Matematikk S2 Eksamen høsten 2024 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen høst 2024 - løsningsforslag

Bokmål. Alle deloppgaver fra Udir-settet er transkribert og løst med full utledning, tolkning, vanlig feil og digital kontroll der det er relevant.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a integrasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Regn ut integralet \(\int x^2\cdot \ln x\,dx\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Velg metode

Integralet \(\int x^2\ln x\,dx\) er et produkt. Vi bruker delvis integrasjon med \(u=\ln x\) og \(v\'=x^2\).

Steg 2 - Deriver og integrer delene

Vi får \(u\'=\dfrac{1}{x}\) og \(v=\dfrac{x^3}{3}\).

Steg 3 - Bruk formelen for delvis integrasjon

\[\int u\,v\'\,dx=uv-\int u\'v\,dx.\]

Steg 4 - Sett inn

\[\int x^2\ln x\,dx=\dfrac{x^3}{3}\ln x-\int \dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{x^3}{3}\,dx.\]

Steg 5 - Forenkle resten av integralet

\[\int \dfrac{x^2}{3}\,dx=\dfrac{x^3}{9}.\]

Steg 6 - Skriv svaret med konstant

\[\int x^2\ln x\,dx=\dfrac{x^3}{3}\ln x-\dfrac{x^3}{9}+C.\]

Tolkning

Antiderivert betyr en funksjon som har \(x^2\ln x\) som derivert.

Vanlig feil: Å glemme konstanten \(C\), eller å integrere \(\ln x\) direkte uten produktregelen baklengs. GeoGebra · CAS 1 Integral(x^2 ln(x), x) → \(\dfrac{x^3\ln x}{3}-\dfrac{x^3}{9}\) 2 Derivert(x^3 ln(x)/3 - x^3/9) → \(x^2\ln x\)

💻 Python

from sympy import symbols, integrate, log, diff, simplify x = symbols('x', positive=True) F = integrate(x**2*log(x), x) print(F) print(simplify(diff(F, x) - x**2*log(x)))

Fasit: \(\dfrac{x^3}{3}\ln x-\dfrac{x^3}{9}+C\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b bestemt integral

Oppgave 1b

Oppgave:

Bestem \(x\) når \(\int_{-1}^{x}\left(3t^2-1\right)dt=0,\quad x>-1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Regn ut integralet som funksjon av x

\[\int_{-1}^{x}\left(3t^2-1\right)dt=\left[t^3-t\right]_{-1}^{x}.\]

Steg 2 - Sett inn øvre og nedre grense

\[\left(x^3-x\right)-\left((-1)^3-(-1)\right)=x^3-x.\]

Steg 3 - Bruk likningen fra oppgaven

Oppgaven sier at integralet er lik null, altså \(x^3-x=0\).

Steg 4 - Faktoriser

\[x^3-x=x\left(x^2-1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right).\]

Steg 5 - Finn kandidatene

\[x=-1,\quad x=0,\quad x=1.\]

Steg 6 - Bruk vilkåret i oppgaven

Siden \(x>-1\), er \(x=-1\) ikke tillatt. Da står vi igjen med \(x=0\) og \(x=1\).

Tolkning

De to tillatte verdiene gir null netto fortegnsareal fra \(-1\) til \(x\).

Vanlig feil: Å ta med \(x=-1\) selv om oppgaven krever \(x>-1\). GeoGebra · CAS 1 Løs(x^3 - x = 0) → \(x=-1\lor x=0\lor x=1\) 2 Løs({x^3 - x = 0, x > -1}) → \(x=0\lor x=1\)

💻 Python

from sympy import symbols, integrate, solve t, x = symbols('t x') expr = integrate(3*t**2 - 1, (t, -1, x)) print(expr) print([r for r in solve(expr, x) if r > -1])

Fasit: \(x=0\) eller \(x=1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c tolkning av integral

Oppgave 1c

Oppgave:

Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave b).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Se på integralet som nettoareal

Et bestemt integral kan tolkes som nettoareal mellom grafen og \(t\)-aksen.

Steg 2 - Bruk resultatet fra b)

For \(x=0\) og \(x=1\) er integralet fra \(-1\) til \(x\) lik null.

Steg 3 - Forklar praktisk betydning

Det betyr at positivt og negativt bidrag har utlignet hverandre i intervallet.

Steg 4 - Knytt til endring

Hvis \(3t^2-1\) er en endringsfart, betyr svaret at total endring fra \(-1\) til \(x\) er null.

Steg 5 - Skill mellom areal og nettoareal

Nettoareal kan være null selv om grafen ikke ligger på aksen hele tiden.

Steg 6 - Kontroller mot likningen

Siden \(x^3-x=0\) for \(x=0\) og \(x=1\), passer tolkningen med regningen.

Tolkning

Praktisk kan dette beskrive at en størrelse ender på samme nivå som den startet, selv om den har variert underveis.

Vanlig feil: Å si at arealet er null. Det er nettoarealet, altså areal med fortegn, som er null. Fasit: Nettoendringen fra \(-1\) til \(0\) eller fra \(-1\) til \(1\) er \(0\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a aritmetisk rekke

Oppgave 2a

Oppgave:

Finn summen av den aritmetiske rekken \(3+7+11+15+\ldots+399\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Identifiser rekken

Rekken \(3+7+11+15+\ldots+399\) er aritmetisk med \(a_1=3\), differanse \(d=4\) og siste ledd \(399\).

Steg 2 - Finn antall ledd

\[399=3+(n-1)\cdot4.\]

Steg 3 - Løs for n

\[396=4(n-1)\Rightarrow n-1=99\Rightarrow n=100.\]

Steg 4 - Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}.\]

Steg 5 - Sett inn tall

\[S_{100}=\dfrac{100(3+399)}{2}.\]

Steg 6 - Regn ut

\[S_{100}=50\cdot402=20100.\]

Tolkning

Summen av de 100 leddene i rekken er \(20100\).

Vanlig feil: Å bruke \(99\) ledd fordi \(399-3=396\) gir \(99\) differanser. Antall ledd er én mer enn antall differanser. GeoGebra · CAS 1 n := Løs(399 = 3 + (n - 1) 4) → \(n=100\) 2 100 (3 + 399) / 2 → \(20100\)

💻 Python

from sympy import summation, symbols i = symbols('i', integer=True, positive=True) print(summation(3 + (i-1)*4, (i, 1, 100)))

Fasit: \(20100\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b uendelig geometrisk rekke

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem kvotienten \(k\) for en uendelig geometrisk rekke som konvergerer og som har \(a_1=12\) og sum \(18\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Bruk formelen for uendelig geometrisk rekke

Når \(|k|<1\), er \(S=\dfrac{a_1}{1-k}\).

Steg 2 - Sett inn opplysningene

\[18=\dfrac{12}{1-k}.\]

Steg 3 - Løs likningen

\[18(1-k)=12.\]

Steg 4 - Del på 18

\[1-k=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}.\]

Steg 5 - Finn kvotienten

\[k=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}.\]

Steg 6 - Kontroller konvergens

\[\left|\dfrac{1}{3}\right|<1,\] så rekken konvergerer.

Tolkning

Hvert ledd er en tredel av leddet foran.

Vanlig feil: Å skrive \(S=\dfrac{a_1}{k-1}\). Nevneren skal være \(1-k\). GeoGebra · CAS 1 Løs(18 = 12/(1-k), k) → \(k=\dfrac{1}{3}\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve k = symbols('k') print(solve(18 - 12/(1-k), k))

Fasit: \(k=\dfrac{1}{3}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2c periodisk desimaltall

Oppgave 2c

Oppgave:

Vis at tallet \(0{,}75757575\ldots\) kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å vise at \(1{,}75757575\ldots=\dfrac{58}{33}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Skriv desimaltallet som sum

\[0{,}757575\ldots=0{,}75+0{,}0075+0{,}000075+\ldots\] …