Matematikk S2 Eksamen høsten 2013 – løsningsforslag

ifingo løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen Høsten 2013

Komplett løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har transkribert oppgavetekst, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og fullere Python-kontroll med utskrift.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 4 poeng samlet Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Skriv som potens

\[f(x)=x^{-2}\]

Steg 2 - Bruk potensregelen

\[\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\]

Steg 3 - Deriver

\[f\prime(x)=-2x^{-3}\]

Steg 4 - Skriv svaret som brøk

\[f\prime(x)=-\dfrac{2}{x^3}\]

Steg 5 - Kontroller definisjonsmengden

Uttrykket gjelder for \(x\ne 0\).

Steg 6 - Sjekk rimelighet

Når \(x\) øker positivt, blir \(1/x^2\) mindre, derfor er den deriverte negativ.

Tolkning

Den deriverte beskriver hvor raskt funksjonen \(1/x^2\) endrer seg.

Vanlig feil: Å derivere \(x^2\) i nevneren direkte uten å skrive om til potens.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(1/x^2) -> \(-\dfrac{2}{x^3}\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify x = symbols('x') f = 1/x**2 f_derivert = diff(f, x) forventet = -2/x**3 print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Kontroll f'(x) - forventet =", simplify(f_derivert - forventet))

Fasit: \(f\prime(x)=-\dfrac{2}{x^3}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b - 4 poeng samlet Kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=5(x-1)^5\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Identifiser ytre og indre funksjon

Ytre funksjon er femtepotens, og indre funksjon er \(x-1\).

Steg 2 - Bruk kjerneregelen

\[\dfrac{d}{dx}\left(5u^5\right)=25u^4\cdot u\prime\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[u=x-1\quad\Rightarrow\quad u\prime=1\]

Steg 4 - Sett inn

\[g\prime(x)=25(x-1)^4\cdot 1\]

Steg 5 - Forenkle

\[g\prime(x)=25(x-1)^4\]

Steg 6 - Kontroller fortegn og grad

Den deriverte skal være et fjerdegraduttrykk.

Tolkning

Den deriverte er null ved \(x=1\), der grafen har horisontal tangent.

Vanlig feil: Å glemme faktoren fra potensen og bare skrive \(5(x-1)^4\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(5*(x-1)^5) -> \(25(x-1)^4\)

Python

from sympy import symbols, diff, factor, simplify x = symbols('x') g = 5*(x - 1)**5 g_derivert = diff(g, x) print("g(x) =", g) print("g'(x) =", g_derivert) print("g'(x) faktorisert =", factor(g_derivert)) print("Kontroll =", simplify(g_derivert - 25*(x - 1)**4))

Fasit: \(g\prime(x)=25(x-1)^4\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c - 4 poeng samlet Brøkregel og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=\dfrac{e^{-2x}}{x-3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Velg brøkregelen

\[\left(\dfrac{u}{v}\right)\prime=\dfrac{u\prime v-uv\prime}{v^2}\]

Steg 2 - Deriver teller og nevner

\[u=e^{-2x},\ u\prime=-2e^{-2x},\qquad v=x-3,\ v\prime=1\]

Steg 3 - Sett inn i brøkregelen

\[h\prime(x)=\dfrac{(-2e^{-2x})(x-3)-e^{-2x}\cdot 1}{(x-3)^2}\]

Steg 4 - Faktoriser teller

\[h\prime(x)=\dfrac{e^{-2x}\left(-2(x-3)-1\right)}{(x-3)^2}\]

Steg 5 - Forenkle parentesen

\[-2(x-3)-1=-2x+5\]

Steg 6 - Skriv svaret

\[h\prime(x)=\dfrac{(5-2x)e^{-2x}}{(x-3)^2}\]

Tolkning

Funksjonen og den deriverte er ikke definert for \(x=3\).

Vanlig feil: Å bruke produktregelen på telleren, men glemme nevnerens deriverte.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(exp(-2*x)/(x-3)) -> \(\dfrac{(5-2x)e^{-2x}}{(x-3)^2}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify x = symbols('x') h = exp(-2*x)/(x - 3) h_derivert = diff(h, x) forventet = (5 - 2*x)*exp(-2*x)/(x - 3)**2 print("h(x) =", h) print("h'(x) =", h_derivert) print("h'(x) samlet =", factor(h_derivert)) print("Kontroll =", simplify(h_derivert - forventet))

Fasit: \(h\prime(x)=\dfrac{(5-2x)e^{-2x}}{(x-3)^2}\), \(x\ne 3\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a - 5 poeng samlet Polynomdivisjon

Oppgave 2a

Oppgave:

Vis at polynomdivisjonen \((x^3+2x^2-21x+18):(x-1)\) går opp, uten å gjennomføre divisjonen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorsetningen

Divisjonen med \(x-1\) går opp dersom polynomet har nullpunkt \(x=1\).

Steg 2 - Sett inn \(x=1\)

\[P(1)=1^3+2\cdot1^2-21\cdot1+18\]

Steg 3 - Regn ut

\[P(1)=1+2-21+18=0\]

Steg 4 - Trekk konklusjon

Siden resten er \(0\), er \(x-1\) en faktor.

Steg 5 - Knytt til divisjon

Når resten er null, sier vi at divisjonen går opp.

Steg 6 - Kontroller metoden

Vi trengte ikke å finne hele kvotienten.

Tolkning

Faktorsetningen er raskeste metode når divisoren er lineær.

Vanlig feil: Å utføre lang polynomdivisjon selv om oppgaven spør om å vise at divisjonen går opp.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 P(x):=x^3+2*x^2-21*x+18 -> \(P(1)=0\)

Python

from sympy import symbols, rem x = symbols('x') P = x**3 + 2*x**2 - 21*x + 18 rest = rem(P, x - 1, domain='QQ') print("P(x) =", P) print("P(1) =", P.subs(x, 1)) print("Rest ved divisjon med x - 1 =", rest)

Fasit: Divisjonen går opp fordi \(P(1)=0\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b - 5 poeng samlet Faktorisering

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig \(\dfrac{x^3+2x^2-21x+18}{x^2-1}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Faktoriser nevneren

\[x^2-1=(x-1)(x+1)\]

Steg 2 - Bruk resultatet fra a

Telleren har faktoren \(x-1\).

Steg 3 - Faktoriser telleren

\[x^3+2x^2-21x+18=(x-1)(x+6)(x-3)\]

Steg 4 - Sett inn i brøken

\[\dfrac{(x-1)(x+6)(x-3)}{(x-1)(x+1)}\]

Steg 5 - Forkort felles faktor

\[\dfrac{(x+6)(x-3)}{x+1}\]

Steg 6 - Husk begrensninger

Opprinnelig nevner gir \(x\ne 1\) og \(x\ne -1\).

Tolkning

Uttrykket kan forkortes, men de opprinnelige forbudte \(x\)-verdiene gjelder fortsatt.

Vanlig feil: Å glemme at \(x=1\) fortsatt ikke er lov etter forkorting.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Faktoriser((x^3+2*x^2-21*x+18)/(x^2-1)) -> \(\dfrac{(x+6)(x-3)}{x+1}\)

Python

from sympy import symbols, factor, cancel x = symbols('x') uttrykk = (x**3 + 2*x**2 - 21*x + 18)/(x**2 - 1) print("Uttrykk =", uttrykk) print("Telleren faktorisert =", factor(x**3 + 2*x**2 - 21*x + 18)) print("Nevneren faktorisert =", factor(x**2 - 1)) print("Forkortet uttrykk =", cancel(uttrykk))

Fasit: \(\dfrac{(x+6)(x-3)}{x+1}\), der \(x\ne \pm 1\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2c - 5 poeng samlet Polynom med parameter

Oppgave 2c

Oppgave:

Bestem tallene \(a\) og \(b\) slik at divisjonen \((x^3+ax+b):(x^2+2x-3)\) går opp.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Faktoriser divisoren

\[x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\]

Steg 2 - Bruk nullpunktene

For at divisjonen skal gå opp, må telleren være null for \(x=1\) og \(x=-3\).

Steg 3 - Sett inn \(x=1\)

\[1+a+b=0\]

Steg 4 - Sett inn \(x=-3\)

\[-27-3a+b=0\]

Steg 5 - Løs systemet

\[a=-7,\qquad b=6\]

Steg 6 - Kontroller

\[x^3-7x+6=(x-1)(x+2)(x-3)\]

Tolkning

Tallene må gjøre telleren delelig med begge faktorene i divisoren. …