Matematikk S2 Eksempeloppgave høsten 2022 – løsningsforslag

ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 Eksempelsett H22 – løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Oppgavene er transkribert fra Udir-PDF-en, og løsningene har trinnvis regning, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Integrasjon

Regn ut bestemt integral

Oppgave:

Regn ut integralet \(\displaystyle \int_{0}^{1}\left(4x^2+3\right)\,dx\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Del opp integralet

Vi bruker at integralet av en sum er summen av integralene.

\[\int_{0}^{1}\left(4x^2+3\right)\,dx=\int_{0}^{1}4x^2\,dx+\int_{0}^{1}3\,dx\]

Steg 2 — Integrer første ledd

Potensregelen gir at \(\int x^2\,dx=\dfrac{x^3}{3}\).

\[\int 4x^2\,dx=\dfrac{4x^3}{3}\]

Steg 3 — Integrer konstantleddet

Integral av en konstant er konstanten multiplisert med \(x\).

\[\int 3\,dx=3x\]

Steg 4 — Sett sammen antiderivert

\[F(x)=\dfrac{4x^3}{3}+3x\]

Steg 5 — Sett inn grensene

\[\left[\dfrac{4x^3}{3}+3x\right]_{0}^{1}=\left(\dfrac{4}{3}+3\right)-0\]

Steg 6 — Forenkle svaret

\[\dfrac{4}{3}+3=\dfrac{4}{3}+\dfrac{9}{3}=\dfrac{13}{3}\]

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen til \(4x^2+3\) fra \(x=0\) til \(x=1\).

Vanlig feil: Å skrive \(4x^3\) i stedet for \(\dfrac{4x^3}{3}\) når man integrerer \(4x^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS 1 Integral(4x^2+3,0,1) → \(\dfrac{13}{3}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, integrate x = symbols("x") print(integrate(4*x**2 + 3, (x, 0, 1)))

Fasit: \(\dfrac{13}{3}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Integrasjon og substitusjon

Regn ut ubestemt integral

Oppgave:

Regn ut integralet \(\displaystyle \int 4x\sqrt{x^2+2}\,dx\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Velg substitusjon

Kjernen under kvadratroten er \(x^2+2\), og den deriverte av denne kjernen er \(2x\). Derfor passer substitusjon.

\[u=x^2+2\]

Steg 2 — Deriver substitusjonen

\[du=2x\,dx\]

Steg 3 — Tilpass faktoren

I integralet står \(4x\,dx\), og dette er \(2\cdot 2x\,dx\).

\[4x\,dx=2\,du\]

Steg 4 — Skriv integralet i \(u\)

\[\int 4x\sqrt{x^2+2}\,dx=2\int u^{1/2}\,du\]

Steg 5 — Integrer med potensregelen

\[2\int u^{1/2}\,du=2\cdot \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{4}{3}u^{3/2}+C\]

Steg 6 — Sett tilbake

\[\dfrac{4}{3}u^{3/2}+C=\dfrac{4}{3}\left(x^2+2\right)^{3/2}+C\]

Tolkning

Substitusjonen virker fordi faktoren foran kvadratroten er proporsjonal med den deriverte av uttrykket under roten.

Vanlig feil: Å miste faktoren \(2\) når \(4x\,dx\) skrives om til \(2\,du\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS 1 Integral(4x*sqrt(x^2+2),x) → \(\dfrac{4}{3}\left(x^2+2\right)^{3/2}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, sqrt, integrate x = symbols("x") print(integrate(4*x*sqrt(x**2 + 2), x))

Fasit: \(\dfrac{4}{3}\left(x^2+2\right)^{3/2}+C\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Følger og rekker

Forklar aritmetisk rekke

Oppgave:

Forklar hva det vil si at en rekke \(a_1+a_2+\cdots+a_n\) er aritmetisk.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Forklar følgen bak rekken

En rekke er summen av leddene i en følge. Derfor ser vi først på følgen \(a_1,a_2,\ldots,a_n\).

Steg 2 — Fast differanse

Rekken er aritmetisk når leddene som summeres kommer fra en aritmetisk følge. Det betyr at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant.

\[a_{i+1}-a_i=d\]

Steg 3 — Leddformel

Når differansen er konstant, kan hvert ledd skrives som

\[a_n=a_1+\left(n-1\right)d\]

Steg 4 — Sumformel

Summen av de \(n\) første leddene kan skrives som

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\]

Steg 5 — Begrunn formelen

Formelen kommer av at første og siste ledd, andre og nest siste ledd, og så videre, får samme sum.

Tolkning

Aritmetisk betyr altså jevn økning eller jevn reduksjon fra ett ledd til det neste.

Vanlig feil: Å blande aritmetisk rekke med geometrisk rekke. Aritmetisk bruker fast differanse, geometrisk bruker fast kvotient.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS 1 a(n):=a1+(n-1)d → \(a_n=a_1+\left(n-1\right)d\)

Kontroll (Python)

Python

def aritmetisk_folge(a): d = a[1] - a[0] return all(a[i+1] - a[i] == d for i in range(len(a)-1)) print(aritmetisk_folge([1, 3, 5, 7]))

Fasit: En aritmetisk rekke er summen av ledd fra en følge med konstant differanse \(d\). (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Aritmetiske rekker

Murstein i 20 rader

Oppgave:

En murer skal lage en mur slik figuren viser. Bruk teorien om rekker til å bestemme hvor mange murstein mureren trenger, når han vet at det er totalt 20 rader med murstein.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Les mønsteret

Figuren viser en mur der øverste rad har \(1\) murstein, neste rad har \(3\), deretter \(5\), og slik fortsetter det. Antallet øker med \(2\) for hver rad.

Steg 2 — Identifiser aritmetisk følge

\[a_1=1,\qquad d=2,\qquad n=20\]

Steg 3 — Finn nederste rad

\[a_{20}=a_1+\left(20-1\right)d=1+19\cdot 2=39\]

Steg 4 — Sett opp sumformelen

Totalt antall murstein er summen av radene.

\[S_{20}=\dfrac{20\left(a_1+a_{20}\right)}{2}\]

Steg 5 — Regn summen

\[S_{20}=\dfrac{20\left(1+39\right)}{2}=10\cdot 40=400\]

Steg 6 — Kontroller med kjent sum

Summen av de \(20\) første oddetallene er \(20^2\), altså \(400\).

Tolkning

Mureren trenger \(400\) murstein hvis mønsteret fortsetter som vist i figuren.

Vanlig feil: Å anta at radene er \(1,2,3,\ldots,20\) i stedet for oddetallene \(1,3,5,\ldots,39\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS 1 Sum[2n-1,n,1,20] → \(400\)

Kontroll (Python)

Python

print(sum(2*n - 1 for n in range(1, 21)))

Fasit: \(400\) murstein (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3 Geometriske rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke \(b_1+b_2+b_3+b_4+\cdots\) konvergerer mot \(6\). Summen av de tre første leddene er \(\dfrac{38}{9}\). Bestem summen av de fire første leddene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Skriv total sum

For en uendelig geometrisk rekke er

\[S_\infty=\dfrac{b_1}{1-k}=6\]

Steg 2 — Bruk formelen for tre første ledd

\[S_3=b_1\left(1+k+k^2\right)=\dfrac{38}{9}\]

Steg 3 — Skriv \(S_3\) ved hjelp av \(S_\infty\)

Siden \(\dfrac{b_1}{1-k}=6\), får vi

\[S_3=6\left(1-k^3\right)\]

Steg 4 — Finn kvotienten

\[6\left(1-k^3\right)=\dfrac{38}{9}\quad\Rightarrow\quad 1-k^3=\dfrac{19}{27}\quad\Rightarrow\quad k^3=\dfrac{8}{27}\]

Steg 5 — Ta tredjerot

\[k=\dfrac{2}{3}\]

Steg 6 — Finn fjerde ledd

Første ledd er \(b_1=6\left(1-\dfrac{2}{3}\right)=2\).

\[b_4=b_1k^3=2\cdot \dfrac{8}{27}=\dfrac{16}{27}\]

Steg 7 — Legg til fjerde ledd

\[S_4=S_3+b_4=\dfrac{38}{9}+\dfrac{16}{27}=\dfrac{130}{27}\]

Tolkning

Summen av fire ledd er litt større enn summen av tre ledd, men fortsatt mindre enn grenseverdien \(6\). …