Matematikk S2 Eksamen våren 2018 – løsningsforslag

Matematikk S2 - Udir

Matematikk S2 eksamen Våren 2018 - løsningsforslag

Alle oppgaver er transkribert på bokmål og løst trinnvis med tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og realistisk Python-kontroll.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 5 poeng samlet Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=2x^3-4x+1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver ledd for ledd

\[\dfrac{d}{dx}\left(2x^3\right)=6x^2\]

Vi bruker potensregelen \(\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\).

Steg 2 - Deriver lineærleddet

\[\dfrac{d}{dx}\left(-4x\right)=-4\]

Steg 3 - Deriver konstantleddet

\[\dfrac{d}{dx}(1)=0\]

Steg 4 - Sett sammen

\[f'(x)=6x^2-4+0\]

Steg 5 - Forenkle

\[f'(x)=6x^2-4\]

Tolkning

Den deriverte gir stigningstallet til grafen for hvert punkt \(x\).

Vanlig feil: Å glemme at konstantleddet får derivert lik null.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(2*x^3-4*x+1) -> \(6x^2-4\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify x = symbols('x') f = 2*x**3 - 4*x + 1 f_derivert = diff(f, x) print("Funksjon f(x):", f) print("Derivert f'(x):", f_derivert) print("Forenklet svar:", simplify(f_derivert))

Fasit: \(f'(x)=6x^2-4\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b - 5 poeng samlet Derivasjon - produkt og eksponentialfunksjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{x}{e^x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv om funksjonen

\[g(x)=x\cdot e^{-x}\]

Dette gjør produktregelen og kjerneregelen tydelige.

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[g'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot \left(e^{-x}\right)'\]

Steg 3 - Deriver eksponentialleddet

\[\left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}\]

Steg 4 - Sett inn og faktoriser

\[g'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}\left(1-x\right)\]

Steg 5 - Skriv som brøk

\[g'(x)=\dfrac{1-x}{e^x}\]

Tolkning

Fortegnet til den deriverte skifter ved \(x=1\).

Vanlig feil: Å derivere nevneren alene som om funksjonen ikke var en kvotient eller et produkt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(x/exp(x)) -> \(\dfrac{1-x}{e^x}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') g = x/exp(x) g_derivert = diff(g, x) print("Funksjon g(x):", g) print("Derivert g'(x):", g_derivert) print("Som brøk:", simplify(g_derivert))

Fasit: \(g'(x)=\dfrac{1-x}{e^x}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c - 5 poeng samlet Logaritmederivasjon

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=\ln\left(x^2+4x\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Identifiser ytre og indre funksjon

\[h(x)=\ln(u),\qquad u=x^2+4x\]

Steg 2 - Deriver med kjerneregel

\[h'(x)=\dfrac{u'}{u}\]

Steg 3 - Finn den indre deriverte

\[u'=2x+4\]

Steg 4 - Sett inn

\[h'(x)=\dfrac{2x+4}{x^2+4x}\]

Steg 5 - Oppgi definisjonsmengde

\[x^2+4x>0\Rightarrow x\in \langle -\infty,-4\rangle \cup \langle 0,\infty\rangle\]

Tolkning

Den deriverte gjelder bare der logaritmeuttrykket er definert.

Vanlig feil: Å skrive \(\dfrac{1}{x^2+4x}\) og glemme å multiplisere med den indre deriverte.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(ln(x^2+4*x)) -> \(\dfrac{2x+4}{x^2+4x}\)

Python

from sympy import symbols, log, diff, simplify, solve_univariate_inequality x = symbols('x', real=True) h = log(x**2 + 4*x) h_derivert = diff(h, x) domene = solve_univariate_inequality(x**2 + 4*x > 0, x) print("Funksjon h(x):", h) print("Derivert h'(x):", simplify(h_derivert)) print("Definisjonsmengde:", domene)

Fasit: \(h'(x)=\dfrac{2x+4}{x^2+4x}\) for \(x<-4\) eller \(x>0\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 - 2 poeng Lineært likningssystem

Oppgave 2

Oppgave:

Løs likningssystemet

\[\begin{aligned}5x+y+2z&=0\\2x+3y+z&=3\\3x+2y-z&=-3\end{aligned}\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv systemet på standard form

Vi løser tre lineære likninger med tre ukjente.

Steg 2 - Eliminer y fra første og andre likning

\[3(5x+y+2z)-(2x+3y+z)=0-3\] \[13x+5z=-3\]

Steg 3 - Eliminer y fra andre og tredje likning

\[2(2x+3y+z)-3(3x+2y-z)=6-(-9)\] \[-5x+5z=15\]

Steg 4 - Løs de to likningene

\[\begin{aligned}13x+5z&=-3\\-5x+5z&=15\end{aligned}\Rightarrow x=-1,\ z=2\]

Steg 5 - Finn y

\[5(-1)+y+2\cdot 2=0\Rightarrow y=1\]

Tolkning

De tre planene skjærer hverandre i punktet \((-1,1,2)\).

Vanlig feil: Å sette inn i bare én av likningene etterpå. Alle tre må kontrolleres.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Løs({5*x+y+2*z=0,2*x+3*y+z=3,3*x+2*y-z=-3},{x,y,z}) -> \(x=-1,\ y=1,\ z=2\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve x, y, z = symbols('x y z') likninger = [ Eq(5*x + y + 2*z, 0), Eq(2*x + 3*y + z, 3), Eq(3*x + 2*y - z, -3), ] losning = solve(likninger, (x, y, z), dict=True)[0] print("Løsning:", losning) print("Kontroll av alle likninger:") for likning in likninger: print(" ", likning.subs(losning), "->", bool(likning.subs(losning)))

Fasit: \(x=-1\), \(y=1\) og \(z=2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a - 4 poeng samlet Polynom og faktorteorem

Oppgave 3a

Oppgave:

Et polynom \(P\) er gitt ved \(P(x)=x^3-3x^2-13x+15\). Forklar at \(P(x)\) er delelig med \((x-1)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

\((x-1)\) er faktor hvis \(P(1)=0\).

Steg 2 - Sett inn x=1

\[P(1)=1^3-3\cdot 1^2-13\cdot 1+15\]

Steg 3 - Regn ut

\[P(1)=1-3-13+15=0\]

Steg 4 - Konkluder

Resten ved divisjon med \((x-1)\) er null.

Tolkning

Grafen har nullpunkt ved \(x=1\).

Vanlig feil: Å kontrollere \(P(-1)\) i stedet for \(P(1)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 P(x):=x^3-3*x^2-13*x+15 -> 2 P(1) -> \(0\)

Python

from sympy import symbols x = symbols('x') P = x**3 - 3*x**2 - 13*x + 15 verdi = P.subs(x, 1) print("P(x) =", P) print("P(1) =", verdi) print("Delelig med (x - 1):", verdi == 0)

Fasit: \(P(1)=0\), altså er \((x-1)\) en faktor. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b - 4 poeng samlet Polynomulikhet

Oppgave 3b

Oppgave:

Løs ulikheten \(P(x)>0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Faktoriser polynomet

\[P(x)=x^3-3x^2-13x+15=(x-5)(x-1)(x+3)\]

Steg 2 - Finn nullpunktene

\[x=-3,\quad x=1,\quad x=5\]

Steg 3 - Del tallinjen i intervaller

Vi undersøker fortegn på \(\langle -\infty,-3\rangle\), \(\langle -3,1\rangle\), \(\langle 1,5\rangle\) og \(\langle 5,\infty\rangle\).

Steg 4 - Fortegnskjema

\[P(x)>0 \text{ for } -3 5\]

Steg 5 - Husk streng ulikhet

Nullpunktene tas ikke med fordi ulikheten er \(>0\), ikke \(\ge 0\).

Tolkning

Grafen ligger over x-aksen i disse intervallene.

Vanlig feil: Å ta med nullpunktene i svaret selv om ulikheten er streng.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Faktoriser(x^3-3*x^2-13*x+15) -> \((x-5)(x-1)(x+3)\) 2 Løs(x^3-3*x^2-13*x+15>0) -> \(-3 5\)

Python

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality x = symbols('x', real=True) P = x**3 - 3*x**2 - 13*x + 15 faktorisert = factor(P) losning = solve_univariate_inequality(P > 0, x) print("P(x) =", P) print("Faktorisert:", faktorisert) print("Løsning av P(x) > 0:", losning)

Fasit: \(x\in \langle -3,1\rangle \cup \langle 5,\infty\rangle\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4a - 4 poeng samlet Aritmetisk følge

Oppgave 4a

Oppgave:

I en aritmetisk følge er \(a_1=2\) og \(a_4=14\). Bestem en formel for \(a_n\) uttrykt ved \(n\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk formelen for aritmetisk følge

\[a_n=a_1+(n-1)d\]

Steg 2 - Sett inn opplysningen om fjerde ledd

\[a_4=2+3d=14\]

Steg 3 - Finn differansen

\[3d=12\Rightarrow d=4\]

Steg 4 - Sett inn i leddformelen

\[a_n=2+(n-1)4\]

Steg 5 - Forenkle

\[a_n=4n-2\]

Tolkning

Følgen starter på 2 og øker med 4 for hvert ledd. …