Matematikk S2 Eksamen våren 2015 – løsningsforslag

ifingo - løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen Vår 2015

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er transkribert, løst trinnvis og kontrollert med GeoGebra CAS og Python.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 5 poeng samlet Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=e^{-2x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Identifiser kjernen

Eksponentialfunksjonen har kjerne \(u=-2x\).

Steg 2 - Bruk kjerneregelen

\[\dfrac{d}{dx}e^{u}=u\prime e^{u}\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[u=-2x,\qquad u\prime=-2\]

Steg 4 - Sett inn

\[f\prime(x)=-2e^{-2x}\]

Steg 5 - Kontroller fortegn

Negativ kjernekoeffisient gir negativ faktor foran eksponentialuttrykket.

Steg 6 - Skriv svaret

\[f\prime(x)=-2e^{-2x}\]

Tolkning

Funksjonen er avtakende fordi den deriverte er negativ for alle \(x\).

Vanlig feil: Å skrive \(e^{-2x}\) uten faktoren \(-2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(exp(-2*x)) -> \(-2e^{-2x}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') f = exp(-2*x) f_derivert = diff(f, x) forventet = -2*exp(-2*x) print("Funksjon f(x):", f) print("Derivert f'(x):", f_derivert) print("Kontroll f'(x) - forventet:", simplify(f_derivert - forventet))

Fasit: \(f\prime(x)=-2e^{-2x}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b - 5 poeng samlet Derivasjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{x^2-1}{x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Skriv om uttrykket

\[g(x)=\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{1}{x}=x-x^{-1}\]

Steg 2 - Bruk potensregelen

\[\dfrac{d}{dx}x=1,\qquad \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}\]

Steg 3 - Deriver leddvis

\[g\prime(x)=1-(-x^{-2})\]

Steg 4 - Forenkle

\[g\prime(x)=1+x^{-2}\]

Steg 5 - Skriv som brøk

\[g\prime(x)=1+\dfrac{1}{x^2}\]

Steg 6 - Husk definisjonsmengden

Uttrykket gjelder for \(x\ne 0\) fordi den opprinnelige funksjonen har nevner \(x\).

Tolkning

Den deriverte er positiv for alle lovlige \(x\).

Vanlig feil: Å bruke kvotientregelen feil og miste minusfortegnet i \(-x^{-1}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert((x^2-1)/x) -> \(1+\dfrac{1}{x^2}\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify x = symbols('x') g = (x**2 - 1)/x g_skrevet_om = simplify(g) g_derivert = simplify(diff(g, x)) print("g(x) opprinnelig:", g) print("g(x) forenklet:", g_skrevet_om) print("g'(x):", g_derivert) print("Kontroll mot 1 + 1/x**2:", simplify(g_derivert - (1 + 1/x**2)))

Fasit: \(g\prime(x)=1+\dfrac{1}{x^2}\), \(x\ne 0\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c - 5 poeng samlet Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=(3x+1)e^x+2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Gjenkjenn produktet

Første del er produktet \((3x+1)e^x\). Konstanten \(2\) får derivert \(0\).

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 3 - Deriver faktorene

\[u=3x+1,\ u\prime=3,\qquad v=e^x,\ v\prime=e^x\]

Steg 4 - Sett inn

\[h\prime(x)=3e^x+(3x+1)e^x\]

Steg 5 - Faktoriser

\[h\prime(x)=(3x+4)e^x\]

Steg 6 - Kontroller konstantleddet

Leddene \(3\) og \(1\) summeres til \(4\) inne i parentesen.

Tolkning

Den deriverte består av samme eksponentialfaktor og en lineær faktor.

Vanlig feil: Å glemme at både parentesen og \(e^x\) skal deriveres i produktet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert((3*x+1)*exp(x)+2) -> \((3x+4)e^x\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify x = symbols('x') h = (3*x + 1)*exp(x) + 2 h_derivert = diff(h, x) print("h(x):", h) print("h'(x) utvidet:", h_derivert) print("h'(x) faktorisert:", factor(h_derivert)) print("Kontroll:", simplify(h_derivert - (3*x + 4)*exp(x)))

Fasit: \(h\prime(x)=(3x+4)e^x\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a - 3 poeng samlet Polynom og faktorisering

Oppgave 2a

Oppgave:

På figuren er grafen til \(f(x)=x^3+x^2+kx+k\), \(D_f=\mathbb{R}\). Faktoriser \(f(x)\) med lineære faktorer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Les nullpunktene av grafen

Grafen skjærer x-aksen ved \(x=-3\), \(x=-1\) og \(x=3\).

Steg 2 - Bruk nullpunkt-faktor-form

\[f(x)=a(x+3)(x+1)(x-3)\]

Steg 3 - Finn ledende koeffisient

I uttrykket er koeffisienten foran \(x^3\) lik \(1\), derfor er \(a=1\).

Steg 4 - Skriv faktoriseringen

\[f(x)=(x+3)(x+1)(x-3)\]

Steg 5 - Kontroller utvidelse

\[(x+3)(x+1)(x-3)=x^3+x^2-9x-9\]

Steg 6 - Sammenlikn med formen i oppgaven

Dette kan brukes i neste del til å finne \(k\).

Tolkning

Lineær faktorisering viser alle skjæringspunktene med x-aksen.

Vanlig feil: Å lese av topp- og bunnpunkt i stedet for nullpunktene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Faktoriser(x^3+x^2-9x-9) -> \((x+3)(x+1)(x-3)\)

Python

from sympy import symbols, expand, factor x = symbols('x') f_faktorisert = (x + 3)*(x + 1)*(x - 3) f_utvidet = expand(f_faktorisert) print("Faktorisert form:", f_faktorisert) print("Utvidet form:", f_utvidet) print("Kontroll ved faktorisering:", factor(f_utvidet))

Fasit: \(f(x)=(x+3)(x+1)(x-3)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b - 3 poeng samlet Parameterbestemmelse

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem verdien for \(k\) ved regning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Bruk resultatet fra faktoriseringen

\[(x+3)(x+1)(x-3)=x^3+x^2-9x-9\]

Steg 2 - Sammenlikn x-leddet

\[kx=-9x\]

Steg 3 - Sammenlikn konstantleddet

\[k=-9\]

Steg 4 - Kontroller at begge steder stemmer

Både koeffisienten foran \(x\) og konstantleddet gir samme verdi.

Steg 5 - Sett inn k

\[f(x)=x^3+x^2-9x-9\]

Steg 6 - Kontroller nullpunktene

Med \(k=-9\) får vi nullpunktene \(-3\), \(-1\) og \(3\), som passer med grafen.

Tolkning

Parameteren bestemmes ved koeffisientsammenlikning.

Vanlig feil: Å bruke bare ett punkt fra grafen uten å kontrollere mot formen \(x^3+x^2+kx+k\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Utvid((x+3)(x+1)(x-3)) -> \(x^3+x^2-9x-9\)

Python

from sympy import symbols, Eq, expand, solve x, k = symbols('x k') venstre = expand((x + 3)*(x + 1)*(x - 3)) hoyre = x**3 + x**2 + k*x + k likning = Eq(venstre, hoyre) losning = solve(likning, k) print("Venstre side:", venstre) print("Hoyre side:", hoyre) print("k-verdier som passer:", losning)

Fasit: \(k=-9\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a - 3 poeng samlet Aritmetiske rekker

Oppgave 3a

Oppgave:

Forklar hva det vil si at en rekke \(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n\) er aritmetisk.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Definer fast differanse

\[a_{i+1}-a_i=d\]

Steg 2 - Forklar med ord

Forskjellen mellom to ledd som følger etter hverandre, er den samme hele tiden.

Steg 3 - Skriv leddformelen

\[a_n=a_1+(n-1)d\]

Steg 4 - Skriv sumformelen

\[S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\]

Steg 5 - Knytt til rekke

En aritmetisk rekke er summen av leddene i en aritmetisk følge.

Steg 6 - Kontroller definisjonen

Dersom differansen ikke er fast, er rekken ikke aritmetisk.

Tolkning

I aritmetiske rekker vokser eller minker leddene med samme tillegg hver gang.

Vanlig feil: Å blande fast differanse med fast kvotient.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 a(n):=a1+(n-1)d -> \(a_n=a_1+(n-1)d\)

Python

from sympy import symbols n, a1, d = symbols('n a1 d') an = a1 + (n - 1)*d an_next = a1 + n*d print("a_n =", an) print("a_(n+1) =", an_next) print("Differanse a_(n+1)-a_n =", an_next - an)

Fasit: En aritmetisk rekke har fast differanse mellom leddene. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b - 3 poeng samlet Aritmetisk sum

Oppgave 3b

Oppgave:

En murer skal lage en vegg slik figuren viser. Bruk teori om rekker til å bestemme hvor mange murstein mureren trenger, når han vet at det er totalt 20 rader med murstein. …