Matematikk S2 Eksamen våren 2009 – løsningsforslag

Ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 V09 - komplett løsningsforslag

Fullstendig, kontrollert løsningsforslag til S2 Vår 2009. Filen bruker MathJax for matematikk, tydelige løsningssteg, realistiske Python-kontroller og GeoGebra CAS-bokser for digital etterprøving.

Del 1 og Del 2 28 oppgavekort Python + GeoGebra Bokmål

Løsningsforslag

Oppgave 1a 1

Deriver funksjonen \(f(x)=(x^2-1)(x^2+1)\).

Vis løsning

1. Vi kan enten bruke produktregelen direkte eller først multiplisere ut parentesene.
2. \[(x^2-1)(x^2+1)=x^4-1\]
3. Deriver ledd for ledd:
4. \[f^\prime(x)=4x^3\]

Svar: \(f^\prime(x)=4x^3\) Python-kontroll

import sympy as sp x = sp.symbols('x') f = (x**2 - 1)*(x**2 + 1) forenklet = sp.expand(f) derivert = sp.diff(f, x) print('f(x) =', f) print('utvidet f(x) =', forenklet) print("f'(x) =", derivert)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll Utvid Expand[(x^2-1)(x^2+1)] Deriver Derivative[x^4-1] Få mer forklaring

Oppgave 1a 2

Deriver funksjonen \(g(x)=x^2e^{2x}\).

Vis løsning

1. Dette er et produkt av \(x^2\) og \(e^{2x}\). Vi bruker produktregelen.
2. \[g^\prime(x)=2x e^{2x}+x^2\cdot 2e^{2x}\]
3. Faktoriser felles faktor \(2xe^{2x}\):
4. \[g^\prime(x)=2xe^{2x}(1+x)\]

Svar: \(g^\prime(x)=2xe^{2x}(x+1)\) Python-kontroll

import sympy as sp x = sp.symbols('x') g = x**2 * sp.exp(2*x) derivert = sp.diff(g, x) faktorisert = sp.factor(derivert) print('g(x) =', g) print("g'(x) =", derivert) print('faktorisert =', faktorisert)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll Deriver Derivative[x^2 exp(2x)] Faktoriser Factor[%] Få mer forklaring

Oppgave 1b 1

Rekka er \(2+4+6+8+\cdots\). Finn ledd nummer 20 og summen av de 20 første leddene.

Vis løsning

1. Dette er en aritmetisk rekke med \(a_1=2\) og differanse \(d=2\).
2. \[a_{20}=a_1+19d=2+19\cdot 2=40\]
3. Summen av de \(n\) første leddene i en aritmetisk rekke er \(S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)\).
4. \[S_{20}=\dfrac{20}{2}(2+40)=420\]

Svar: \(a_{20}=40,\ S_{20}=420\) Python-kontroll

a1 = 2 d = 2 n = 20 a20 = a1 + (n - 1)*d S20 = n*(a1 + a20)/2 print('a1 =', a1) print('d =', d) print('a20 =', a20) print('S20 =', S20)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll Følge Sequence[2n,n,1,20] Sum Sum[2n,n,1,20] Få mer forklaring

Oppgave 1b 2

Den uendelige rekka er \(2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots\). Avgjør om den konvergerer og finn summen.

Vis løsning

1. Rekka er geometrisk med første ledd \(a_1=2\) og kvotient \(k=\dfrac12\).
2. En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \(|k|<1\). Her er \(|k|=\dfrac12<1\).
3. \[S=\dfrac{a_1}{1-k}=\dfrac{2}{1-\frac12}=4\]

Svar: \(Rekka konvergerer, og summen er 4.\) Python-kontroll

from fractions import Fraction første_ledd = Fraction(2, 1) kvotient = Fraction(1, 2) sum_uendelig = første_ledd / (1 - kvotient) print('første ledd =', første_ledd) print('kvotient =', kvotient) print('absoluttverdi av kvotient < 1:', abs(kvotient) < 1) print('sum =', sum_uendelig)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll Kontroller kvotient 1/2 Sum 2/(1-1/2) Få mer forklaring

Oppgave 1c 1

Sett opp sannsynlighetsfordelingen for terningen med verdiene \(-1\), \(5\) og \(7\).

Vis løsning

1. Terningen har seks sider. Tallet \(7\) står på tre sider, tallet \(5\) på to sider og tallet \(-1\) på en side.
2. \[P(X=-1)=\dfrac16,\quad P(X=5)=\dfrac26=\dfrac13,\quad P(X=7)=\dfrac36=\dfrac12\]

3. \(x\)	\(P(X=x)\)
   \(-1\)	\(\dfrac16\)
   \(5\)	\(\dfrac13\)
   \(7\)	\(\dfrac12\)

Svar: \(P(X=-1)=\dfrac16,\ P(X=5)=\dfrac13,\ P(X=7)=\dfrac12\) Python-kontroll

from fractions import Fraction fordeling = {-1: Fraction(1, 6), 5: Fraction(2, 6), 7: Fraction(3, 6)} print('sannsynlighetsfordeling:') for verdi, sannsynlighet in fordeling.items(): print(verdi, sannsynlighet) print('sum av sannsynligheter =', sum(fordeling.values()))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll Fordeling {(-1,1/6),(5,1/3),(7,1/2)} Kontroll Sum probabilities = 1 Få mer forklaring

Oppgave 1c 2

Bestem forventningsverdi og varians for \(X\). …