Matematikk S2 Eksamen høsten 2021 – løsningsforslag

ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen H21 – løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er ført med trinnvis metode, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og kjørbar Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 er løst med håndførbare metoder: derivasjon, polynomregning, rekker, marginalanalyse og normalfordeling. Del 1 - Oppgave 1a - 3 poeng Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \( f(x)=x^3+e^x \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

Funksjonen er en sum. Summeregelen sier at vi kan derivere hvert ledd for seg.

Steg 2 — Deriver potensleddet

\[ \dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2 \]

Steg 3 — Deriver eksponentialleddet

\[ \dfrac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x \]

Steg 4 — Sett sammen uttrykket

\[ f'(x)=3x^2+e^x \]

Steg 5 — Tolkning

Den deriverte beskriver vekstfarten til grafen til \(f\). Her består vekstfarten av ett polynomledd og ett eksponentialledd.

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å derivere \(e^x\) som om det var et potensledd. \(e^x\) er sin egen deriverte.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(x^3 + exp(x)) -> \(3x^2+e^x\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import * print("Oppgave 1a: derivasjon") print("-"*72) x = symbols('x') f = x**3 + exp(x) f_derivert = diff(f, x) print('f(x) =', f) print('f_derivert =', f_derivert) print("-"*72) print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \( f'(x)=3x^2+e^x \). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b - 3 poeng Kjerneregel og logaritme

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \( g(x)=\ln\left(x^3+1\right) \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Kjenn igjen sammensatt funksjon

Ytre funksjon er \(\ln u\), og indre funksjon er \(u=x^3+1\).

Steg 2 — Deriver ytre funksjon

\[ \dfrac{d}{dx}\left(\ln u\right)=\dfrac{u'}{u} \]

Steg 3 — Deriver indre funksjon

\[ u=x^3+1\quad\Rightarrow\quad u'=3x^2 \]

Steg 4 — Sett inn i kjerneregelen

\[ g'(x)=\dfrac{3x^2}{x^3+1} \]

Steg 5 — Kontroller definisjonsområdet

Logaritmen krever \(x^3+1>0\), altså \(x>-1\).

Steg 6 — Tolkning

Den deriverte er positiv for \(x e0\) i definisjonsområdet, siden telleren er ikke-negativ og nevneren positiv.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å skrive den deriverte som \(\dfrac{1}{x^3+1}\) og glemme den indre deriverte \(3x^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(ln(x^3+1)) -> \(\dfrac{3x^2}{x^3+1}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import * print("Oppgave 1b: kjerneregel") print("-"*72) x = symbols('x') g = log(x**3 + 1) g_derivert = simplify(diff(g, x)) print('g(x) =', g) print('g_derivert =', g_derivert) print("-"*72) print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \( g'(x)=\dfrac{3x^2}{x^3+1} \). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a - 7 poeng Polynom og faktorregel

Oppgave 2a

Oppgave:

Polynomet \(P\) er gitt ved \(P(x)=x^3-2x^2-31x-28\). Vis, uten å utføre polynomdivisjon, at \(P(x)\) ikke er delelig med \(x-1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk faktorregelen

Et polynom \(P(x)\) er delelig med \(x-a\) hvis og bare hvis \(P(a)=0\).

Steg 2 — Finn hvilken verdi som skal testes

Faktoren \(x-1\) svarer til \(a=1\).

Steg 3 — Regn ut funksjonsverdien

\[ P(1)=1^3-2\cdot1^2-31\cdot1-28 \]

Steg 4 — Forenkle

\[ P(1)=1-2-31-28=-60 \]

Steg 5 — Trekk konklusjonen

Siden \(P(1) e0\), er \(x-1\) ikke en faktor i \(P(x)\).

Steg 6 — Tolkning

Grafen har ikke nullpunkt ved \(x=1\), og polynomet kan derfor ikke deles uten rest på \(x-1\).

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å utføre polynomdivisjon selv om oppgaven uttrykkelig ber om en løsning uten polynomdivisjon.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 P(1) -> \(-60\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import * print("Oppgave 2a: faktorregel") print("-"*72) x = symbols('x') P = x**3 - 2*x**2 - 31*x - 28 verdi = P.subs(x, 1) print('P(x) =', P) print('P(1) =', verdi) print('Delelig med x - 1?', verdi == 0) print("-"*72) print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(P(1)=-60\), derfor er \(P(x)\) ikke delelig med \(x-1\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b - 7 poeng Polynomdivisjon

Oppgave 2b

Oppgave:

Utfør polynomdivisjonen \(P(x):(x+1)\), der \(P(x)=x^3-2x^2-31x-28\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv divisjonen

Vi skal dele et tredjegradspolynom på førstegradspolynomet \(x+1\).

Steg 2 — Test roten til divisoren

Divisoren \(x+1\) har rot \(x=-1\). Dette kan brukes som kontroll.

Steg 3 — Utfør divisjonen

\[ x^3-2x^2-31x-28=(x+1)(x^2-3x-28) \]

Steg 4 — Kontroller ved utvidelse

\[ (x+1)(x^2-3x-28)=x^3-2x^2-31x-28 \]

Steg 5 — Faktoriser kvotienten

\[ x^2-3x-28=(x-7)(x+4) \]

Steg 6 — Tolkning

Polynomdivisjonen viser at \(x+1\) er en faktor og at resten er \(0\).

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å få fortegnet feil i divisoren. Her er \(x+1\), ikke \(x-1\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Divisjon(x^3 - 2x^2 - 31x - 28, x + 1) -> \(x^2-3x-28\), rest \(0\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import * print("Oppgave 2b: polynomdivisjon") print("-"*72) x = symbols('x') P = x**3 - 2*x**2 - 31*x - 28 kvotient, rest = div(P, x + 1) print('Kvotient =', kvotient) print('Rest =', rest) print('Kontroll:', expand((x + 1)*kvotient + rest)) print("-"*72) print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(P(x):(x+1)=x^2-3x-28\), med rest \(0\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2c - 7 poeng Ulikhet med polynom

Oppgave 2c

Oppgave:

Løs ulikheten \(P(x)\ge0\), der \(P(x)=x^3-2x^2-31x-28\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Faktoriser polynomet

\[ P(x)=(x+1)(x^2-3x-28) \]

Steg 2 — Faktoriser andregradsfaktoren

\[ x^2-3x-28=(x-7)(x+4) \]

Steg 3 — Skriv full faktorisering

\[ P(x)=(x+4)(x+1)(x-7) \]

Steg 4 — Finn nullpunktene

\[ x=-4,\quad x=-1,\quad x=7 \]

Steg 5 — Lag fortegnslinje

Med positiv ledende koeffisient skifter fortegnet i hvert enkelt nullpunkt.

Steg 6 — Velg intervallene der produktet er positivt eller null

\[ P(x)\ge0\quad\text{for}\quad x\in[-4,-1]\cup[7,\infty) \]

Steg 7 — Tolkning

Grafen ligger på eller over \(x\)-aksen i disse intervallene.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å ta med intervallet \((-\infty,-4]\). Et testpunkt, for eksempel \(x=-5\), gir negativt produkt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Løs(x^3 - 2x^2 - 31x - 28 >= 0) -> \([-4,-1]\cup[7,\infty)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import * print("Oppgave 2c: ulikhet") print("-"*72) x = symbols('x', real=True) P = x**3 - 2*x**2 - 31*x - 28 print('Faktorisert:', factor(P)) print('Løsningsmengde:', solve_univariate_inequality(P >= 0, x)) print("-"*72) print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(x\in[-4,-1]\cup[7,\infty)\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2d - 7 poeng Eksponentiallikning

Oppgave 2d

Oppgave:

Løs likningen \(e^{3x}-2e^{2x}-31e^x-28=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Gjør substitusjon

Sett \(u=e^x\). Siden \(e^x>0\), må \(u>0\).

Steg 2 — Skriv likningen som polynom

\[ u^3-2u^2-31u-28=0 \]

Steg 3 — Faktoriser polynomet

\[ u^3-2u^2-31u-28=(u+1)(u+4)(u-7) \]

Steg 4 — Finn mulige u-verdier

\[ u=-1,\quad u=-4,\quad u=7 \]

Steg 5 — Bruk kravet \(u>0\)

De negative verdiene kan ikke være lik \(e^x\). Derfor står bare \(u=7\) igjen.

Steg 6 — Gå tilbake til \(x\)

\[ e^x=7\quad\Rightarrow\quad x=\ln 7 \]

Steg 7 — Tolkning

Likningen har én reell løsning fordi bare én av røttene i polynomet er positiv. …