Matematikk S2 Eksamen høsten 2022 (K06) – løsningsforslag

Matematikk S2 · Udir

Matematikk S2 eksamen H22 (K06) – løsningsforslag

Komplett ifingo-løsningsforslag på bokmål. Oppgavene er transkribert fra bokmålsdelen av eksamenssettet og løst med trinnvis forklaring, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses med algebra, derivasjon, rekker, optimering og sannsynlighetsregning for hånd. Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \( f(x)=e^{2x}+x^3 \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk kjerneregelen på eksponentialleddet

\[ \dfrac{d}{dx}\left(e^{2x}\right)=2e^{2x} \]

Eksponenten har indre funksjon \(2x\), og den deriverte av \(2x\) er \(2\).

Steg 2 — Deriver potensleddet

\[ \dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2 \]

Potensregelen gir at eksponenten flyttes ned og reduseres med \(1\).

Steg 3 — Legg sammen bidragene

\[ f'(x)=2e^{2x}+3x^2 \]

Summeregelen sier at vi kan derivere ledd for ledd.

Steg 4 — Tolkning

Den deriverte beskriver stigningstallet til grafen til \(f\).

Steg 5 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(2\) fra kjerneregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(exp(2x)+x^3) → \(2e^{2x}+3x^2\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff x = symbols("x") f = exp(2*x) + x**3 print(diff(f, x))

Fasit: \( f'(x)=2e^{2x}+3x^2 \) (kontrollert digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Derivasjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \( g(x)=\ln\left(x^2+4\right) \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Identifiser ytre og indre funksjon

Ytre funksjon er \(\ln(u)\), og indre funksjon er \(u=x^2+4\).

Steg 2 — Deriver logaritmen med kjerneregelen

\[ \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u} \]

Steg 3 — Finn den indre deriverte

\[ u'=2x \]

Steg 4 — Sett sammen uttrykket

\[ g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+4} \]

Steg 5 — Tolkning

Stigningstallet er negativt når \(x<0\), null når \(x=0\), og positivt når \(x>0\).

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å skrive \(\dfrac{1}{x^2+4}\) og glemme \(2x\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(ln(x^2+4)) → \(\dfrac{2x}{x^2+4}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff x = symbols("x") g = log(x**2 + 4) print(diff(g, x))

Fasit: \( g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+4} \) (kontrollert digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 2

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved \(36-24+16-\dfrac{32}{3}+\cdots\). Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn første ledd

\[ a_1=36 \]

Steg 2 — Finn kvotienten

\[ k=\dfrac{-24}{36}=-\dfrac{2}{3} \]

Steg 3 — Kontroller konvergenskravet

\[ |k|=\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}<1 \]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \(|k|<1\).

Steg 4 — Bruk sumformelen

\[ S=\dfrac{a_1}{1-k} \]

Steg 5 — Sett inn verdiene

\[ S=\dfrac{36}{1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)}=\dfrac{36}{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{108}{5}=21{,}6 \]

Steg 6 — Tolkning

Summen er grenseverdien rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(1+k\) mekanisk uten å ta hensyn til at \(k\) allerede er negativ.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 36/(1-(-2/3)) → \(\dfrac{108}{5}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import Rational a1 = 36 k = Rational(-2, 3) S = a1/(1-k) print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og \( S=\dfrac{108}{5}=21{,}6 \) (kontrollert digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Polynomdivisjon og faktorisering

Oppgave 3a

Oppgave:

Funksjonen \( f \) er gitt ved \( f(x)=-2x^3+6x^2-8 \). Bruk blant annet polynomdivisjon til å vise at \( f(x)=-2(x+1)(x-2)^2 \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Trekk ut felles faktor

\[ f(x)=-2\left(x^3-3x^2+4\right) \]

Steg 2 — Test roten \(x=2\)

\[ 2^3-3\cdot2^2+4=8-12+4=0 \]

Dermed er \(x-2\) en faktor.

Steg 3 — Del polynomet på \(x-2\)

\[ x^3-3x^2+0x+4=(x-2)(x^2-x-2) \]

Steg 4 — Faktoriser andregradspolynomet

\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]

Steg 5 — Sett alt sammen

\[ f(x)=-2(x-2)(x-2)(x+1)=-2(x+1)(x-2)^2 \]

Steg 6 — Tolkning

Faktoriseringen viser at \(x=-1\) er enkel nullrot og \(x=2\) er dobbel nullrot.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å miste faktoren \(-2\) etter polynomdivisjonen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Faktoriser(-2x^3+6x^2-8) → \(-2(x+1)(x-2)^2\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor x = symbols("x") f = -2*x**3 + 6*x**2 - 8 print(factor(f))

Fasit: \( f(x)=-2(x+1)(x-2)^2 \) (kontrollert digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Ulikhet

Oppgave 3b

Oppgave:

Løs ulikheten \( f(x)\le 0 \) når \( f(x)=-2(x+1)(x-2)^2 \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk faktoriseringen

\[ f(x)=-2(x+1)(x-2)^2 \]

Steg 2 — Vurder kvadratfaktoren

Faktoren \((x-2)^2\) er alltid større enn eller lik \(0\).

Steg 3 — Finn fortegnet

For \(x e2\) bestemmes fortegnet av \(-2(x+1)\).

Steg 4 — Løs fortegnskravet

\[ -2(x+1)\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+1\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge -1 \]

Steg 5 — Ta med nullpunktene

Ved \(x=-1\) og \(x=2\) er funksjonsverdien \(0\), og begge skal med.

Steg 6 — Tolkning

Grafen ligger på eller under \(x\)-aksen fra og med \(-1\).

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å la den doble roten \(x=2\) skifte fortegn. En dobbel rot skifter ikke fortegn.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(-2(x+1)(x-2)^2 <= 0) → \(x\ge -1\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality x = symbols("x", real=True) print(solve_univariate_inequality(-2*(x+1)*(x-2)**2 <= 0, x))

Fasit: \( x\ge -1 \) (kontrollert digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3c Eksponentiallikning

Oppgave 3c

Oppgave:

Løs likningen \( e^{3x}-3e^{2x}+4=0 \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Innfør en ny variabel

\[ u=e^x,\qquad u>0 \]

Steg 2 — Skriv likningen som polynom

\[ u^3-3u^2+4=0 \]

Steg 3 — Faktoriser polynomet

\[ u^3-3u^2+4=(u-2)^2(u+1) \]

Steg 4 — Bruk kravet \(u>0\)

Løsningen \(u=-1\) forkastes fordi \(e^x\) alltid er positiv.

Steg 5 — Løs for \(x\)

\[ e^x=2\quad\Longrightarrow\quad x=\ln 2 \]

Steg 6 — Tolkning

Likningen har én reell løsning, selv om \(u=2\) er en dobbel rot. …