Matematikk S2 Eksamen høsten 2010 – løsningsforslag

ifingo løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen Høst 2010

Komplett løsningsforslag på bokmål. Del 1 og Del 2 er skilt, og hver deloppgave har metode, utregning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonene 1) \(f(x)=x^3-3x+4\) og 2) \(g(x)=6x\cdot e^{-2x}\) .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver potensleddene

\[\dfrac{d}{dx}x^3=3x^2\]

Konstantleddet forsvinner, og leddet \(-3x\) får derivert \(-3\) .

Steg 2 - Finn den deriverte til \(f\)

\[f'(x)=3x^2-3\]

Vi deriverer ledd for ledd.

Steg 3 - Bruk produktregelen på \(g\)

\[g'(x)=6\cdot e^{-2x}+6x\cdot (-2)e^{-2x}\]

Faktoren \(e^{-2x}\) må også deriveres med kjerneregelen.

Steg 4 - Faktoriser uttrykket

\[g'(x)=\left(6-12x\right)e^{-2x}\]

Steg 5 - Kontroller metode

Begge svarene følger direkte av standardregler for potens, produkt og eksponentialfunksjon.

Tolkning

Den deriverte forteller vekstfarten til funksjonene for en vilkårlig verdi av \(x\) .

Vanlig feil: Å glemme kjerneregelen i \(e^{-2x}\) gir feil fortegn og faktor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS 1 Derivert[x^3-3x+4] → \(3x^2-3\) 2 Derivert[6x*e^(-2x)] → \((6-12x)e^{-2x}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') f = x**3 - 3*x + 4 g = 6*x*exp(-2*x) print('f(x) =', f) print("f'(x) =", diff(f, x)) print('g(x) =', g) print("g'(x) =", simplify(diff(g, x)))

Fasit: \(f'(x)=3x^2-3\) og \(g'(x)=\left(6-12x\right)e^{-2x}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Polynomdivisjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Vi har gitt funksjonen \(P(x)=2x^3-6x^2-8x+24\) . Vis at \(P(3)=0\) , faktoriser \(P\) i førstegradsfaktorer, og forkort brøken \(\dfrac{2x^3-6x^2-8x+24}{2x^2-8}\) .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett inn \(x=3\)

\[P(3)=2\cdot 3^3-6\cdot 3^2-8\cdot 3+24=54-54-24+24=0\]

Steg 2 - Bruk nullpunktet

Siden \(P(3)=0\) , er \(x-3\) en faktor i polynomet.

Steg 3 - Faktoriser polynomet

\[P(x)=2\left(x-3\right)\left(x^2-4\right)=2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\]

Steg 4 - Faktoriser nevneren

\[2x^2-8=2\left(x^2-4\right)=2\left(x-2\right)\left(x+2\right)\]

Steg 5 - Forkort felles faktorer

\[\dfrac{2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=x-3\]

Steg 6 - Husk definisjonsmengden

Den opprinnelige brøken er ikke definert for \(x=2\) og \(x=-2\) .

Tolkning

Brøken har samme verdi som \(x-3\) der den opprinnelige brøken er definert.

Vanlig feil: Å forkorte bort faktorer uten å nevne at \(x=\pm 2\) ikke er lovlige verdier i den opprinnelige brøken.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS 1 P(x):=2x^3-6x^2-8x+24 → 2 P(3) → \(0\) 3 Faktoriser[P(x)] → \(2(x-3)(x-2)(x+2)\) 4 Faktoriser[(2x^3-6x^2-8x+24)/(2x^2-8)] → \(x-3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, factor, simplify x = symbols('x') P = 2*x**3 - 6*x**2 - 8*x + 24 fraction = P/(2*x**2 - 8) print('P(3) =', P.subs(x, 3)) print('Faktorisert P(x) =', factor(P)) print('Forkortet brøk =', simplify(fraction)) print('Ulovlige verdier i opprinnelig brøk: x = -2 og x = 2')

Fasit: \(P(x)=2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\) og brøken blir \(x-3\) , for \(x\ne -2,2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Prosent og areal

Oppgave 1c

Oppgave:

Formelen for overflaten av en kule er \(O=4\pi r^2\) . Vi øker radien \(r\) med 10 %. Hvor mange prosent øker overflaten?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv ny radius

\[r_{ny}=1{,}10r\]

Steg 2 - Sett ny radius inn i formelen

\[O_{ny}=4\pi\left(1{,}10r\right)^2\]

Steg 3 - Sammenlign med gammel overflate

\[O_{ny}=4\pi\cdot 1{,}21r^2=1{,}21O\]

Steg 4 - Finn prosentøkningen

\[1{,}21-1=0{,}21=21\%\]

Steg 5 - Kontroller rimelighet

Areal vokser med kvadratet av lengdefaktoren, derfor blir økningen større enn 10 %.

Tolkning

Overflaten blir 21 % større når radien øker med 10 %.

Vanlig feil: Å svare 10 % fordi radien øker 10 %, uten å ta hensyn til at overflaten avhenger av \(r^2\) .

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS 1 1.10^2 → \(1.21\) 2 (1.21-1)*100 → \(21\)

Kontroll (Python)

Python

old_radius_factor = 1.00 new_radius_factor = 1.10 area_factor = new_radius_factor**2 percent_increase = (area_factor - old_radius_factor)*100 print('Lengdefaktor for radius:', new_radius_factor) print('Arealfaktor:', area_factor) print('Prosentvis økning:', percent_increase, '%')

Fasit: Overflaten øker med \(21\%\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1d Geometrisk rekke

Oppgave 1d

Oppgave:

En gummiball slippes fra en høyde på 10 m. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den rett opp \(\dfrac{2}{3}\) av den forrige høyden. Hva er total lengde ballen har tilbakelagt?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Første bevegelse

Ballen faller først \(10\) m ned.

Steg 2 - Skriv sprettene som rekke

\[10\cdot \dfrac{2}{3}+10\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2+10\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^3+\cdots\]

Steg 3 - Husk både opp og ned

Etter første fall går hver sprett først opp og deretter ned igjen.

Steg 4 - Bruk uendelig geometrisk rekke

\[S=10+2\cdot \dfrac{10\cdot \frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}\]

Steg 5 - Regn ut summen

\[S=10+2\cdot 20=50\]

Steg 6 - Kontroller konvergens

Kvotienten er \(\dfrac{2}{3}\) , og absoluttverdien er mindre enn 1. Derfor har rekken en endelig sum.

Tolkning

Ballen tilbakelegger totalt 50 meter før den stopper i modellen.

Vanlig feil: Å glemme at hver sprett etter første fall gir både en oppover- og en nedoverstrekning.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS 1 10 + 2*Sum[10*(2/3)^n,n,1,Infinity] → \(50\)

Kontroll (Python)

Python

from fractions import Fraction initial_drop = Fraction(10, 1) ratio = Fraction(2, 3) first_bounce = initial_drop*ratio sum_bounces_one_way = first_bounce/(1 - ratio) total_distance = initial_drop + 2*sum_bounces_one_way print('Første fall:', initial_drop, 'm') print('Første sprett:', first_bounce, 'm') print('Sum av alle spretthøyder én vei:', sum_bounces_one_way, 'm') print('Total tilbakelagt lengde:', total_distance, 'm')

Fasit: \(50\) m (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1e Aritmetisk rekke

Oppgave 1e

Oppgave:

Vi har rekken \(1+3+5+7+\cdots\) . 1) Hva slags rekke er dette? Bestem \(a_n\) . 2) Bestem \(S_n\) og regn ut \(S_{100}\) .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se på differansen

\[3-1=2,\quad 5-3=2,\quad 7-5=2\]

Steg 2 - Bestem typen

Fast differanse betyr at rekken er aritmetisk.

Steg 3 - Finn n-te ledd

\[a_n=a_1+\left(n-1\right)d=1+2\left(n-1\right)=2n-1\]

Steg 4 - Bruk sumformel

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}=\dfrac{n\left(1+2n-1\right)}{2}=n^2\]

Steg 5 - Regn ut \(S_{100}\)

\[S_{100}=100^2=10000\]

Steg 6 - Kontroller mønster

Summen av de \(n\) første positive oddetallene er \(n^2\) .

Tolkning

De 100 første positive oddetallene har sum 10000. …