Matematikk S2 Eksamen våren 2017 – løsningsforslag

Matematikk S2 - Udir

Matematikk S2 eksamen V17 - løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål med Del 1 og Del 2, trinnvis regning, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 5 poeng samlet Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=x^2-\dfrac{2}{x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv funksjonen med potens

\[f(x)=x^2-2x^{-1}\]

Steg 2 - Bruk potensregelen

\[\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\]

Steg 3 - Deriver første ledd

\[\dfrac{d}{dx}\left(x^2\right)=2x\]

Steg 4 - Deriver andre ledd

\[\dfrac{d}{dx}\left(-2x^{-1}\right)=2x^{-2}\]

Steg 5 - Skriv svaret som brøk

\[f'(x)=2x+\dfrac{2}{x^2}\]

Tolkning

Den deriverte gir stigningstallet til grafen til \(f\) for \(x\ne 0\).

Vanlig feil: Å derivere \(\dfrac{2}{x}\) som om nevneren var konstant.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(x^2-2/x) -> \(2x+\dfrac{2}{x^2}\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify x = symbols('x') f = x**2 - 2/x f_derivert = diff(f, x) print("f(x) =", f) print("f'(x) før forenkling =", f_derivert) print("f'(x) forenklet =", simplify(f_derivert)) print("Definisjonskrav: x != 0")

Fasit: \(f'(x)=2x+\dfrac{2}{x^2}\) for \(x\ne 0\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b - 5 poeng samlet Logaritme og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=\ln\left(x^2+1\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn den indre funksjonen

\[u=x^2+1\]

Steg 2 - Bruk regelen for logaritme

\[\dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u\prime}{u}\]

Steg 3 - Deriver den indre funksjonen

\[u\prime=2x\]

Steg 4 - Sett inn i kjerneregelen

\[g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\]

Steg 5 - Kontroller definisjon

Siden \(x^2+1>0\) for alle reelle \(x\), er funksjonen definert for alle reelle tall.

Tolkning

Telleren kommer fra den deriverte av uttrykket inni logaritmen.

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(2x\) fra kjerneregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(ln(x^2+1)) -> \(\dfrac{2x}{x^2+1}\)

Python

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x') g = log(x**2 + 1) g_derivert = diff(g, x) print("g(x) =", g) print("g'(x) =", simplify(g_derivert)) print("Kontroll: x**2 + 1 er positiv for alle reelle x.")

Fasit: \(g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c - 5 poeng samlet Produktregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=x^2e^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se produktet

Funksjonen er et produkt av \(x^2\) og \(e^x\).

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 3 - Sett \(u=x^2\) og \(v=e^x\)

\[u\prime=2x,\qquad v\prime=e^x\]

Steg 4 - Regn ut den deriverte

\[h'(x)=2xe^x+x^2e^x\]

Steg 5 - Faktoriser

\[h'(x)=e^x\left(x^2+2x\right)\]

Tolkning

Faktorisert form gjør fortegnsanalyse enklere.

Vanlig feil: Å bruke bare potensregelen og glemme at \(e^x\) også er en faktor.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(x^2*e^x) -> \(e^x\left(x^2+2x\right)\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, factor x = symbols('x') h = x**2 * exp(x) h_derivert = diff(h, x) print("h(x) =", h) print("h'(x) før faktorisering =", h_derivert) print("h'(x) faktorisert =", factor(h_derivert))

Fasit: \(h'(x)=e^x\left(x^2+2x\right)\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 - 2 poeng Lineært likningssystem

Oppgave 2

Oppgave:

Løs likningssystemet

\[\begin{aligned}x+y-z&=0\\2x+y-z&=2\\4x+y-2z&=1\end{aligned}\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Trekk første likning fra andre

\[(2x+y-z)-(x+y-z)=2-0\Rightarrow x=2\]

Steg 2 - Sett \(x=2\) inn i første likning

\[2+y-z=0\Rightarrow y-z=-2\]

Steg 3 - Sett \(x=2\) inn i tredje likning

\[8+y-2z=1\Rightarrow y-2z=-7\]

Steg 4 - Trekk likningene fra hverandre

\[(y-z)-(y-2z)=-2-(-7)\Rightarrow z=5\]

Steg 5 - Finn \(y\)

\[y-5=-2\Rightarrow y=3\]

Steg 6 - Kontroller i alle tre likninger

Innsetting gir venstresidene \(0\), \(2\) og \(1\), som stemmer med høyresidene.

Tolkning

Løsningen er punktet der de tre planene skjærer hverandre.

Vanlig feil: Å kontrollere bare én av likningene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Løs({x+y-z=0,2x+y-z=2,4x+y-2z=1},{x,y,z}) -> \(x=2,\ y=3,\ z=5\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve x, y, z = symbols('x y z') likninger = [ Eq(x + y - z, 0), Eq(2*x + y - z, 2), Eq(4*x + y - 2*z, 1), ] losning = solve(likninger, (x, y, z), dict=True)[0] print("Løsning:", losning) print("Kontroll av hver likning:") for nr, likning in enumerate(likninger, start=1): print(f"Likning {nr}:", likning.subs(losning), "->", bool(likning.subs(losning)))

Fasit: \(x=2\), \(y=3\) og \(z=5\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a - 6 poeng samlet Aritmetisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

I en aritmetisk rekke \(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\) er \(a_1=3\) og \(a_6=18\). Bestem differansen \(d\), og bestem en formel for \(a_n\) uttrykt ved \(n\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk leddformelen

\[a_n=a_1+(n-1)d\]

Steg 2 - Sett inn opplysningen \(a_6=18\)

\[18=3+(6-1)d\]

Steg 3 - Løs for differansen

\[15=5d\Rightarrow d=3\]

Steg 4 - Finn generell formel

\[a_n=3+(n-1)3\]

Steg 5 - Forenkle

\[a_n=3n\]

Tolkning

Hvert ledd er tre ganger leddnummeret.

Vanlig feil: Å bruke \(6d\) i stedet for \(5d\) fra første til sjette ledd.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Løs(18=3+(6-1)*d,d) -> \(d=3\) 2 a(n):=3+(n-1)*3 -> \(a_n=3n\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, expand n, d = symbols('n d') a1 = 3 likning = Eq(18, a1 + (6 - 1)*d) d_verdi = solve(likning, d)[0] an = expand(a1 + (n - 1)*d_verdi) print("Likning for differansen:", likning) print("Differanse d =", d_verdi) print("Formel for a_n =", an)

Fasit: \(d=3\) og \(a_n=3n\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b - 6 poeng samlet Sum av aritmetisk rekke

Oppgave 3b

Oppgave:

Vis at summen av de \(n\) første leddene kan skrives som \(S_n=\dfrac{3}{2}n(n+1)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk resultatet fra del a

\[a_1=3,\qquad a_n=3n\]

Steg 2 - Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\]

Steg 3 - Sett inn

\[S_n=\dfrac{n\left(3+3n\right)}{2}\]

Steg 4 - Faktoriser parentesen

\[3+3n=3(n+1)\]

Steg 5 - Skriv på ønsket form

\[S_n=\dfrac{3}{2}n(n+1)\]

Tolkning

Summen vokser kvadratisk med antall ledd.

Vanlig feil: Å bruke siste ledd som \(n\) i stedet for \(3n\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Sum(3*k,k,1,n) -> \(\dfrac{3}{2}n(n+1)\)

Python

from sympy import symbols, summation, factor k, n = symbols('k n', integer=True, positive=True) an = 3*k Sn = summation(an, (k, 1, n)) print("Leddformel:", an) print("Sumformel før faktorisering:", Sn) print("Sumformel faktorisert:", factor(Sn))

Fasit: \(S_n=\dfrac{3}{2}n(n+1)\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3c - 6 poeng samlet Likning med sumformel

Oppgave 3c

Oppgave:

Hvor mange ledd må vi ha med for at summen skal bli \(84\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett sumformelen lik 84

\[\dfrac{3}{2}n(n+1)=84\]

Steg 2 - Multipliser med \(\dfrac{2}{3}\)

\[n(n+1)=56\]

Steg 3 - Skriv som andregradslikning

\[n^2+n-56=0\]

Steg 4 - Faktoriser

\[(n-7)(n+8)=0\]

Steg 5 - Velg positiv løsning

\[n=7\]

Tolkning

Antall ledd må være et positivt heltall, derfor forkaster vi \(n=-8\). …