[\text{Enhetskostnad}=\dfrac{K(40)}{40}.\]

Steg 4 — Sett inn kostnaden

\[\dfrac{3270}{40}=81{,}75.\]

Steg 5 — Husk benevning

Kostnaden er oppgitt i kroner, så enhetskostnaden er \(81{,}75\) kroner per enhet.

Steg 6 — Kontroll med linjen gjennom origo

Når en linje gjennom origo og punktet \((40,K(40))\) har stigningstall \(81{,}75\), er nettopp dette stigningstallet \(\dfrac{K(40)}{40}\).

Tolkning

Ved produksjon av \(40\) enheter er gjennomsnittlig kostnad per enhet \(81{,}75\) kroner.

Vanlig feil: Å bruke grensekostnaden i stedet for enhetskostnaden. Enhetskostnad er \(K(x)/x\), ikke \(K'(x)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 h(x) := 81.75x → \(h(x)=81{,}75x\) 2 h(40)/40 → \(81{,}75\)

💻 Python

K40 = 81.75*40 print(K40/40)

Fasit: \(81{,}75\) kroner per enhet. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Grensekostnad

Oppgave 3b

Oppgave:

Forklar at grensekostnaden ved produksjon av \(40\) enheter er \(31\) kroner.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen, altså stigningstallet til tangenten.

Steg 1 — Knytt grensekostnad til derivasjon

Grensekostnaden ved \(x=40\) er \(K'(40)\).

Steg 2 — Finn tangenten ved \(x=40\)

Av figuren ser vi at linjen \(f\) tangerer grafen til \(K\) i punktet \(A\).

Steg 3 — Bruk funksjonsuttrykket for tangenten

\[f(x)=31x+2030.\]

Stigningstallet til denne rette linjen er \(31\).

Steg 4 — Bruk tangenttolkningen

Siden \(f\) er tangent til \(K\) ved \(x=40\), har \(f\) og \(K\) samme stigningstall der.

Derfor er \(K'(40)=31\).

Steg 5 — Sett på benevning

\(K\) måles i kroner og \(x\) i enheter. Derfor måles \(K'(40)\) i kroner per enhet.

Steg 6 — Tolk praktisk

Når produksjonen er rundt \(40\) enheter, øker kostnaden med omtrent \(31\) kroner for én ekstra enhet.

Tolkning

Grensekostnaden beskriver endringen i totalkostnaden, ikke den gjennomsnittlige kostnaden.

Vanlig feil: Å bruke punktets \(y\)-verdi eller enhetskostnaden. Grensekostnad er stigningstall til tangent.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(31x + 2030) → \(31\)

💻 Python

from sympy import symbols, diff x = symbols('x') print(diff(31*x + 2030, x))

Fasit: Grensekostnaden ved \(40\) enheter er \(31\) kroner per enhet. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3c Minimum enhetskostnad

Oppgave 3c

Oppgave:

Bestem den minste enhetskostnaden. …