Matematikk S2 Eksamen våren 2013 – løsningsforslag

ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen V13 – løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave er transkribert, løst trinnvis og kontrollert med GeoGebra CAS og Python. Python-blokkene er skrevet som realistiske kontrollprogrammer med mellomresultater og utskrift.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 3 poeng Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=x\cdot e^{2x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Kjenn igjen produktet

Funksjonen er et produkt av \(x\) og \(e^{2x}\). Derfor bruker vi produktregelen.

Steg 2 — Sett opp produktregelen

\[f'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot \left(e^{2x}\right)'\]

Steg 3 — Deriver eksponentialdelen

Kjerneregelen gir \(\left(e^{2x}\right)'=2e^{2x}\).

Steg 4 — Sett inn og faktoriser

\[f'(x)=e^{2x}+2xe^{2x}=e^{2x}\left(1+2x\right)\]

Steg 5 — Kontroller formen

Begge leddene inneholder \(e^{2x}\), så faktoriseringen er rimelig.

Tolkning

Den momentane vekstfarten er produktet av eksponentialfaktoren og den lineære faktoren \(1+2x\).

Vanlig feil: Å glemme kjerneregelen og skrive \(\left(e^{2x}\right)'=e^{2x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(x*e^(2x),x) → \(e^{2x}\left(2x+1\right)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, factor, pprint x = symbols('x') f = x*exp(2*x) f_derivert = diff(f, x) f_faktorisert = factor(f_derivert) print('Funksjon f(x):') pprint(f) print("\\nDerivert f'(x):") pprint(f_derivert) print('\\nFaktorisert form:') pprint(f_faktorisert)

Fasit: \(f'(x)=e^{2x}\left(1+2x\right)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b - 3 poeng Derivasjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{x-1}{x^2-3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Kjenn igjen brøken

Her har vi en kvotient, så vi bruker kvotientregelen.

Steg 2 — Definer teller og nevner

La \(u=x-1\) og \(v=x^2-3\). Da er \(u'=1\) og \(v'=2x\).

Steg 3 — Bruk kvotientregelen

\[g'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{1\cdot\left(x^2-3\right)-\left(x-1\right)\cdot 2x}{\left(x^2-3\right)^2}\]

Steg 4 — Forenkle telleren

\[x^2-3-2x\left(x-1\right)=x^2-3-2x^2+2x=-x^2+2x-3\]

Steg 5 — Skriv svaret samlet

\[g'(x)=\dfrac{-x^2+2x-3}{\left(x^2-3\right)^2}\]

Tolkning

Den deriverte er definert der den opprinnelige funksjonen er definert, altså når \(x^2-3\ne 0\).

Vanlig feil: Å derivere teller og nevner hver for seg og sette \(g'(x)=\dfrac{1}{2x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert((x-1)/(x^2-3),x) → \(\dfrac{-x^2+2x-3}{\left(x^2-3\right)^2}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, factor, simplify, pprint x = symbols('x') g = (x - 1)/(x**2 - 3) g_derivert = diff(g, x) g_forenklet = simplify(g_derivert) print('Funksjon g(x):') pprint(g) print("\\nDerivert g'(x):") pprint(g_derivert) print('\\nForenklet form:') pprint(g_forenklet)

Fasit: \(g'(x)=\dfrac{-x^2+2x-3}{\left(x^2-3\right)^2}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a - 4 poeng Polynomdivisjon

Oppgave 2a

Oppgave:

Forkort brøken ved å bruke polynomdivisjon: \(\dfrac{x^3-1}{x-1}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Se etter kjent identitet

Telleren er en differanse av tredje potenser.

Steg 2 — Faktoriser telleren

\[x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\]

Steg 3 — Forkort felles faktor

\[\dfrac{x^3-1}{x-1}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x-1}=x^2+x+1\]

Steg 4 — Husk definisjonsvilkåret

Forkortingen gjelder for \(x\ne 1\), siden den opprinnelige nevneren ikke kan være null.

Steg 5 — Kontroller ved multiplikasjon

\[\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=x^3-1\]

Tolkning

Brøken kan erstattes av et andregradspolynom overalt der den opprinnelige brøken er definert.

Vanlig feil: Å skrive bare \(x^2+x+1\) uten å merke seg at \(x=1\) ikke er tillatt i originalbrøken.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 PolynomDivisjon(x^3-1,x-1) → \(x^2+x+1\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, div, factor, simplify, pprint x = symbols('x') teller = x**3 - 1 nevner = x - 1 kvotient, rest = div(teller, nevner) forenklet = simplify(teller/nevner) print('Polynomdivisjon av x**3 - 1 med x - 1') print('Kvotient:', kvotient) print('Rest:', rest) print('\\nFaktorisering:') pprint(factor(teller)) print('\\nForenklet uttrykk:') pprint(forenklet)

Fasit: \(\dfrac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1\), for \(x\ne 1\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b - 4 poeng Polynomdivisjon

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem tallet \(a\) slik at divisjonen \(\left(x^2-2x+a\right):\left(x-3\right)\) går opp.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Bruk restsetningen

Divisjonen går opp hvis \(x=3\) er nullpunkt for polynomet.

Steg 2 — Sett inn \(x=3\)

\[3^2-2\cdot 3+a=0\]

Steg 3 — Løs likningen

\[9-6+a=0\]

Steg 4 — Finn \(a\)

\[a=-3\]

Steg 5 — Kontroller faktorisering

Når \(a=-3\), får vi \(x^2-2x-3=\left(x-3\right)\left(x+1\right)\).

Tolkning

Tallet \(a\) må gjøre \(x-3\) til en faktor i polynomet.

Vanlig feil: Å dele langt uten å bruke den raske restsetningen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Løs(3^2-2*3+a=0,a) → \(a=-3\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, factor, pprint x, a = symbols('x a') polynom = x**2 - 2*x + a likning = polynom.subs(x, 3) losning = solve(likning, a) print('Rest ved divisjon med x - 3:') pprint(likning) print('\\nLøsning for a:') print(losning) print('\\nKontroll med a = -3:') pprint(factor(polynom.subs(a, -3)))

Fasit: \(a=-3\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2c - 4 poeng Polynomdivisjon

Oppgave 2c

Oppgave:

Bestem tallet \(b\) slik at divisjonen \(\left(x^2-3x-4\right):\left(x-b\right)\) går opp.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Bruk restsetningen

Divisjonen går opp når \(x=b\) er et nullpunkt i \(x^2-3x-4\).

Steg 2 — Faktoriser polynomet

\[x^2-3x-4=\left(x-4\right)\left(x+1\right)\]

Steg 3 — Finn nullpunktene

\[x=4\quad \text{eller}\quad x=-1\]

Steg 4 — Knytt dette til \(x-b\)

Hvis \(x-b\) skal være faktor, må \(b\) være et nullpunkt.

Steg 5 — Skriv alle muligheter

\[b=4\quad \text{eller}\quad b=-1\]

Tolkning

Det finnes to mulige verdier fordi andregradspolynomet har to lineære faktorer.

Vanlig feil: Å gi bare én verdi for \(b\) når polynomet har to nullpunkter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Faktoriser(x^2-3x-4) → \(\left(x-4\right)\left(x+1\right)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, factor, pprint x, b = symbols('x b') polynom = x**2 - 3*x - 4 nullpunkter = solve(polynom, x) print('Polynom:') pprint(polynom) print('\\nFaktorisert:') pprint(factor(polynom)) print('\\nMulige verdier for b:') print(nullpunkter)

Fasit: \(b=4\) eller \(b=-1\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3 - 2 poeng Geometrisk rekke

Oppgave 3

Oppgave:

Det \(n\)-te leddet i en geometrisk rekke er gitt ved \(a_n=11\cdot\left(-0{,}1\right)^{n-1}\). Forklar at rekken er konvergent. Hva blir summen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Finn første ledd og kvotient

Her er \(a_1=11\) og kvotienten \(k=-0{,}1\).

Steg 2 — Sjekk konvergenskravet

\[\left|k\right|=\left|-0{,}1\right|=0{,}1<1\]

Steg 3 — Bruk formelen for uendelig geometrisk rekke

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}\]

Steg 4 — Sett inn tall

\[S=\dfrac{11}{1-\left(-0{,}1\right)}=\dfrac{11}{1{,}1}=10\]

Steg 5 — Kontroller rimelighet

Fordi kvotienten er negativ, vil leddene veksle fortegn og summen blir mindre enn første ledd.

Tolkning

Rekken konvergerer fordi leddene blir mindre i absoluttverdi, og summen er en grenseverdi. …